射影閉包

$V_+(I(Y))$ は閉集合であり $Y$ を含む。逆に $W=V_+(\mathfrak{a})$ を $Y$ を含む閉集合とすると、$\mathfrak{a}$ の斉次元はすべて $Y$ 上で消えるので $I(Y)$ に属し、$\mathfrak{a}$ は斉次元で生成されるから $\mathfrak{a}\subset I(Y)$、よって $V_+(I(Y))\subset V_+(\mathfrak{a})=W$ である。すなわち $V_+(I(Y))$ は $Y$ を含む最小の閉集合であり、$\overline{Y}$ に等しい。後半：$F$ が $Y$ 上で消えれば $Y\subset V_+(F)$ であり、$V_+(F)$ は閉集合だから $\overline{Y}\subset V_+(F)$、つまり $F$ は $\overline{Y}$ 上で消える。逆は $Y\subset\overline{Y}$ から明らかである。$\square$

1：$k$ は整域だから $\deg(fg)=\deg f+\deg g$ である。よって $d=\deg f$、$e=\deg g$ とおくと
$$ (fg)^h=x_0^{d+e}\,f\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)g\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)=x_0^{d}f\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)\cdot x_0^{e}g\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)=f^hg^h $$
である。$f^h=\sum_j x_0^{d-j}f_j$ の $j=d$ の項 $f_d(x_1,\dots,x_n)$ は $0$ でなく $x_0$ を含まないので、$x_0\nmid f^h$ である。$x_0=1$ を代入すれば $(f^h)_*=\sum_jf_j(y)=f$ である。
2：$F=\sum_{j=r}^{e}x_0^{\,j}G_j$ と書く。ここで $G_j\in k[x_1,\dots,x_n]$ は $e-j$ 次斉次で、$G_r\neq0$ である（$r$ の最大性）。$x_0=1$ を代入すると $F_*=\sum_{j=r}^{e}G_j(y_1,\dots,y_n)$ であり、その $e-j$ 次斉次成分が $G_j$ だから $\deg F_*=e-r$ である。したがって
$$ (F_*)^h=\sum_{j=r}^{e}x_0^{(e-r)-(e-j)}G_j=\sum_{j=r}^{e}x_0^{\,j-r}G_j,\qquad x_0^{\,r}(F_*)^h=\sum_{j=r}^{e}x_0^{\,j}G_j=F $$
である。
3：$F_*\in I$ なら、$F=x_0^r(F_*)^h$（2）で $(F_*)^h\in I^h$ だから $F\in I^h$ である（$F=0$ なら明らか）。逆に斉次な $F\in I^h$ をとると、$f_1,\dots,f_m\in I$ と $G_1,\dots,G_m\in S$ により $F=\sum_iG_if_i^h$ と書ける。$x_0=1$ を代入する操作 $S\to k[y_1,\dots,y_n]$ は環準同型だから、1 により
$$ F_*=\sum_i(G_i)_*\,(f_i^h)_*=\sum_i(G_i)_*\,f_i\in I $$
である。最後の主張は 2 と合わせれば従う。$\square$

斉次多項式 $F\in S$ と点 $a=(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{A}^n$ に対し、$F([1:a_1:\dots:a_n])=F(1,a)=F_*(a)$ である。よって $F$ が $V$ 上で消えることは $F_*$ が $V$ 上で消えること、すなわち $F_*\in I(V)$ と同値であり、lem-projective-closure-homogenization-basic の 3 によりこれは $F\in I(V)^h$ と同値である。一方 lem-projective-closure-closure-formula により、$F$ が $V$ 上で消えることと $\overline{V}$ 上で消えることは同値である。以上から、$I(\overline{V})$ の斉次元の全体と $I(V)^h$ の斉次元の全体は一致する。両者はいずれも斉次イデアル、すなわち自分の斉次元で生成されるイデアルだから、$I(\overline{V})=I(V)^h$ である。最後の主張は lem-projective-closure-closure-formula の $\overline{V}=V_+(I(\overline{V}))$ から従う。$\square$

