de Brangesの定理
概要
de Brangesの定理（de Branges's theorem）とは、単位円板上の単射な正則関数 $f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots$ の係数がすべての $n\ge2$ で $|a_n|\le n$ を満たし、ある $n$ で等号が成り立つのは $f$ が Koebe 関数 $z/(1-z)^2$ の回転のときに限るという定理である。1916 年に Bieberbach が予想し（Bieberbach 予想）、$n=2$ から順に個別の証明が進んだのち、1985 年に de Branges が Löwner の方程式と Askey–Gasper の不等式を用いて、より強い Milin の予想を証明して解決した。Littlewood の評価 $|a_n|< en$ や、奇関数の係数についての Robertson の予想から予想が従うことは初等的に示せる。
前提知識: 単葉関数, Koebeの1/4定理, Taylor展開(複素解析), 偏角の原理
de Branges の定理 は、単位円板上の単射な正則関数の Taylor 係数の大きさを、ただ 1 つの関数（Koebe 関数）の係数で上から押さえる定理である。正規化された単葉関数 $f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots$ について $|a_n|\le n$ がすべての $n$ で成り立つことは、1916 年に Bieberbach が予想し（Bieberbach 予想）、$n=2$ の場合を証明した。その後、個々の $n$ ごとに別々の方法で証明が積み重ねられ、1985 年に de Branges がすべての $n$ について証明した。この記事では、定理の主張と等号の場合を述べ、Koebe 関数の回転で等号が成り立つことを確かめたうえで、記事の中で完全に証明できる部分として、$|a_n|< en$ という Littlewood の評価と、奇関数の係数についての Robertson の予想から Bieberbach 予想が従うことを証明する。de Branges の証明そのものはこの記事では証明せず、その筋と所在を示す。
定理の主張
$\mathbb{D}:=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}$ とし、$S$ を $\mathbb{D}$ 上の単射な正則関数 $f$ で $f(0)=0$、$f'(0)=1$ を満たすもの全体とする（単葉関数 の定義「単葉関数と族 $S$, $\Sigma$」）。$f\in S$ の Taylor 展開を $f(z)=z+\sum_{n\ge2}a_nz^n$ と書く。Koebe 関数 $k(z):=z/(1-z)^2=\sum_{n\ge1}nz^n$ は $S$ に属する（Koebeの1/4定理 の例「Koebe 関数」）。$\theta\in\mathbb{R}$ について $k_\theta(z):=e^{-i\theta}k(e^{i\theta}z)$ を Koebe 関数の 回転 という。
$f\in S$ ならば、すべての $n\ge2$ について
$$|a_n|\le n$$
が成り立つ。さらに、ある $n\ge2$ で $|a_n|=n$ となるのは、$f$ が Koebe 関数の回転 $k_\theta$ のときに限る。
この記事では thm-db-main を証明しない。証明は dB85（p. 151 の結びで、Theorem 2・Theorem 3 から Milin の予想と等号の場合を導き、Bieberbach 予想が従うことを述べる）にあり、Löwner の線形の偏微分方程式を使って短くした証明が FP85 §3（不等式）・§4（等号）にある。証明の筋は下の節「de Branges の証明の筋」で述べる。
$k_\theta(z)=e^{-i\theta}\sum_{n\ge1}n(e^{i\theta}z)^n=\sum_{n\ge1}ne^{i(n-1)\theta}z^n$ なので、$k_\theta$ の $z^n$ の係数の絶対値は $n$ である。$k_\theta$ は単射の合成なので単射で、$k_\theta(0)=0$、$k_\theta'(0)=1$ だから $k_\theta\in S$ である。したがって thm-db-main の評価 $|a_n|\le n$ はどの $n$ についても改善できない。$k_\theta$ は $\mathbb{D}$ を、原点から $\frac14$ 離れた点から無限遠まで延びる半直線 $\{-te^{-i\theta}\mid t\ge\frac14\}$ を除いた平面の上に写す（Koebeの1/4定理 の例「回転した Koebe 関数」）。
