Chern類

一意性は prop-chern-class-uniqueness で証明する。存在の証明は本記事の水準を超えるので出典に譲る。構成には 3 通りある。(a) 階数 $n$ の複素ベクトル束は、無限 Grassmann 多様体（Grassmann多様体、分類空間）$BU(n)=\varinjlim_NG_n(\mathbb{C}^N)$ 上の普遍束 $\gamma^n$ の引き戻しとして得られ、$H^*(BU(n);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,\dots,c_n]$（$\deg c_i=2i$）が成り立つので、$c_i(E)$ を分類写像による $c_i$ の引き戻しとして定める（MS74 §14、Hus94）。MS74 は Euler 類と Gysin 列（Gysin写像）を用いて $c_i$ を帰納的に構成し、$H^*(BU(n))$ の計算は後で行う。(b) 射影束 $\mathbb{P}(E)$ の Leray–Hirsch の定理（Leray–Hirschの定理）による定義（def-chern-class-projective-bundle、BT82 §20、Hat02 の続篇 Vector Bundles and K-Theory 第 3 章）。(c) 曲率による de Rham 表示（rem-chern-class-chern-weil。ただしこれは実係数の類しか与えない）。

証明は Leray–Hirsch の定理（Hat02 Theorem 4D.1）に帰着する。各ファイバー $\mathbb{P}(E_x)\cong\mathbb{CP}^{r-1}$ への $\xi$ の制限は、$S^\vee$ のファイバーへの制限が $\mathcal{O}(1)$ であることから超平面類 $h$ であり、$1,h,\dots,h^{r-1}$ が $H^*(\mathbb{CP}^{r-1};\mathbb{Z})$ の基底なので Leray–Hirsch の仮定が満たされる（BT82 §20、Hat02 の続篇 Vector Bundles and K-Theory 第 3 章）。

$\mathbb{P}(E)$ を「$E$ の直線の空間」とする上の規約は BT82 §20・Ful98 §3.2・Appendix B.5 のものであり、Grothendieck の原論文 Gro58 §1・§3 も同じ規約である：$P(E)$ の点は $E_x$ の直線、$L_E$ はトートロジー部分直線束の双対（本記事の $S^\vee$）、$\xi_E=c_1(L_E)$ で、Chern 類を定める式 (1) は本記事の def-chern-class-projective-bundle と同じ $\sum_{i=0}^{r}c_i(E)\,\xi_E^{r-i}=0$ である。一方、EGA II 以後の Grothendieck 自身の規約と Hartshorne の教科書では $\mathbb{P}(E)=\mathbf{Proj}\operatorname{Sym}E$、すなわち「$E$ の 1 次元商（超平面）の空間」を射影束と呼び、$\mathcal{O}(1)$ は $\pi^*E$ の普遍的な商直線束である（両規約の対照は Ful98 Appendix B.5）。この $\mathbb{P}(E)$ は上の規約の $\mathbb{P}(E^\vee)$ に等しいので、$\xi=c_1(\mathcal{O}(1))$ の満たす関係式は prop-chern-class-dual により
$$ \sum_{i=0}^{r}(-1)^i\pi^*c_i(E)\,\xi^{r-i}=0 $$
となる。文献の間で符号 $(-1)^i$ の有無が異なるのはこの規約の違いによるので、規約を確かめずに式を混ぜてはならない。Chow 環値の Chern 類をこの射影束公式で定義し、3 条件を Chow 環で証明する議論は、参考書 Chern類の公理的理論 の頁 3-1（定義と一意性）・3-2（存在：関手性・正規化・短完全列への乗法性）に完結した形で書かれているので、本記事では繰り返さない。

存在と一意性の証明は MS74 §5・§14、Hus94、Hat02 の続篇 Vector Bundles and K-Theory Theorem 1.16 に譲る。要点は、パラコンパクト性により $L$ が可算個の切断 $s_0,s_1,\dots$ で各点で生成され（局所有限な分割 $1$ による）、$x\mapsto[s_0(x):s_1(x):\cdots]$ が $L\cong f^*\mathcal{O}(1)$（同じことだが $f^*\gamma_\infty\cong L^\vee$）を満たす分類写像 $f$ になることである。全単射性は $\mathbb{CP}^\infty$ が Eilenberg–MacLane 空間 $K(\mathbb{Z},2)$ であることによる（Hat02 Theorem 4.57）。$H^{2}(\mathbb{CP}^\infty;\mathbb{Z})\to H^{2}(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})$ が同型なので、公理の正規化と自然性から Chern 類の意味での $c_1(\mathcal{O}(1))$ は $h$ であり、この定理の $c_1(L)=f^*h$ は公理的な $c_1(L)$ と一致する。第1Chern類 の記事で扱う他の定義との一致もこの定理を経由する。