$U_0$ の点 $[1:a]$ が $\overline{V}=V_+(I(V)^h)$（thm-projective-closure-ideal）に属することは、$I(V)^h$ のすべての斉次元 $F$ について $F(1,a)=0$ となることである。斉次元は $F=x_0^rf^h$（$f\in I(V)$）の形で（lem-projective-closure-homogenization-basic の 3）、$F(1,a)=f(a)$ だから、この条件は $a\in V(I(V))$ と同値である。$V$ はアフィン代数的集合だから $V(I(V))=V$ である（アフィン代数的集合の記事の零点集合と消滅イデアルの対応、Har77 I.1）。
後半：$S$ は Noether環だから $\mathbb{P}^n$ は Noether空間であり、閉集合は有限個の既約成分の和である（Har77 I.1.5、I.2）。$\overline{V}$ の既約成分 $Z_1,\dots,Z_m$ のうち $Z_1\subset H_\infty$ と仮定すると、$Z_1\cap U_0=\emptyset$ なので前半により $V=\overline{V}\cap U_0\subset Z_2\cup\dots\cup Z_m$ であり、右辺は閉だから $\overline{V}\subset Z_2\cup\dots\cup Z_m$、$Z_1$ が既約であることから $Z_1\subset Z_i$ となる $i\geq2$ があって、既約成分が互いに包含し合わないことに反する。$\square$

$V$ が既約とし、$\overline{V}=Z_1\cup Z_2$（$Z_i$ は閉集合）とする。$V=(V\cap Z_1)\cup(V\cap Z_2)$ は $V$ の 2 つの閉部分集合の和だから、既約性により $V\subset Z_i$ となる $i$ がある。$Z_i$ は閉なので $\overline{V}\subset Z_i$、すなわち $\overline{V}=Z_i$ である。$\overline{V}\neq\emptyset$ と合わせて $\overline{V}$ は既約である。
逆に $\overline{V}$ が既約とし、$V=A_1\cup A_2$（$A_i$ は $V$ の閉部分集合）とする。閉包は有限和と可換だから $\overline{V}=\overline{A_1}\cup\overline{A_2}$ であり、既約性により $\overline{V}=\overline{A_i}$ となる $i$ がある。$A_i$ は $V$ で閉だから $A_i=\overline{A_i}\cap V$ であり、$A_i=\overline{V}\cap V=V$ を得る。よって $V$ は既約である。最後の主張は prop-projective-closure-affine-part から従う（$V$ が $\overline{V}$ で稠密であることは閉包の定義そのものである）。$\square$

$f^h=\sum_jx_0^{d-j}f_j$ に $x_0=0$ を代入すると $f^h(0,x_1,\dots,x_n)=f_d(x_1,\dots,x_n)=f_{\mathrm{top}}$ である。点 $[0:a]$（$a=(a_1,\dots,a_n)\neq0$）が $\overline{V}=V_+(I(V)^h)$ に属することは、$I(V)^h$ の斉次元 $F=x_0^rf^h$（$f\in I(V)$）がすべて $(0,a)$ で消えることである。$r\geq1$ なら自動的に $F(0,a)=0$ であり、$r=0$ なら $F(0,a)=f_{\mathrm{top}}(a)$ である。よって $[0:a]\in\overline{V}$ であることは、すべての $0$ でない $f\in I(V)$ について $f_{\mathrm{top}}(a)=0$ となること、すなわち $[a]\in V_+(\operatorname{in}(I(V)))$ と同値である。$\square$

1：$(f)$ の元は $gf$（$g\in k[y_1,\dots,y_n]$）の形で、lem-projective-closure-homogenization-basic の 1 により $(gf)^h=g^hf^h\in(f^h)$ である。よって $(f)^h$ は $f^h$ を含み $f^h$ の倍元で生成されるから $(f)^h=(f^h)$ であり、thm-projective-closure-ideal により $I(\overline{V})=I(V)^h=(f^h)$、$\overline{V}=V_+(f^h)$ である。
2：$k[y_1,\dots,y_n]$ は一意分解整域だから（Lan02 IV §2）、$f=u\,f_1^{e_1}\cdots f_r^{e_r}$（$u\in k^\times$、$f_i$ は互いに同伴でない既約多項式、$e_i\geq1$）と分解できる。まず $\sqrt{(f)}=(f_1\cdots f_r)$ を示す。$g\in\sqrt{(f)}$ なら $f\mid g^m$ となる $m$ があり、各 $f_i$ は $g^m$ を割るので、一意分解整域では既約元が素元であることから $f_i\mid g$ である。$f_1,\dots,f_r$ は互いに素だから $f_1\cdots f_r\mid g$ である。逆に $e:=\max_ie_i$ とすると $(f_1\cdots f_r)^e\in(f)$ である。Hilbertの零点定理（Har77 I.1.3A）により $I(V(f))=\sqrt{(f)}=(f_1\cdots f_r)$ であるから、1 により
$$ I(\overline{V})=\bigl((f_1\cdots f_r)^h\bigr)=(f_1^h\cdots f_r^h),\qquad \overline{V}=V_+(f_1^h\cdots f_r^h)=\bigcup_{i=1}^rV_+(f_i^h) $$
である。一方 $f^h=u\,(f_1^h)^{e_1}\cdots(f_r^h)^{e_r}$（lem-projective-closure-homogenization-basic の 1）だから $V_+(f^h)=\bigcup_iV_+(f_i^h)$ でもある。よって $\overline{V}=V_+(f^h)$ である。$\square$

