Todd類
概要
Todd類（Todd class）とは、複素ベクトル束 $E$ に対して、Chern 根 $x_1,\dots,x_r$ を使えば形式的に $\operatorname{td}(E)=\prod_a x_a/(1-e^{-x_a})$ と書ける有理コホモロジー類であり、各次数の成分は Chern 類の有理係数の多項式（Todd 多項式）で定める。直和を積に変え、直線束では $c_1$ を $x/(1-e^{-x})$ に代入したものになる。Chern 指標とともに、コンパクト複素多様体 $V$ 上の正則ベクトル束 $W$ についての Hirzebruch–Riemann–Roch の定理 $\chi(V,W)=\langle\operatorname{ch}(W)\operatorname{td}(TV),[V]\rangle$ に現れる。
複素ベクトル束の特性類のうち、Riemann–Roch の定理で Chern 指標と組になって現れるのが Todd 類 である。直線束 $L$ に対しては、第 1 Chern 類 $x=c_1(L)$ を冪級数
$$
Q(x)=\frac{x}{1-e^{-x}}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\cdots
$$
に代入したものが Todd 類であり、一般の束では Chern 根 $x_1,\dots,x_r$ について形式的に $\operatorname{td}(E)=Q(x_1)\cdots Q(x_r)$ である。Chern 指標が直和を和に変えるのに対し、Todd 類は全 Chern 類と同じく直和を積に変える。この記事では次のことを示す。
| 問い | 答え |
|---|---|
| $Q$ の係数は何か | Bernoulli 数で書ける：$Q(x)=1+\frac x2+\sum_{j\ge1}B_{2j}\frac{x^{2j}}{(2j)!}$（prop-td-bernoulli） |
| 直和・双対とどう関わるか | $\operatorname{td}(E\oplus F)=\operatorname{td}(E)\operatorname{td}(F)$（thm-td-mult）、$\operatorname{td}(E^\vee)=\operatorname{td}(E)\,e^{-c_1(E)}$（prop-td-dual） |
| 何に使うか | コンパクト複素多様体 $V$ と正則ベクトル束 $W$ について $\chi(V,W)=\langle\operatorname{ch}(W)\operatorname{td}(TV),[V]\rangle$（thm-td-hrr）。$V=\mathbb{CP}^n$、$W=\mathcal{O}(k)$ では右辺が $\binom{n+k}{n}$ になる（thm-td-cpn） |
準備
記号と規約は Chern類・Chern指標 の記事にそろえる。$X$ はパラコンパクト Hausdorff 空間、ベクトル束は一定の有限階数の複素ベクトル束、$c_i(E)\in H^{2i}(X;\mathbb{Z})$ は第 $i$ Chern 類である。係数を $\mathbb{Q}$ に移した類も同じ記号で書く。無限和を扱うため、偶数次の有理コホモロジーの直積 $H^{**}(X;\mathbb{Q}):=\prod_{k\ge0}H^{2k}(X;\mathbb{Q})$ を、次数ごとのカップ積による可換環とみる。定数項（$H^0$ の成分）が可逆な元は $H^{**}(X;\mathbb{Q})$ で可逆である。
Chern類 の記事から次を使う。
- 自然性 $c(f^*E)=f^*c(E)$、Whitney の和公式 $c(E\oplus F)=c(E)c(F)$、直線束について $c(L)=1+c_1(L)$、$c_1(L^\vee)=-c_1(L)$（同記事の系「直線束の全Chern類と双対」）。
- 分裂原理：束 $E$ に対し、パラコンパクト Hausdorff 空間 $Y$ と連続写像 $p\colon Y\to X$ で、$p^*$ が $H^*(\,\cdot\,;\mathbb{Z})$ と $H^*(\,\cdot\,;\mathbb{Q})$ で単射であり、$p^*E$ が直線束の直和になるものがある（$\mathbb{Z}$ 係数の単射性と分裂は同記事の定理「Chern類の分裂原理」）。$Y$ として旗束がとれ、$\mathbb{Q}$ 係数での単射性と、有限個の束を同時に分裂させられることは 分裂原理 の定理「分裂原理」の 2〜4 にある。分裂原理はこの記事では証明しない。
$p^*E\cong L_1\oplus\cdots\oplus L_r$ のとき $x_a:=c_1(L_a)$ を $E$ の Chern 根 という。Whitney の和公式から $p^*c(E)=\prod_a(1+x_a)$、すなわち $p^*c_i(E)=e_i(x_1,\dots,x_r)$（$i$ 次の基本対称式）である。
定義
$\mathbb{Q}[\![x]\!]$ の中で $Q(x):=x/(1-e^{-x})$ とおく（$(1-e^{-x})/x=1-\frac x2+\cdots$ は定数項 $1$ なので可逆である）。Bernoulli数 の定義「Bernoulli数」の $B_n$（$\frac{x}{e^x-1}=\sum_nB_n\frac{x^n}{n!}$、$B_1=-\frac12$）について
