コモナド
概要
コモナド（comonad）とは、圏上の自己関手 $K$ と、余単位 $\varepsilon\colon K\Rightarrow\mathrm{Id}$、余乗法 $\delta\colon K\Rightarrow KK$ の組で、余結合律と余単位律を満たすものであり、反対圏上のモナドと同じものである。随伴 $F\dashv U$ は左随伴の行き先の圏に $FU$ のコモナドを定め、逆にどのコモナドも、余代数の圏からの忘却関手とその右随伴である余自由余代数の随伴から再現される。$K$ を繰り返し施した $K^{n+1}X$ は増大単体的対象（bar 構成）をなし、随伴から来たコモナドでは右随伴で送ると余分な退化射をもって可縮になる。群環上の加群の圏ではこれが群コホモロジーの bar 分解を与える。
前提知識: 随伴関手, 自然変換, モナドとBarr–Beckの定理
コモナド（comonad）は、モナドとBarr–Beckの定理 で扱うモナドの矢印をすべて逆にした構造である。自己関手 $K$ に、$K$ から恒等関手へ戻る自然変換（余単位）と、$K$ を $KK$ へ「複製する」自然変換（余乗法）を与え、余単位律と余結合律を課す。随伴 $F\dashv U$ があると、右随伴の側に $UF$ のモナドができるのと同時に、左随伴の行き先の圏に $FU$ のコモナドができる。たとえば群環 $\mathbb Z[G]$ 上の加群の圏では、$M$ を $\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}M$ へ送る関手がコモナドになる。
コモナドの使い道は二つある。一つは 余代数（coalgebra）で、対象 $A$ と構造射 $A\to KA$ の組であり、位相空間の開集合や「対象 $E$ の上の対象」のような構造を表す。主定理の一つ（thm-comonad-cofree）は、余代数の圏から元の圏への忘却関手が右随伴（余自由余代数）をもち、その随伴が元のコモナドを再現することを述べる。もう一つは bar 構成 で、$K$ を繰り返し施した $K^{n+1}X$ が単体的対象をなし（thm-comonad-bar）、随伴 $F\dashv U$ から来たコモナドでは右随伴 $U$ で送るとそれが可縮になる（thm-comonad-contractible）。これが群コホモロジーの bar 分解など、標準的な分解の一般形である。
定義
以下、自然変換 $\alpha$ と関手 $P,Q$ について、$P\alpha Q$ は成分 $(P\alpha Q)_X=P(\alpha_{QX})$ の自然変換を表す。
圏 $\mathcal C$ 上の コモナド（comonad）とは、関手 $K\colon\mathcal C\to\mathcal C$ と自然変換 $\varepsilon\colon K\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}$（余単位）、$\delta\colon K\Rightarrow KK$（余乗法）の組 $(K,\varepsilon,\delta)$ で、各対象 $X$ について
$$
K(\delta_X)\circ\delta_X=\delta_{KX}\circ\delta_X,\qquad
\varepsilon_{KX}\circ\delta_X=\operatorname{id}_{KX}=K(\varepsilon_X)\circ\delta_X
$$
を満たすものをいう。前者を 余結合律、後者を 余単位律 という。余モナド、cotriple ともいう。
コモナド $(K,\varepsilon,\delta)$ の 余代数（$K$-余代数）とは、対象 $A$ と射 $\alpha\colon A\to KA$ の組 $(A,\alpha)$ で
$$
\varepsilon_A\circ\alpha=\operatorname{id}_A,\qquad K(\alpha)\circ\alpha=\delta_A\circ\alpha
$$
を満たすものをいう。余代数の射 $h\colon(A,\alpha)\to(B,\beta)$ は、$\beta\circ h=K(h)\circ\alpha$ を満たす射 $h\colon A\to B$ である。余代数と余代数の射のなす圏を $\operatorname{CoAlg}(K)$ と書き、$(A,\alpha)\mapsto A$ を忘却関手 $U_K\colon\operatorname{CoAlg}(K)\to\mathcal C$ とする。