1：$I^h$ も右辺（$J_0$ の $x_0$ による飽和）も斉次イデアルだから、斉次元について比較すればよい。斉次な $F$ について $x_0^NF\in J_0\subset I^h$ とすると、lem-projective-closure-homogenization-basic の 3 により $F_*=(x_0^NF)_*\in I$、よって再び 3 により $F\in I^h$ である。逆に斉次な $F\in I^h$ をとると、$F=x_0^{\,r}(F_*)^h$ かつ $F_*\in I$ だから $F_*=\sum_ig_if_i$（$g_i\in k[y_1,\dots,y_n]$）と書ける。$N$ を $N\geq\deg F_*$ かつすべての $i$ について $N\geq\deg g_i+\deg f_i$ となるようにとると、$x_0^N$ を掛けて分母を払う計算
$$ x_0^N F_*\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)=\sum_ix_0^{\,N-\deg g_i-\deg f_i}\,g_i^h\,f_i^h\in J_0 $$
が成り立ち、左辺は $x_0^{\,N-\deg F_*}(F_*)^h$ である。よって $x_0^{\,N-\deg F_*}F=x_0^{\,r}\cdot x_0^{\,N-\deg F_*}(F_*)^h\in J_0$ である。後半：$x_0F\in I^h$ なら、$F$ の各斉次成分 $F_e$ について $x_0F_e\in I^h$ であり、$(F_e)_*=(x_0F_e)_*\in I$ から $F_e\in I^h$、よって $F\in I^h$ である。
2：斉次イデアル $\mathfrak{a}$ の根基 $\sqrt{\mathfrak{a}}$ は斉次イデアルである（$F\in\sqrt{\mathfrak{a}}$ の最高次成分 $F_e$ について $(F_e)^m$ は $F^m\in\mathfrak{a}$ の最高次成分だから $F_e\in\sqrt{\mathfrak{a}}$。以下帰納法）。よって $\sqrt{I^h}=(\sqrt{I})^h$ を斉次元について確かめればよく、斉次な $F$ について、$F\in\sqrt{I^h}$ ⟺ ある $m$ で $F^m\in I^h$ ⟺ $(F_*)^m=(F^m)_*\in I$ ⟺ $F_*\in\sqrt{I}$ ⟺ $F\in(\sqrt{I})^h$ だからである（lem-projective-closure-homogenization-basic の 3）。Hilbert の零点定理により $I(V)=\sqrt{I}$ なので、thm-projective-closure-ideal から
$$ \overline{V}=V_+\bigl(I(V)^h\bigr)=V_+\bigl((\sqrt{I})^h\bigr)=V_+\bigl(\sqrt{I^h}\bigr)=V_+(I^h) $$
である。
3：$[1:a]\in V_+(J_0)$ ⟺ すべての $i$ で $f_i^h(1,a)=f_i(a)=0$ ⟺ $a\in V$ である。また $J_0\subset I^h$ から $V_+(J_0)\supset V_+(I^h)=\overline{V}$ であり、$V_+(J_0)=(V_+(J_0)\cap U_0)\cup(V_+(J_0)\cap H_\infty)=V\cup Z\subset\overline{V}\cup Z\subset V_+(J_0)$ である。$\square$