$$
Q(x)=1+\frac{x}{2}+\sum_{j\ge1}B_{2j}\frac{x^{2j}}{(2j)!}
$$
である。とくに $Q(x)-\frac x2$ は偶関数で、$Q(-x)=Q(x)\,e^{-x}$ である。
$(1-e^{-x})e^x=e^x-1$ なので $Q(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1}$ である。$\dfrac{xe^x}{e^x-1}-\dfrac{x}{e^x-1}=x$ だから $Q(x)=\dfrac{x}{e^x-1}+x=\sum_nB_n\dfrac{x^n}{n!}+x$ である。$B_0=1$、$B_1+1=\frac12$ で、$3$ 以上の奇数 $n$ では $B_n=0$ である（Bernoulli数 の命題「漸化式・奇数番目・大きさ」の 2）。これで展開を得る。$B_2=\frac16$、$B_4=-\frac1{30}$ から $x^2$、$x^4$ の係数は $\frac1{12}$、$-\frac1{720}$ である。最後に $Q(-x)=\dfrac{-x}{1-e^{x}}=\dfrac{x}{e^x-1}=\dfrac{xe^x}{e^x-1}\,e^{-x}=Q(x)e^{-x}$ である。$\square$
$r$ 変数の積 $Q(x_1)\cdots Q(x_r)$ の $k$ 次の部分は有理係数の対称多項式なので、対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」により基本対称式の有理係数の多項式 $\mathsf{T}_k(e_1,\dots,e_k)$ でただ一通りに書ける（$r\ge k$ のとき。次数を数えれば $e_{k+1},\dots$ は現れない）。$Q(0)=1$ なので、変数を増やして余分な変数に $0$ を代入すると元の積に戻り、$\mathsf{T}_k$ は $r$ によらない。$\mathsf{T}_k$ を Todd 多項式 という。
$X$ 上の複素ベクトル束 $E$ に対し
$$
\operatorname{td}(E):=\sum_{k\ge0}\mathsf{T}_k\bigl(c_1(E),\dots,c_k(E)\bigr)\in H^{**}(X;\mathbb{Q})
$$
を $E$ の Todd 類（Todd class）という。$\mathsf{T}_0=1$ である。
低い次数では、$c_i=c_i(E)$ と書いて
$$
\operatorname{td}(E)=1+\tfrac12c_1+\tfrac1{12}\bigl(c_1^2+c_2\bigr)+\tfrac1{24}c_1c_2+\tfrac1{720}\bigl(-c_1^4+4c_1^2c_2+3c_2^2+c_1c_3-c_4\bigr)+\cdots
$$
である。2 次の部分は $\frac1{12}\sum_ax_a^2+\frac14\sum_{a< b}x_ax_b=\frac1{12}(e_1^2-2e_2)+\frac14e_2=\frac1{12}(e_1^2+e_2)$、3 次の部分は $Q$ の 3 次の係数が $0$ なので $\frac1{24}\sum_{a\ne b}x_a^2x_b+\frac18e_3=\frac1{24}(e_1e_2-3e_3)+\frac18e_3=\frac1{24}e_1e_2$ である。4 次の部分の計算は χy種数 の命題「Todd 多項式の低い次数」にある。
定義は Chern 類の多項式なので引き戻しと可換である：$\operatorname{td}(f^*E)=f^*\operatorname{td}(E)$。とくに同型な束の Todd 類は等しい。分裂原理の $p$ について、$p^*\operatorname{td}(E)$ は $\prod_aQ(x_a)$ の $k$ 次の部分を $k$ ごとに集めたもの $\prod_aQ(x_a)$ に等しい（$p^*c_i(E)=e_i(x)$ を $\mathsf{T}_k$ に代入する）。定数項が $1$ なので $\operatorname{td}(E)$ は可逆である。
基本性質
- $X$ 上の複素ベクトル束 $E$、$F$ について $\operatorname{td}(E\oplus F)=\operatorname{td}(E)\operatorname{td}(F)$ である。
- 直線束 $L$ について $\operatorname{td}(L)=Q(c_1(L))$ である。
- 自明束の Todd 類は $1$ である。
1．$E$、$F$ を同時に分裂させる $p\colon Y\to X$ をとり、$p^*E\cong\bigoplus_aL_a$、$p^*F\cong\bigoplus_bM_b$、$x_a:=c_1(L_a)$、$y_b:=c_1(M_b)$ とする。$p^*(E\oplus F)\cong\bigoplus_aL_a\oplus\bigoplus_bM_b$ なので、$E\oplus F$ の Chern 根は $x_a$ と $y_b$ を合わせたものである。上で見たことから