正規化を外した形では、$\mathbb{D}$ 上の単射な正則関数 $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ について $|a_n|\le n|a_1|$（$n\ge2$）となる。$(f-a_0)/a_1\in S$ に thm-db-main を当てればよい（$a_1=f'(0)\neq0$ は 単葉関数 の命題「単葉性と導関数」による）。
個々の係数での証明の歴史
thm-db-main の評価は、$n$ が小さいときから順に、次のように証明された（dB85 p. 137、Dur77 pp. 892–893）。
| 係数 | 証明した人 | 年 |
|---|---|---|
| $a_2$ | Bieberbach | 1916 |
| $a_3$ | Löwner | 1923 |
| $a_4$ | Garabedian, Schiffer | 1955 |
| $a_6$ | Pederson；Ozawa（独立に） | 1968 |
| $a_5$ | Pederson, Schiffer | 1972 |
| すべての $a_n$ | de Branges | 1985 |
$|a_2|\le2$ は面積定理から従う（Koebeの1/4定理 の定理「Bieberbach の不等式」）。すべての $n$ についての評価としては、Littlewood の $|a_n|< en$（次の節で証明する）が先にあり、Milin が $|a_n|<1.243n$、FitzGerald が $|a_n|<1.081n$ に改良した（Dur77 pp. 893–894）。
Littlewood の評価
係数は Cauchy の積分公式で円周上の積分として表されるので、$|f|$ の円周上の平均を押さえれば係数が押さえられる。鍵は、$|f|$ の平均が奇関数 $h$ の $|h|^2$ の平均に書き換えられ、後者は係数の 2 乗和になることである。
$f\in S$ に対し、$q(z):=f(z)/z$（$q(0):=1$）は $\mathbb{D}$ 上で $0$ にならない正則関数で、正則な平方根 $\varphi$（$\varphi^2=q$、$\varphi(0)=1$）をもつ。$h(z):=z\,\varphi(z^2)$ は $\mathbb{D}$ 上の単射な奇関数で $h(z)^2=f(z^2)$ を満たし、$h(z)=z+\frac{a_2}{2}z^3+\cdots$ である（Koebeの1/4定理 の定理「Bieberbach の不等式」の証明）。以下、$h(z)=\sum_{k\ge1}c_kz^k$（$c_1=1$、偶数の $k$ で $c_k=0$）と書き、この $h$ を $f$ の 奇関数版 と呼ぶ。
$f\in S$ と $0< R<1$ について
$$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(Re^{i\phi})|\,d\phi\le\frac{R}{1-R}$$
が成り立つ。
$0< r<1$ とし、$f$ の奇関数版 $h$ について $I(r):=\sum_{k\ge1}|c_k|^2r^{2k}$、$J(r):=\sum_{k\ge1}k|c_k|^2r^{2k}$ とおく。$h$ の Taylor 級数は円周 $|z|=r$ 上で絶対一様収束するので、積を展開して項別に積分してよく、$\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)\theta}d\theta$ が $k=l$ のときだけ $2\pi$ であることから
$$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|h(re^{i\theta})|^2d\theta=I(r),\qquad\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{h(re^{i\theta})}\,re^{i\theta}h'(re^{i\theta})\,d\theta=J(r)$$
である。
段 1（$J$ の評価）。 $\gamma(\theta):=h(re^{i\theta})$（$0\le\theta\le2\pi$）は $C^1$ 級の閉曲線で、$\gamma'(\theta)=ire^{i\theta}h'(re^{i\theta})$ である。Koebeの1/4定理 の補題「回転数の面積分」により、$\gamma$ の像の面積は $0$ で
$$\iint_{\mathbb{C}}n(\gamma,w)\,dA(w)=\frac1{2i}\oint_\gamma\bar w\,dw=\frac1{2i}\int_0^{2\pi}\overline{h(re^{i\theta})}\,ire^{i\theta}h'(re^{i\theta})\,d\theta=\pi J(r)$$