生成についてのみ示す（Gröbner 基底であることの証明は CLO15 Ch. 8 §4 に譲る）。$f\in I$、$f\neq0$ をとる。$G$ が Gröbner 基底だから、$G$ による割り算アルゴリズムの余りは $0$ で、$f=\sum_ia_ig_i$ と書け、しかも各 $i$ について $a_ig_i=0$ または $\operatorname{LM}(a_ig_i)\leq\operatorname{LM}(f)$ が成り立つ（割り算の定理、CLO15 Ch. 2 §3、§6）。$>$ は次数つきだから、$\deg(a_ig_i)>\deg f$ なら $\operatorname{LM}(a_ig_i)>\operatorname{LM}(f)$ となって矛盾する。よって $\deg a_i+\deg g_i=\deg(a_ig_i)\leq\deg f$ である。$d:=\deg f$ とおいて分母を払うと
$$ f^h=x_0^{\,d}f\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)=\sum_ix_0^{\,d-\deg a_i-\deg g_i}\cdot x_0^{\deg a_i}a_i\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)\cdot x_0^{\deg g_i}g_i\!\left(\tfrac{x}{x_0}\right)=\sum_ix_0^{\,d-\deg a_i-\deg g_i}\,a_i^h\,g_i^h $$
であり、指数はすべて $0$ 以上だから $f^h\in(g_1^h,\dots,g_s^h)$ である。$I^h$ はこれらの $f^h$ で生成され、逆に $g_i\in I$ から $g_i^h\in I^h$ なので、$I^h=(g_1^h,\dots,g_s^h)$ である。$\square$

1：$\psi\colon S\to A[T]$ を $x_0\mapsto T$、$x_i\mapsto\bar{y}_iT$ で定める $k$ 代数の準同型とする。$d$ 次斉次な $F\in S_d$ に対し $\psi(F)=\overline{F_*}\,T^d$ である。$F\mapsto F_*$ は $S_d$ から次数 $d$ 以下の多項式全体への全射である（次数 $e\leq d$ の $g$ に対し $x_0^{d-e}g^h\mapsto g$）から $\psi(S_d)=F_dA\cdot T^d$、$\psi(S)=A^h$ である。$\psi$ は次数を保つので $\ker\psi$ は斉次イデアルであり、斉次な $F$ について $\psi(F)=0$ ⟺ $F_*\in I$ ⟺ $F\in I^h$（lem-projective-closure-homogenization-basic の 3）だから $\ker\psi=I^h$ である。
2：全射 $S\to S/I^h$ は閉埋め込み（閉埋め込み）$\operatorname{Proj}(S/I^h)\to\operatorname{Proj}S$ を定め、その像が $V_+(I^h)$ である（Har77 II Ex. 3.12）。$\overline{X}\cap D_+(x_0)=\operatorname{Spec}\bigl((S/I^h)_{(x_0)}\bigr)$ であり、1 により $(S/I^h)_{(x_0)}\cong(A^h)_{(T)}$ である。$(A^h)_{(T)}$ の元は $aT^d/T^d=a$（$a\in F_dA$）の形だから $(A^h)_{(T)}=\bigcup_dF_dA=A$ であり、この同一視のもとで $S_{(x_0)}=k[y_1,\dots,y_n]\to(S/I^h)_{(x_0)}=A$ は商写像 $k[y]\to k[y]/I$ に一致する。よって $\overline{X}\cap D_+(x_0)$ は閉部分スキーム $X=\operatorname{Spec}(k[y]/I)$ である（Har77 II.5.10）。
3：$\mathbb{P}^n_k$ の閉部分スキームは斉次イデアル $J\subset S$ により $Z=V_+(J)$ と書ける（Har77 II.5.16）。2 と同じ計算で $Z\cap D_+(x_0)=\operatorname{Spec}(k[y]/J_*)$、$J_*:=\{G_*\mid G\in J\text{ 斉次}\}$ であり、$Z\cap D_+(x_0)\supset X$ は $J_*\subset I$ を意味する。このとき斉次な $G\in J$ について $G_*\in I$ だから $G\in I^h$（lem-projective-closure-homogenization-basic の 3）、よって $J\subset I^h$ である。したがって全射 $S/J\to S/I^h$ があり、これは $\mathbb{P}^n_k$ 上の閉埋め込み $\overline{X}\to Z$ を与える。$\square$