$\mathcal C$ 上のコモナドは、反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上のモナドと同じものである（矢印を逆にすると、余結合律・余単位律はモナドの結合律・単位律になる）。この対応で $K$-余代数は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上のモナドの代数（モナドとBarr–Beckの定理 の定義「モナド上の代数」）に対応し、$\operatorname{CoAlg}(K)$ はその Eilenberg–Moore 圏の反対圏である。定義は Mac98 VI.1（p. 139）、Rie16 Definition 5.1.6（p. 188）、Wei94 Definition 8.6.1（p. 279）による。自己関手の圏を合成でモノイダル圏とみると、コモナドはその余モノイド対象である（Mac98 VII.6, p. 181）。
直感
モナド $T$ の乗法 $TT\to T$ が「2 段の構成を 1 段にまとめる」操作であるのに対し、コモナドの余乗法 $K\to KK$ は「1 段の情報を 2 段に複製する」操作であり、余単位 $K\to\operatorname{Id}$ は「付け加えた情報を捨てる」操作である。下の例の $K(A)=E\times A$ では、$A$ の元に「環境」$e\in E$ を付け足したものが $KA$ の元であり、$\varepsilon$ は環境を捨て、$\delta$ は環境を複製する。余代数 $\alpha\colon A\to KA$ は「$A$ の各元に一貫したやり方で環境を割り当てる」ことであり、余単位律は割り当てた後に捨てれば元に戻ること、余結合律は割り当てを 2 度行っても複製と同じであることを述べる。
随伴とコモナド
$F\colon\mathcal A\to\mathcal C$、$U\colon\mathcal C\to\mathcal A$ が $F\dashv U$ を満たし、単位を $\eta\colon\operatorname{Id}_{\mathcal A}\Rightarrow UF$、余単位を $\varepsilon\colon FU\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ とする。$K=FU$、$\delta=F\eta U$（成分 $\delta_Y=F(\eta_{UY})$）とおくと、$(K,\varepsilon,\delta)$ は $\mathcal C$ 上のコモナドである。
要点：余単位律は二つの三角恒等式、余結合律は単位 $\eta$ の自然性を $F$ で送ったものである。
詳しい証明を開く
三角恒等式 $\varepsilon_{FA}\circ F(\eta_A)=\operatorname{id}_{FA}$、$U(\varepsilon_Y)\circ\eta_{UY}=\operatorname{id}_{UY}$（随伴関手）を使う。余単位律の一つ目は、前者を $A=UY$ で使った $\varepsilon_{FUY}\circ F(\eta_{UY})=\operatorname{id}_{FUY}$ である。二つ目は、後者を $F$ で送った $K(\varepsilon_Y)\circ\delta_Y=F(U(\varepsilon_Y))\circ F(\eta_{UY})=F\bigl(U(\varepsilon_Y)\circ\eta_{UY}\bigr)=\operatorname{id}_{FUY}$ である。余結合律は、$\eta$ の自然性を射 $\eta_{UY}\colon UY\to UFUY$ に当てた式 $UF(\eta_{UY})\circ\eta_{UY}=\eta_{UFUY}\circ\eta_{UY}$ を $F$ で送れば、左辺が $K(\delta_Y)\circ\delta_Y$、右辺が $\delta_{KY}\circ\delta_Y$ になることから従う。$\square$
随伴は右随伴の行き先 $\mathcal A$ に $UF$ のモナドを、左随伴の行き先 $\mathcal C$ に $FU$ のコモナドを同時に定める（Mac98 VI.1, p. 139、Wei94 8.6.2, p. 280）。逆に、すべてのコモナドは余代数の圏との随伴から生じる。
$(K,\varepsilon,\delta)$ を $\mathcal C$ 上のコモナドとする。$R_K(X)=(KX,\delta_X)$、$R_K(f)=K(f)$ と定めると $R_K\colon\mathcal C\to\operatorname{CoAlg}(K)$ は関手であり、$U_K\dashv R_K$ である。この随伴の余単位は $\varepsilon$、単位は $(A,\alpha)$ で構造射 $\alpha\colon(A,\alpha)\to(KA,\delta_A)$ であり、この随伴が prop-comonad-from-adjunction によって定めるコモナドはもとの $(K,\varepsilon,\delta)$ に一致する。