である。$w$ が $\gamma$ の像にないとき、$\zeta=h(z)$ と置き換えると $n(\gamma,w)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=r}\frac{h'(z)}{h(z)-w}\,dz$ であり、偏角の原理 の系「円周に沿う偏角の原理」によりこれは $h-w$ の $\{|z|< r\}$ の中の零点の個数（位数の重複を込める）である。$h$ は単射なので零点は高々 1 個で、$h'\neq0$（単葉関数 の命題「単葉性と導関数」）よりその位数は $1$ だから、$n(\gamma,w)$ は $0$ か $1$ である。$M:=\max_{|z|\le r}|h(z)|$ とおくと、$|w|>M$ なら $h-w$ は $\{|z|\le r\}$ に零点をもたないので $n(\gamma,w)=0$ である。よって $\pi J(r)\le\pi M^2$ である。$|h(z)|^2=|f(z^2)|$ で、単葉関数 の定理「歪曲定理」により $|u|\le r^2$ なら $|f(u)|\le|u|/(1-|u|)^2\le r^2/(1-r^2)^2$ なので
$$J(r)\le M^2\le\frac{r^2}{(1-r^2)^2}.$$
段 2（$I$ の評価）。 $I$ は $r$ の冪級数で $|r|<1$ で収束するので項別に微分でき、$I'(r)=\sum_k2k|c_k|^2r^{2k-1}=2J(r)/r$ である。段 1 から $I'(\rho)\le2\rho/(1-\rho^2)^2$（$0<\rho<1$）であり、$I(0)=0$ なので
$$I(r)=\int_0^rI'(\rho)\,d\rho\le\int_0^r\frac{2\rho}{(1-\rho^2)^2}\,d\rho=\frac1{1-r^2}-1=\frac{r^2}{1-r^2}.$$
段 3（平均への書き換え）。 $|h(re^{i\theta})|^2=|f(r^2e^{2i\theta})|$ であり、$\phi=2\theta$ と置き換えると被積分関数の周期性から
$$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r^2e^{i\phi})|\,d\phi=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r^2e^{2i\theta})|\,d\theta=I(r)\le\frac{r^2}{1-r^2}$$
である。$R=r^2$ とおけば主張を得る。$\square$
$f\in S$ ならば、すべての $n\ge2$ について $|a_n|< en$ である。ここで $e$ は自然対数の底である。
$0< R<1$ とする。Taylor 係数の積分表示（Cauchyの積分公式 の定理「導関数の積分表示」）により
$$a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=R}\frac{f(z)}{z^{n+1}}\,dz=\frac{1}{2\pi R^n}\int_0^{2\pi}f(Re^{i\phi})e^{-in\phi}\,d\phi$$
であり、lem-db-mean から
$$|a_n|\le\frac{1}{R^n}\cdot\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(Re^{i\phi})|\,d\phi\le\frac{R^{1-n}}{1-R}$$
である。$R:=1-\frac1n$ とおくと $\frac1{1-R}=n$、$R^{1-n}=\bigl(\frac{n}{n-1}\bigr)^{n-1}=\bigl(1+\frac1{n-1}\bigr)^{n-1}$ である。$x>0$ で $\log(1+x)< x$ なので $(1+\frac1m)^m< e$（$m\ge1$）であり、$|a_n|< en$ を得る。$\square$
Littlewood は円周上の平均の評価 $\frac1{2\pi}\int|f(Re^{i\phi})|d\phi\le R/(1-R)$ を幾何的な議論で示した（Dur77 pp. 893–894）。上の証明は、それを奇関数版の係数の 2 乗和と回転数の面積分に書き換えて示したものである。Koebe 関数では、Poisson 核の積分 $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1-R^2}{|1-Re^{i\phi}|^2}d\phi=1$ から $\frac1{2\pi}\int|k(Re^{i\phi})|d\phi=\frac{R}{1-R^2}$ であり、平均を使う評価 $|a_n|\le R^{-n}\cdot(\text{平均})$ からはどう $R$ を選んでも $en/2$ 程度より良い評価は出ない（Dur77 p. 894）。$|a_n|\le n$ に届くには別の考えが要る。