$$
p^*\operatorname{td}(E\oplus F)=\prod_aQ(x_a)\prod_bQ(y_b)=p^*\operatorname{td}(E)\cdot p^*\operatorname{td}(F)
$$
である（偶数次のコホモロジー類は互いに可換なので、積の順序は入れ替えてよい）。$p^*$ は各次数で単射なので、$X$ の上で等式が成り立つ。
2．$c_i(L)=0$（$i\ge2$）なので、1 変数の場合の $\mathsf{T}_k(e_1)$ を使えばよい。$Q(x_1)$ の $k$ 次の部分は $b_kx_1^k$（$b_k$ は $Q$ の $x^k$ の係数）なので $\mathsf{T}_k(e_1,0,\dots,0)=b_ke_1^k$ であり、$\operatorname{td}(L)=\sum_kb_kc_1(L)^k=Q(c_1(L))$ である。
3．自明束では $c_i=0$（$i\ge1$）で、$\mathsf{T}_k$（$k\ge1$）は定数項をもたない。$\square$
$X$ 上の複素ベクトル束 $E$ について
$$
\operatorname{td}(E^\vee)=\operatorname{td}(E)\,e^{-c_1(E)},\qquad e^{-c_1(E)}:=\sum_{k\ge0}\frac{(-c_1(E))^k}{k!}
$$
である。とくに $c_1(E)=0$ なら $\operatorname{td}(E^\vee)=\operatorname{td}(E)$ である。
$E$ を分裂させる $p$ をとると $p^*E^\vee\cong\bigoplus_aL_a^\vee$ で、$c_1(L_a^\vee)=-x_a$ である。prop-td-bernoulli の $Q(-x)=Q(x)e^{-x}$ により
$$
p^*\operatorname{td}(E^\vee)=\prod_aQ(-x_a)=\prod_aQ(x_a)\cdot e^{-\sum_ax_a}=p^*\operatorname{td}(E)\cdot p^*e^{-c_1(E)}
$$
である（$\sum_ax_a=e_1(x)=p^*c_1(E)$ で、偶数次の類どうしでは $e^{u}e^{v}=e^{u+v}$）。$p^*$ の単射性から主張が従う。$\square$
右辺の $e^{-c_1(E)}$ は行列式直線束 $\det E^\vee$ の Chern 指標である（Chern指標 の命題「直線束のChern指標」）。
$E$ を階数 $q$ の複素ベクトル束とし、$E$ を分裂させる $p$ と Chern 根 $x_1,\dots,x_q$ をとる。$\prod_{a=1}^q(1-e^{-x_a})$ の各次数の部分は $e_1,\dots,e_q$ の有理係数の多項式で書け、それに $e_i\mapsto c_i(E)$ を代入した類 $\Pi(E)\in H^{**}(X;\mathbb{Q})$ について
$$
\Pi(E)=c_q(E)\,\operatorname{td}(E)^{-1}
$$
である。
$R(x):=(1-e^{-x})/x$ は定数項 $1$ の冪級数で、$R(x)Q(x)=1$ である。$\mathbb{Q}[\![x_1,\dots,x_q]\!]$ の中で $1-e^{-x_a}=x_aR(x_a)$ なので
$$
\prod_a(1-e^{-x_a})=e_q(x)\prod_aR(x_a)
$$
である。$\prod_aR(x_a)$ も対称な級数なので、各次数の部分は $e_i$ の多項式で書け、$e_i\mapsto c_i(E)$ を代入した類を $\rho$ とする。代入は次数ごとに有限和なので積を保ち、両辺に $p^*$ を当てると Chern 根の式に戻る。したがって $p^*\Pi(E)=p^*c_q(E)\cdot p^*\rho$、$p^*\rho\cdot p^*\operatorname{td}(E)=\prod_aR(x_a)Q(x_a)=1$ であり、$p^*$ の単射性から $\Pi(E)=c_q(E)\rho$、$\rho=\operatorname{td}(E)^{-1}$ である。途中で $x_a$ や $c_q(E)$ で割ってはいない。$\square$
複素射影空間
$\mathbb{CP}^n$ の超平面類を $h=c_1(\mathcal{O}(1))$ とする。$H^*(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[h]/(h^{n+1})$ で、$\langle h^n,[\mathbb{CP}^n]\rangle=1$ である（Chern類 の定義「複素射影空間の超平面類」）。接束については $T\mathbb{CP}^n\oplus\underline{\mathbb{C}}\cong\mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)}$ である（複素射影空間の接束 の系「位相的な分裂と Euler 完全列」）。thm-td-mult から
$$