$R_K$ が関手であること。 $(KX,\delta_X)$ が余代数であるための 2 条件 $\varepsilon_{KX}\circ\delta_X=\operatorname{id}$ と $K(\delta_X)\circ\delta_X=\delta_{KX}\circ\delta_X$ は、余単位律の一つ目と余結合律そのものである。$f\colon X\to Y$ について $\delta_Y\circ K(f)=KK(f)\circ\delta_X$ は $\delta$ の自然性であり、$K(f)$ が余代数の射であることを述べている。
全単射の構成。 余代数 $(A,\alpha)$ と対象 $X$ をとる。射 $f\colon A\to X$ に対し $f^\sharp:=K(f)\circ\alpha\colon A\to KX$ とおく。$\delta$ の自然性と $\alpha$ の余結合の条件から
$$
\delta_X\circ f^\sharp=\delta_X\circ K(f)\circ\alpha=KK(f)\circ\delta_A\circ\alpha=KK(f)\circ K(\alpha)\circ\alpha=K(f^\sharp)\circ\alpha
$$
なので、$f^\sharp\colon(A,\alpha)\to(KX,\delta_X)$ は余代数の射である。$\varepsilon$ の自然性と $\alpha$ の余単位の条件から $\varepsilon_X\circ f^\sharp=f\circ\varepsilon_A\circ\alpha=f$ である。逆に余代数の射 $g\colon(A,\alpha)\to(KX,\delta_X)$ については、余単位律の二つ目により
$$
(\varepsilon_X\circ g)^\sharp=K(\varepsilon_X)\circ K(g)\circ\alpha=K(\varepsilon_X)\circ\delta_X\circ g=g
$$
である。よって $f\mapsto f^\sharp$ と $g\mapsto\varepsilon_X\circ g$ は互いに逆な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(U_K(A,\alpha),X)\cong\operatorname{Hom}_{\operatorname{CoAlg}(K)}((A,\alpha),R_KX)
$$
を与える。
自然性。 余代数の射 $h\colon(A',\alpha')\to(A,\alpha)$ について $(f\circ h)^\sharp=K(f)\circ K(h)\circ\alpha'=K(f)\circ\alpha\circ h=f^\sharp\circ h$、射 $k\colon X\to Y$ について $(k\circ f)^\sharp=K(k)\circ f^\sharp=R_K(k)\circ f^\sharp$ である。よって全単射は両変数について自然で、$U_K\dashv R_K$ である。
単位・余単位と誘導されるコモナド。 余単位は $\operatorname{id}_{R_KX}$ に対応する射 $\varepsilon_X\circ\operatorname{id}_{KX}=\varepsilon_X$、単位は $\operatorname{id}_A$ に対応する余代数の射 $(\operatorname{id}_A)^\sharp=\alpha$ である。誘導されるコモナドは、関手が $U_KR_K=K$、余単位が $\varepsilon$、余乗法が $U_K(\text{単位}_{R_KX})=U_K(\delta_X)=\delta_X$ であり、もとのコモナドに一致する。$\square$
この随伴は Rie16 の演習 5.2.iii（p. 197）がモナドの場合の Lemma 5.2.9（p. 193）の双対として求めているものである。モナドとBarr–Beckの定理 の比較関手と Barr–Beck の定理も、矢印を逆にして読めば、左随伴 $F$ が余代数の圏との圏同値を与える（コモナド的である）ための条件を与える。
例