証明は BT82 §21、Hat02 の続篇 Vector Bundles and K-Theory 第 3 章に譲る。筋は次のとおりである。$\pi\colon\mathbb{P}(E)\to X$ を射影束とすると、thm-chern-class-leray-hirsch により $1$ は $H^*(\mathbb{P}(E))$ の $H^*(X)$ 上の基底の一部なので $\pi^*$ は単射であり、$\pi^*E$ はトートロジー直線束 $S$ を部分束としてもつ。Hermite 計量をとれば $\pi^*E\cong S\oplus Q$（$Q$ は階数 $r-1$）と分解するので、$Q$ に同じ操作を繰り返せば $r-1$ 回で完全に分裂する。$F$ は $E$ の完全旗の束（旗多様体束）であり、Chow 環での同じ議論（旗の束への引き戻しの単射性）は参考書 Chern類の公理的理論 の頁 1-2 にある。最後の主張は Whitney の和公式と cor-chern-class-dual-line の 1 による。

証明は prop-chern-class-dual と同じ型で、直和の場合 $(\bigoplus L_i)\otimes(\bigoplus M_j)=\bigoplus L_i\otimes M_j$、$\bigwedge^k(\bigoplus L_i)=\bigoplus_{i_1<\cdots< i_k}L_{i_1}\otimes\cdots\otimes L_{i_k}$ に prop-chern-class-tensor-line を当てはめ、右辺が Chern 根の対称式なので $c_i(E)$、$c_j(F)$ の多項式として底に降りる、というものである。Chow 環での完全な証明は参考書 Chern類の公理的理論 の頁 3-3（双対・外冪・テンソル積）、位相的な場合は Hir66 §4、BT82 §21 にあり、本記事では繰り返さない。2 は 1 で $s=1$ とし $\prod_i(1+x_i+y)=\sum_ie_i(x)(1+y)^{r-i}$ と整理したものである。「$c_1(E\otimes L)=c_1(E)+c_1(L)$」のように階数 $r$ を落とした式は誤りで、$\mathbb{CP}^1$ 上の $E=\mathcal{O}^{\oplus2}$、$L=\mathcal{O}(1)$ で $c_1(E\otimes L)=2h\ne h$ となる。

分裂原理と prop-chern-class-tensor から、$\operatorname{ch}(E\oplus F)=\operatorname{ch}(E)+\operatorname{ch}(F)$、$\operatorname{ch}(E\otimes F)=\operatorname{ch}(E)\operatorname{ch}(F)$、$\operatorname{td}(E\oplus F)=\operatorname{td}(E)\operatorname{td}(F)$ が成り立つ。したがって Chern 指標は K理論の環 $K(X)$（Grothendieck群）から $H^{\mathrm{even}}(X;\mathbb{Q})$ への環準同型を定め、$X$ が有限 CW 複体なら $\operatorname{ch}\colon K(X)\otimes\mathbb{Q}\to H^{\mathrm{even}}(X;\mathbb{Q})$ は同型である（Hat02 の続篇 Vector Bundles and K-Theory 第 4 章、Hus94）。Hirzebruch–Riemann–Roch の定理（Riemann–Rochの定理）は、コンパクト複素多様体（Hir66 では射影的代数多様体）$X$ 上の正則ベクトル束 $E$ について
$$ \chi(X,E)=\sum_q(-1)^q\dim H^q(X,E)=\int_X\operatorname{ch}(E)\operatorname{td}(TX) $$
と述べる（Hir66 Theorem 21.1.1、Huy05 Theorem 5.1.1）。$\operatorname{td}$ の定義の分母 $1-\exp(-x)$ は、この等式が $\mathbb{CP}^n$ 上の $\mathcal{O}(k)$ で成り立つように定まる。Grothendieck Gro58 の Chern 類の理論は、Borel–Serre による Grothendieck–Riemann–Roch の定理の解説の付録として書かれ、$K(X)$ の λ環の構造と完備 Chern 類 $c_t\colon K(X)\to1+tA(X)[\![t]\!]$、および $K$ 群のフィルトレーションと Chow 環の比較を扱う（参考書 Chern類の公理的理論 の頁 4-1・4-2）。