\operatorname{td}(T\mathbb{CP}^n)=\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))^{n+1}=Q(h)^{n+1}=\Bigl(\frac{h}{1-e^{-h}}\Bigr)^{n+1}
$$
である。$\mathcal{O}(k)$（$k\in\mathbb{Z}$）の Chern 指標は $e^{kh}$ である（Chern指標 の例「複素射影空間」）。
$n\ge1$、$k\in\mathbb{Z}$ について
$$
\bigl\langle\operatorname{ch}(\mathcal{O}(k))\operatorname{td}(T\mathbb{CP}^n),[\mathbb{CP}^n]\bigr\rangle=\binom{n+k}{n}:=\frac{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}{n!}
$$
である。とくに $k=0$ として $\langle\operatorname{td}(T\mathbb{CP}^n),[\mathbb{CP}^n]\rangle=1$ である。
左辺は冪級数 $e^{kx}Q(x)^{n+1}$ の $x^n$ の係数 $[x^n]\,e^{kx}Q(x)^{n+1}$ である。形式的 Laurent 級数 $g$ の $x^{-1}$ の係数を $\operatorname{res}_xg$ と書くと（形式的Laurent級数）、
$$
[x^n]\,e^{kx}Q(x)^{n+1}=\operatorname{res}_x\frac{e^{kx}Q(x)^{n+1}}{x^{n+1}}=\operatorname{res}_x\frac{e^{kx}}{(1-e^{-x})^{n+1}}
$$
である。$t:=1-e^{-x}=x-\frac{x^2}2+\cdots$ とおくと $t'=e^{-x}=1-t$、$e^{kx}=(1-t)^{-k}$ なので、被積分の式は $(1-t)^{-k-1}t^{-n-1}\cdot t'$ と書ける。χy種数 の補題「形式的な変数変換と留数」（$t=x+\cdots$ のとき $\operatorname{res}_x(F(t)t')=\operatorname{res}_tF(t)$）により、これは
$$
\operatorname{res}_t\frac{(1-t)^{-(k+1)}}{t^{n+1}}=[t^n]\,(1-t)^{-(k+1)}
$$
に等しい。一般二項展開 $(1-t)^{-m}=\sum_{j\ge0}\frac{m(m+1)\cdots(m+j-1)}{j!}t^j$（$m\in\mathbb{Z}$、形式的冪級数として $(1-t)(1-t)^{-1}=1$ から帰納法で確かめられる）に $m=k+1$、$j=n$ を入れると $\frac{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}{n!}$ を得る。$\square$
$k=0$ の場合は χy種数 の定理「Todd 種数の特徴づけ」でも同じ方法で示されている。そこでは、すべての $n\ge1$ で $\mathbb{CP}^n$ での値が $1$ になる有理係数の乗法的列は Todd 多項式だけであることも示されている（MS74 Problem 19-A, p. 229 にもある）。
Riemann–Roch の定理
$V$ を複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体、$W$ を $V$ 上の正則ベクトル束とする。層係数のコホモロジー $H^q(V,W)$ は有限次元で、
$$
\chi(V,W):=\sum_{q=0}^n(-1)^q\dim_{\mathbb{C}}H^q(V,W)=\bigl\langle\operatorname{ch}(W)\operatorname{td}(TV),\,[V]\bigr\rangle
$$
が成り立つ。右辺は $\operatorname{ch}(W)\operatorname{td}(TV)$ の $2n$ 次の成分を基本類で評価したものである。
この定理は Wel08 Ch. IV, Theorem 5.8（p. 153）であり、Todd 類の定義は同書 pp. 151–152 にある。この記事では証明しない。同書 p. 153 のとおり、非特異射影多様体の場合は Hirzebruch が証明し、一般のコンパクト複素多様体の場合は Atiyah–Singer の指数定理の特別な場合である（Atiyah–Singerの指数定理）。
$W=\mathcal{O}_V$ のとき右辺は $\langle\operatorname{td}(TV),[V]\rangle$ であり、これを $V$ の Todd 種数 という。定理から、コンパクト複素多様体の Todd 種数は整数 $\chi(V,\mathcal{O}_V)$ である。
- 曲線（$n=1$）：種数 $g$ のコンパクト Riemann 面 $V$ と次数 $d$ の直線束 $L$ について、$\operatorname{td}(TV)=1+\frac12c_1(TV)$、$\langle c_1(TV),[V]\rangle=2-2g$（最高次の Chern 類は実化の Euler 類で、その値は Euler 標数である。Euler類 の定理「接束の Euler 数と Euler 標数」）なので、右辺は $\langle(1+c_1(L))(1+\frac12c_1(TV)),[V]\rangle=d+1-g$ である。これは曲線の Riemann–Rochの定理 の形である。