$\mathcal C$ を有限直積をもつ圏、$E$ を対象とし、$K(A)=E\times A$、$\varepsilon_A=\pi_2\colon E\times A\to A$、$\delta_A=\langle\pi_1,\operatorname{id}_{E\times A}\rangle\colon E\times A\to E\times(E\times A)$ とおく（集合では $\varepsilon(e,a)=a$、$\delta(e,a)=(e,(e,a))$）。$\pi_2\circ\langle\pi_1,\operatorname{id}\rangle=\operatorname{id}$、$(\operatorname{id}_E\times\pi_2)\circ\langle\pi_1,\operatorname{id}\rangle=\langle\pi_1,\pi_2\rangle=\operatorname{id}$ で、$\delta_{KA}\circ\delta_A$ と $K(\delta_A)\circ\delta_A$ はともに $\langle\pi_1,\langle\pi_1,\operatorname{id}\rangle\rangle$ なので、$(K,\varepsilon,\delta)$ はコモナドである。
余代数 $\alpha\colon A\to E\times A$ は、余単位の条件 $\pi_2\circ\alpha=\operatorname{id}_A$ により $\alpha=\langle p,\operatorname{id}_A\rangle$（$p\colon A\to E$）と一意に書ける。このとき $K(\alpha)\circ\alpha$ と $\delta_A\circ\alpha$ はともに $\langle p,\langle p,\operatorname{id}_A\rangle\rangle$ なので、余結合の条件は自動的に成り立つ。射 $h$ が $(A,\langle p,\operatorname{id}\rangle)\to(B,\langle q,\operatorname{id}\rangle)$ の余代数の射であることは $\langle q\circ h,h\rangle=\langle p,h\rangle$、すなわち $q\circ h=p$ と同値である。よって $\operatorname{CoAlg}(K)$ は $E$ 上の対象の圏（スライス圏）$\mathcal C/E$ と同型であり、余自由余代数は $X\mapsto(E\times X\xrightarrow{\pi_1}E)$ である。このコモナドは、忘却関手 $\mathcal C/E\to\mathcal C$ とその右随伴 $X\mapsto(E\times X\to E)$ の随伴から prop-comonad-from-adjunction で得られるものでもある。
順序集合 $P$ を圏とみるとき（$p\le q$ のときだけ射 $p\to q$ がただ一つある）、図式はすべて可換になるので、$P$ 上のコモナドは単調写像 $K\colon P\to P$ で $Kp\le p$ かつ $Kp\le KKp$ を満たすもの、すなわち $Kp\le p$ かつ $KKp=Kp$ を満たすものである（Rie16 Example 5.1.7, pp. 188–189）。位相空間 $X$ の部分集合の順序集合で $K(A)=\operatorname{int}A$（開核）とおくとコモナドになる。余代数は $A\le\operatorname{int}A$、すなわち $A=\operatorname{int}A$ を満たす $A$、つまり開集合であり、$\operatorname{CoAlg}(K)$ は開集合の順序集合である。thm-comonad-cofree の随伴は、開集合 $V$ と任意の部分集合 $A$ について「$V\subset A$ と $V\subset\operatorname{int}A$ が同値」という開核の普遍性にほかならない。
$G$ を群とし、$\mathbb Z[G]$ 加群（G加群）の圏 $\mathcal C$ からアーベル群の圏への忘却関手を $U$、その左随伴を $F(C)=\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}C$（$G$ は左の因子に作用する）とする（Wei94 Example 8.6.3, p. 280）。単位は $\eta_C(c)=1\otimes c$、余単位は $\varepsilon_M(g\otimes m)=gm$ である。prop-comonad-from-adjunction のコモナドは
$$
K(M)=\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}M,\qquad\varepsilon_M(g\otimes m)=gm,\qquad\delta_M(g\otimes m)=g\otimes1\otimes m
$$