奇関数の係数と Robertson の予想
$f$ の係数は奇関数版 $h$ の係数で書ける。$h$ の係数を 1 つずつ $1$ で押さえるのは強すぎて成り立たないが、2 乗の和の形で押さえれば Bieberbach 予想が出る。
$f\in S$ とし、その奇関数版を $h(z)=\sum_{k\ge1}c_{2k-1}z^{2k-1}$（$c_1=1$）とする。ある $n\ge2$ について
$$\sum_{k=1}^n|c_{2k-1}|^2\le n$$
が成り立つならば、$|a_n|\le n$ である。
$f(z^2)=h(z)^2$ の両辺の $z^{2n}$ の係数を比べる。左辺では $a_n$ である。右辺では、和が $2n$ になる 2 つの奇数の添字 $(2k-1)+(2(n-k)+1)$（$k=1,\dots,n$）の積の和なので
$$a_n=\sum_{k=1}^nc_{2k-1}\,c_{2(n-k)+1}$$
である。$j:=n+1-k$ とおくと $2(n-k)+1=2j-1$ で、$k$ が $1$ から $n$ まで動くとき $j$ も $1$ から $n$ まで動く。Cauchy–Schwarzの不等式 により
$$|a_n|\le\Bigl(\sum_{k=1}^n|c_{2k-1}|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{j=1}^n|c_{2j-1}|^2\Bigr)^{1/2}=\sum_{k=1}^n|c_{2k-1}|^2\le n$$
である。$\square$
Robertson は 1936 年に、$S$ のすべての奇関数 $h$ についてすべての $n$ で $\sum_{k=1}^n|c_{2k-1}|^2\le n$ が成り立つと予想し（Robertson の予想）、prop-db-robertson の形でそれが Bieberbach 予想を導くことを指摘した（Rob36 p. 367 の (7)・(8)）。$S$ の奇関数はどれもある $f\in S$ の奇関数版として得られる（Dur77 p. 894）。
$h(z)=z+\frac{a_2}{2}z^3+\cdots$ なので $c_3=a_2/2$ であり、$n=2$ の Robertson の不等式 $1+|c_3|^2\le2$ は $|a_2|\le2$ と同値である。したがって $n=2$ では Robertson の予想は Bieberbach の不等式そのものであり、成り立つ。
1 つずつの評価 $|c_{2k-1}|\le1$（Littlewood–Paley の予想）は成り立たない。Fekete と Szegő は、$S$ の奇関数で $|c_5|=\frac12+e^{-2/3}>1$ となるものがあることを示した（Rob36 p. 367、Dur77 p. 895）。2 乗の和で押さえる Robertson の形は、この反例を許しつつ Bieberbach 予想を導くちょうどよい強さになっている。
de Branges の証明の筋
この節の主張はどれもこの記事では証明しない。所在は FP85 と dB85 である。
対数係数と Milin の予想。 $f\in S$ について $\log\frac{f(z)}{z}=2\sum_{k\ge1}\gamma_kz^k$（$\log$ は $0$ で値 $0$ をとる分枝）と書き、$\gamma_k$ を 対数係数 という。Koebe 関数では $\log\frac{k(z)}{z}=-2\log(1-z)=2\sum_k\frac1kz^k$ なので $\gamma_k=\frac1k$ である。de Branges が証明したのは
$$\sum_{k=1}^n(n+1-k)\Bigl(k|\gamma_k|^2-\frac1k\Bigr)\le0\qquad(n=1,2,\dots)$$
という不等式（1971 年に提出された Milin の予想）であり、Koebe 関数では各項が $0$ になる（dB85 pp. 137–138。FP85 (1.2)・(1.3) は係数 $2\gamma_k$ で同じ不等式を書いている）。Lebedev–Milin の指数化の不等式によって Milin の予想から Robertson の予想が従い（FP85 p. 683、dB85 p. 138）、prop-db-robertson によって Bieberbach 予想が従う。