- 曲面（$n=2$）：$W=\mathcal{O}_V$ なら右辺は $\frac1{12}\langle c_1^2+c_2,[V]\rangle$ で、Noetherの公式 $\chi(\mathcal{O}_V)=\frac1{12}(c_1^2+c_2)[V]$ になる。
- 射影空間：$V=\mathbb{CP}^n$、$W=\mathcal{O}(k)$ では、右辺は thm-td-cpn により $\binom{n+k}{n}$ である。代数的な層係数コホモロジーで計算した Euler 標数 $\chi(\mathcal{O}(k))=\frac{(k+1)\cdots(k+n)}{n!}$（射影空間上の直線束のコホモロジー の系「体上の次元と Euler 標数」）と、すべての $k\in\mathbb{Z}$ で一致する。$k\ge0$ では $\binom{n+k}{n}$ は $n+1$ 変数の $k$ 次斉次多項式の空間の次元である。
反例
この記事の主張から条件を 1 つずつ外す。
| 主張 | 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|---|
| コンパクト複素多様体 $V$ の $\langle\operatorname{td}(TV),[V]\rangle$ は整数 | 束が接束 $TV$ | $V=\mathbb{CP}^1$、束 $\mathcal{O}(1)$ | $\langle\operatorname{td}(\mathcal{O}(1)),[\mathbb{CP}^1]\rangle=\frac12$ |
| thm-td-mult の 1：直和について乗法的 | 直和（$\oplus$） | $\mathbb{CP}^2$ 上の $\mathcal{O}(1)\otimes\mathcal{O}(1)$ | $\operatorname{td}(\mathcal{O}(1)\otimes\mathcal{O}(1))\ne\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))^2$ |
| prop-td-dual：$c_1(E)=0$ なら $\operatorname{td}(E^\vee)=\operatorname{td}(E)$ | $c_1(E)=0$ | $\mathbb{CP}^1$ 上の $\mathcal{O}(1)$ | $\operatorname{td}(\mathcal{O}(-1))\ne\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))$ |
1 行目：thm-td-mult の 2 から $\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))=Q(h)=1+\frac12h$（$h^2=0$）で、$\langle h,[\mathbb{CP}^1]\rangle=1$ なので値は $\frac12$ である。接束では $\operatorname{td}(T\mathbb{CP}^1)=\operatorname{td}(\mathcal{O}(2))=1+h$ で、値は整数 $1$ である。
2 行目：$\mathcal{O}(1)\otimes\mathcal{O}(1)=\mathcal{O}(2)$ の $c_1$ は $2h$ なので、$h^3=0$ のもとで $\operatorname{td}(\mathcal{O}(2))=Q(2h)=1+h+\frac{4}{12}h^2=1+h+\frac13h^2$ である。一方 $\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))^2=(1+\frac12h+\frac1{12}h^2)^2=1+h+\frac5{12}h^2$ であり、$h^2\ne0$ なので両者は異なる。
3 行目：$\operatorname{td}(\mathcal{O}(-1))=Q(-h)=1-\frac12h$、$\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))=1+\frac12h$ で、$h\ne0$ なので異なる。prop-td-dual の式 $\operatorname{td}(\mathcal{O}(1))e^{-h}=(1+\frac12h)(1-h)=1-\frac12h$ とは一致する。
関連項目
- 前提: Chern類, Chern指標, 分裂原理, Bernoulli数
- 比較: 特性類, Pontryagin類, Hirzebruchの符号数定理
- 直後に読む: χy種数, Riemann–Rochの定理, Noetherの公式
- 発展: Grothendieck–Riemann–Rochの定理, Atiyah–Singerの指数定理, 複素射影空間の接束
参考文献
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