である。$K^{n+1}(\mathbb Z)=\mathbb Z[G]^{\otimes(n+1)}$ は、$K^n(\mathbb Z)$ の基礎のアーベル群（自由アーベル群）に $F$ を施したものなので、自由 $\mathbb Z[G]$ 加群である。
bar 構成
コモナドを繰り返し施すと単体的対象ができる。面射・退化射は余単位・余乗法を $K$ の列のどこか 1 か所に施したものである。
$(K,\varepsilon,\delta)$ を $\mathcal C$ 上のコモナド、$X$ を対象とする。$n\ge0$ について $B_n:=K^{n+1}X$ とし、$0\le i\le n$ について
$$
d_i:=K^i\varepsilon K^{n-i}\colon K^{n+1}X\to K^nX,\qquad s_i:=K^i\delta K^{n-i}\colon K^{n+1}X\to K^{n+2}X
$$
とおく（成分は $d_i=K^i(\varepsilon_{K^{n-i}X})$、$s_i=K^i(\delta_{K^{n-i}X})$）。$\varepsilon_X\colon B_0=KX\to X$ を 増大 とする。
証明では次の交換法則を何度も使う。
関手 $P,P',Q,Q'\colon\mathcal C\to\mathcal C$ と自然変換 $\alpha\colon P\Rightarrow P'$、$\beta\colon Q\Rightarrow Q'$ について $P'\beta\circ\alpha Q=\alpha Q'\circ P\beta\colon PQ\Rightarrow P'Q'$ である。
対象 $X$ での成分は $P'(\beta_X)\circ\alpha_{QX}$ と $\alpha_{Q'X}\circ P(\beta_X)$ であり、両者が等しいことは $\alpha$ の自然性を射 $\beta_X\colon QX\to Q'X$ に当てた式そのものである。$\square$
def-comonad-bar の $d_i,s_i$ は単体的恒等式（単体的対象 の命題「単体的恒等式」の 5 つの式）を満たす。したがって $[n]\mapsto K^{n+1}X$ は $\mathcal C$ の単体的対象 $K^{\bullet+1}X$ であり、$\varepsilon_X$ はその増大である。
単体的恒等式を満たす面射・退化射の族は単体的対象を一意に定める（単体的対象 の注意「生成元と関係式による単体的対象の記述」）ので、5 つの式と $\varepsilon_Xd_0=\varepsilon_Xd_1$ を確かめればよい。どの式も、両辺が $K^{n+1}X$ の列の 2 か所（または同じ 1 か所）に $\varepsilon$ か $\delta$ を施す合成である。
異なる位置に施す式。 $i< j$ のとき、$K^{n+1}=K^i\,K\,K^{j-i-1}\,K\,K^{n-j}$ と分けると、
$$
d_i\circ d_j=K^i\bigl(\varepsilon K^{j-i-1}\circ KK^{j-i-1}\varepsilon\bigr)K^{n-j},\qquad
d_{j-1}\circ d_i=K^i\bigl(K^{j-i-1}\varepsilon\circ\varepsilon K^{j-i}\bigr)K^{n-j}
$$
であり、括弧の中は lem-comonad-interchange を $\alpha=\varepsilon\colon K\Rightarrow\operatorname{Id}$、$\beta=K^{j-i-1}\varepsilon\colon K^{j-i}\Rightarrow K^{j-i-1}$ に当てた式の両辺である。よって $d_id_j=d_{j-1}d_i$ である。同じく、$i< j$ のときの $s_is_j=s_{j+1}s_i$ は $\alpha=\delta\colon K\Rightarrow KK$ と $\beta=K^{j-i-1}\delta$ に、$d_is_j=s_{j-1}d_i$（$i< j$）は $\alpha=\varepsilon$ と $\beta=K^{j-i-1}\delta$ に、$d_is_j=s_jd_{i-1}$（$i>j+1$）は $\alpha=\delta$ と $\beta=K^{i-j-2}\varepsilon$ に交換法則を当てて得られる。増大についての $\varepsilon_X\circ d_0=\varepsilon_X\circ d_1$、すなわち $\varepsilon_X\circ\varepsilon_{KX}=\varepsilon_X\circ K(\varepsilon_X)$ は、$\varepsilon$ の自然性を射 $\varepsilon_X$ に当てた式である。
同じ位置に施す式。 $s_js_j=s_{j+1}s_j$ は