Löwner の方程式。 単位円板を、無限遠まで延びる 1 本の Jordan 弧を除いた平面に写す $S$ の関数は、$S$ の中で局所一様収束の意味で稠密である。そのような $f$ には、$t\ge0$ を助変数とする単射な正則関数の族 $f(z,t)=e^tz+\cdots$ で $f(z,0)=f(z)$ を満たし、絶対値 $1$ の連続関数 $\kappa(t)$ について
$$\frac{\partial f(z,t)}{\partial t}=\frac{1+\kappa(t)z}{1-\kappa(t)z}\,z\,\frac{\partial f(z,t)}{\partial z}$$
を満たすものがある（Löwner、FP85 §3 の (3.1)–(3.3)）。
重み関数と Askey–Gasper の不等式。 $f(z,t)$ の対数係数 $\gamma_k(t)$ について、重み $\tau_k(t)$ をつけた量 $\psi(t):=\sum_{k=1}^n\bigl(k|\gamma_k(t)|^2-\frac1k\bigr)\tau_k(t)$ を考える（$\log\frac{f(z,t)}{e^tz}=2\sum_k\gamma_k(t)z^k$）。de Branges は $\tau_k$ を Jacobi 多項式の和で表される特別な関数にとり、$\tau_k(0)=n+1-k$ とした。Löwner の方程式から $\psi'(t)$ は $-\tau_k'(t)$ を係数とする 2 乗の和で表され、$\tau_k'\le0$（Askey と Gasper の Jacobi 多項式の和の不等式）から $\psi$ は単調非減少になる。$t\to\infty$ で $\psi(t)\to0$ なので $\psi(0)\le0$ であり、これが Milin の予想である（FP85 §2 の (2.1)–(2.5)、§3 の (3.9)–(3.13)）。等号の場合の決定は FP85 §4 と dB85 p. 151 にある。
仮定を外した反例
thm-db-main の評価は、$S$ を定める条件のうち次のどれを外しても成り立たない。$f(0)=0$ は $n\ge2$ の係数に影響しない（定数を足しても $a_n$ は変わらない）ので、表には入れない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 単射性 | $f(z):=z+3z^2$（$f(0)=0$、$f'(0)=1$） | $a_2=3>2$ |
| $f'(0)=1$ | $f(z):=2k(z)$（単射、$f(0)=0$） | $a_2=4>2$ |
| 単射である範囲が $\mathbb{D}$ 全体 | $f(z):=\frac12k(2z)$（$\lvert z\rvert<\frac12$ で単射、$f(0)=0$、$f'(0)=1$） | $a_n=n2^{n-1}>n$（$n\ge2$） |
1 行目：$f'(z)=1+6z$ は $z=-\frac16\in\mathbb{D}$ で $0$ になるので、単葉関数 の命題「単葉性と導関数」により $f$ は $\mathbb{D}$ 上で単射でない。2 行目：$2k$ は単射な $k$ の定数倍なので単射で、$z^2$ の係数は $2\cdot2=4$ である。正しい評価は正規化を外した形 $|a_n|\le n|a_1|$ であり、$|a_2|=4\le2\cdot2$ を満たす。3 行目：$k(2z)$ は $|2z|<1$ で単射なので $f$ は $\{|z|<\frac12\}$ 上で単射であり、$f(z)=\frac12\sum_{n\ge1}n(2z)^n=\sum_{n\ge1}n2^{n-1}z^n$ である。$f$ は $z=\frac12$ で極をもつので $\mathbb{D}$ 上の正則関数には延びない。$\square$
補足
thm-db-main は個々の関数については以前から「最終的には」成り立つことが知られていた。Hayman は、各 $f\in S$ について $|a_n|/n$ が $1$ 以下の極限をもち、極限が $1$ になるのは $f$ が Koebe 関数の回転のときに限ることを示した（Dur77 pp. 895–896）。ただし極限への近づき方は $f$ によって一様でないので、これから $|a_n|\le n$ は出ない。単葉関数 の系「係数の最大値」により各 $n$ で $A_n:=\max_{f\in S}|a_n|$ は達成されるが、thm-db-main はその値が $n$ であり、最大を与える関数が Koebe 関数の回転だけであることを述べている。
関連項目
- 前提: 単葉関数, Koebeの1/4定理, Taylor展開(複素解析), 偏角の原理
- 道具: Cauchyの積分公式, Cauchy–Schwarzの不等式
- 分野: 複素解析, 等角写像
参考文献
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