体 $k$ 上の滑らかな準射影多様体（準射影多様体）$X$ 上の局所自由層（局所自由層）$\mathcal{E}$ に対し、def-chern-class-projective-bundle とまったく同じ射影束公式で Chow環 $CH^*(X)$ に値をもつ Chern 類 $c_i(\mathcal{E})\in CH^i(X)$ が定義され、自然性・Whitney の和公式（短完全列に対する乗法性）・正規化 $c_1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))=[\text{超平面}]$ を満たし、これらで一意に定まる（Ful98 §3.2、Gro58、参考書 Chern類の公理的理論 の頁 3-1・3-2）。Fulton Ful98 は射影束公式ではなく、$c_i(\mathcal{E})\cap$ を Chow 群への作用素として直接構成し、特異な $X$ も扱う。$k=\mathbb{C}$ で $X$ が滑らかな射影多様体のとき、サイクル類写像 $\operatorname{cl}\colon CH^i(X)\to H^{2i}(X^{\mathrm{an}};\mathbb{Z})$ は Chow 環値の Chern 類を、$\mathcal{E}$ に対応する正則ベクトル束 $E$ の位相的 Chern 類に送る：$\operatorname{cl}(c_i(\mathcal{E}))=c_i(E)$（Ful98 §19.1）。これは、両者が同じ射影束公式で定義され、$\operatorname{cl}$ が環準同型で引き戻しと両立し、超平面類を超平面類に送ることによる。したがって代数的ベクトル束の位相的 Chern 類は代数的サイクル（代数的サイクル）の類であり、Hodge 分解（Hodge分解）では $H^{i,i}$ 成分に入る。これが Hodge予想の出発点の 1 つである。Chow 環・Hodge コホモロジー・整係数コホモロジーの 3 つの器で同じ公理系が働くことは参考書の頁 2-2（3 つのモデル）にまとめられている。

$X$ を可微分多様体、$E$ を $C^\infty$ 複素ベクトル束、$\nabla$ を $E$ 上の接続（接続）、$F_\nabla\in\Omega^2(X;\operatorname{End}E)$ をその曲率（曲率）とする。局所枠で $F_\nabla$ を $2$ 次微分形式を成分とする $r\times r$ 行列 $\Theta$ で表すと、微分形式
$$ \det\Bigl(I+\frac{i}{2\pi}\Theta\Bigr)=1+\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}\Theta+\cdots $$
は枠のとり方によらず、閉形式であり、その de Rham コホモロジー類（de Rhamコホモロジー）は接続 $\nabla$ のとり方によらない。この類の $2i$ 次成分は、整係数の Chern 類 $c_i(E)$ の $H^{2i}(X;\mathbb{Z})\to H^{2i}(X;\mathbb{R})\cong H^{2i}_{\mathrm{dR}}(X)$ による像に等しい（Chern–Weil の定理。MS74 Appendix C、GH78 Chapter 3 §3、Huy05 §4.4）。とくに $c_1(E)$ は $\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F_\nabla$ で代表される。$\mathbb{CP}^n$ 上の $\mathcal{O}(1)$ に Fubini–Study 計量から定まる Chern 接続をとると、$\frac{i}{2\pi}F_\nabla$ は Fubini–Study の Kähler 形式 $\omega_{FS}$ になり、$\int_{\mathbb{CP}^1}\omega_{FS}=1$ は正規化 $c_1(\mathcal{O}(1))=h$ と整合する。曲率による表示は整係数の情報（捩れ部分）を落とすが、微分幾何的に計算でき、Chern 類の乗法性や消滅定理（たとえば平坦束の有理 Chern 類の消滅）を直接与える。

Chern 類は複素ベクトル束の特性類（特性類）である。実ベクトル束の Stiefel–Whitney 類（Stiefel–Whitney類、$\mathbb{Z}/2$ 係数）と Pontryagin 類（Pontryagin類）は Chern 類と次の関係にある：複素束 $E$ の下にある実束 $E_{\mathbb{R}}$ について $w_{2i}(E_{\mathbb{R}})$ は $c_i(E)$ の $\bmod 2$ 還元、$w_{2i+1}(E_{\mathbb{R}})=0$；実束 $V$ について $p_i(V)=(-1)^ic_{2i}(V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C})$；階数 $r$ の複素束の $c_r(E)$ は向き付けられた実 $2r$ 次元束 $E_{\mathbb{R}}$ の Euler 類である（MS74 §14–§15）。分類空間の言葉では $H^*(BU(n);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,\dots,c_n]$ であり、Chern 類は複素ベクトル束の整係数特性類のすべてを生成する（分類空間）。
参考書 Chern類の公理的理論 は Grothendieck Gro58 を道案内に、Chow 環値の Chern 類を射影束公式で定義して 3 条件で特徴づける議論を完結した形で述べる。本記事で言明にとどめた事項の所在は次のとおりである：射影束と旗の束への引き戻しの単射性（頁 1-1・1-2）、公理系と Chow 環・Hodge コホモロジー・整係数コホモロジーの 3 つのモデル（頁 2-1・2-2）、定義と一意性・存在（頁 3-1・3-2）、双対・外冪・テンソル積（頁 3-3）、λ 環と Chern 指標（頁 4-1・4-2）、正則切断の零点サイクルと $c_r$（頁 5-1・5-2）。