$$
s_j\circ s_j=K^j(\delta K\circ\delta)K^{n-j},\qquad s_{j+1}\circ s_j=K^j(K\delta\circ\delta)K^{n-j}
$$
であり、余結合律から等しい。$d_js_j=\operatorname{id}$ と $d_{j+1}s_j=\operatorname{id}$ は
$$
d_j\circ s_j=K^j(\varepsilon K\circ\delta)K^{n-j},\qquad d_{j+1}\circ s_j=K^j(K\varepsilon\circ\delta)K^{n-j}
$$
であり、余単位律から恒等射である。$\square$
$K^{\bullet+1}X$ を $X$ の bar 構成（または $K$ による標準分解）という（Wei94 8.6.4, pp. 280–281、Mac98 VII.6, p. 181）。随伴から来たコモナドでは、右随伴で送ると余分な退化射ができる。
$F\colon\mathcal A\to\mathcal C$、$U\colon\mathcal C\to\mathcal A$ を $F\dashv U$（単位 $\eta$、余単位 $\varepsilon$）とし、$K=FU$ を prop-comonad-from-adjunction のコモナドとする。$\mathcal C$ の対象 $X$ について、$\mathcal A$ の増大単体的対象 $U(K^{\bullet+1}X)\xrightarrow{U\varepsilon_X}UX$ に
$$
s_{-1}:=\eta_{UK^nX}\colon UK^nX\to UFUK^nX=UK^{n+1}X\qquad(n\ge0,\ K^0X:=X)
$$
を与えると、$d_0s_{-1}=\operatorname{id}$（$n=0$ では $d_0$ は増大 $U\varepsilon_X$）と $d_{i+1}s_{-1}=s_{-1}d_i$（$n\ge1$、$0\le i\le n-1$）が成り立つ。とくに $\mathcal A$ がアーベル圏で $U$ が加法的なら、単体的対象 の命題「余分な退化射をもつ増大単体的対象は可縮」により、増大した付随複体
$$
\cdots\to UK^3X\to UK^2X\to UKX\xrightarrow{U\varepsilon_X}UX\to0
$$
は可縮であり、とくに完全である。
$Y:=K^nX$ とおく。$UK^{n+1}X=UKY$ からの面射 $d_0$ は $U(\varepsilon_Y)$ であり（$n=0$ では $Y=X$ で、これは増大 $U\varepsilon_X$ である）、$s_{-1}=\eta_{UY}$ なので、$d_0s_{-1}=U(\varepsilon_Y)\circ\eta_{UY}=\operatorname{id}_{UY}$ は三角恒等式である。
次に $n\ge1$、$0\le i\le n-1$ とする。$UK^{n+1}X$ からの面射 $d_{i+1}=U(K^{i+1}\varepsilon K^{n-1-i})$ は、$UK^nX$ からの面射 $d_i=U(K^i\varepsilon K^{n-1-i})$ を使って $d_{i+1}=UK(d_i')$ と書ける。ここで $d_i'\colon K^nX\to K^{n-1}X$ は $\mathcal C$ での面射で、$d_i=U(d_i')$ である。$UK=UFU$ なので、$\eta$ の自然性を射 $U(d_i')\colon UK^nX\to UK^{n-1}X$ に当てると
$$
d_{i+1}\circ s_{-1}=UF\bigl(U(d_i')\bigr)\circ\eta_{UK^nX}=\eta_{UK^{n-1}X}\circ U(d_i')=s_{-1}\circ d_i
$$
を得る。後半は引用した命題をこの $s_{-1}$ に当てたものである（$U$ が加法的なので、付随複体は面射の交代和を $U$ で送ったものになる）。$\square$
$s_{-1}$ は $\mathcal A$ の射であり、$\mathcal C$ の射を $U$ で送ったものではない。この区別が要ることは反例の表の 3 行目が示す。主張は Wei94 Proposition 8.6.10（p. 282）である。
ex-comonad-group-ring のコモナド $K$ について、$\mathbb Z[G]$ 加群の複体
$$
\cdots\to K^3(\mathbb Z)\to K^2(\mathbb Z)\to K(\mathbb Z)\xrightarrow{\varepsilon_{\mathbb Z}}\mathbb Z\to0
$$
（微分は面射の交代和）は完全であり、$\mathbb Z$（自明な作用）の自由 $\mathbb Z[G]$ 加群による分解である。
thm-comonad-contractible により、基礎のアーベル群の複体は可縮で、とくに完全である。$\mathbb Z[G]$ 加群の射の核と像は基礎のアーベル群で計算されるので、$\mathbb Z[G]$ 加群の複体としても完全である。各 $K^{n+1}(\mathbb Z)$ が自由 $\mathbb Z[G]$ 加群であることは ex-comonad-group-ring で見た。$\square$
Wei94 8.6.11（pp. 282–283）によれば、この分解は群の非正規化 bar 分解（Wei94 6.5.1）である。単体的対象 の例「bar 構成」も、単体的集合 $EG$ から同じく $\mathbb Z$ の自由分解を作っている。そこに現れる余分な退化射 $s_{-1}(g_0,\dots,g_n)=(1,g_0,\dots,g_n)$ が $G$ 作用と可換でないことは、$s_{-1}$ が $\mathbb Z[G]$ 加群の射ではなくアーベル群の射であることに対応している。
矢印を逆にすると、モナド $(T,\eta,\mu)$ と対象 $Y$ から余単体的対象 $[n]\mapsto T^{n+1}Y$（余面射 $T^i\eta T^{n-i}$、余退化射 $T^i\mu T^{n-i}$）が得られる（Wei94 8.6.4, p. 281）。位相空間上のアーベル群の層 $\mathcal F$ に各点の茎の摩天楼層の積を対応させるモナドから得られる余単体的層が、層の Godement 分解である（Wei94 8.6.15, p. 285）。また関手 $E\colon\mathcal C\to\mathcal M$（$\mathcal M$ はアーベル圏）について $E(K^{\bullet+1}X)$ のホモロジーを $X$ のコモナド・ホモロジー（cotriple homology）といい、$\operatorname{Tor}$ がこの形で得られる（Wei94 Definition 8.7.1, p. 286、Example 8.7.2, p. 287）。これらはこの記事では証明しない。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 余単位律 $K\varepsilon\circ\delta=\operatorname{id}$（thm-comonad-bar） | $\mathbf{Set}$ 上の $K(A)=A\times A$、$\varepsilon(a,b)=a$、$\delta(a,b)=((a,b),(a,b))$。$\varepsilon K\circ\delta=\operatorname{id}$ と余結合律は成り立つ | $d_1s_0=K(\varepsilon)\circ\delta$ は $(a,b)\mapsto(a,a)$ で恒等写像でなく、単体的恒等式 $d_1s_0=\operatorname{id}$ が破れる |
| 余結合律（thm-comonad-bar） | 単位元 $1$ をもつ結合的でない演算の集合 $M=\{1,a,b\}$（$aa=b$、$ab=b$、$ba=a$、$bb=a$。$(aa)a=a\ne b=a(aa)$）について、$\mathbf{Set}$ 上の $T(Y)=M\times Y$、$\eta(y)=(1,y)$、$\mu(m,(m',y))=(mm',y)$ を $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ 上で見たもの。余単位律は成り立つ | $s_0s_0=s_1s_0$ は $\mathbf{Set}$ では $\mu\circ\mu T=\mu\circ T\mu$ にあたり、$(m(m'm''),y)\ne((mm')m'',y)$ となる元があるので破れる |
| $U$ で $\mathcal A$ へ送ってから考える（thm-comonad-contractible） | ex-comonad-group-ring で $G\ne1$ とし、$\mathbb Z[G]$ 加群の圏そのもので考える | 増大 $\varepsilon_{\mathbb Z}\colon\mathbb Z[G]\to\mathbb Z$ は $\mathbb Z[G]$ 加群の射として分裂しないので、$\mathbb Z[G]$ 加群の複体としては可縮でない |
3 行目の理由を開く
3 行目の理由：$\mathbb Z[G]$ 加群の射 $\sigma\colon\mathbb Z\to\mathbb Z[G]$ について、$x=\sigma(1)$ は $gx=x$（$g\in G$）を満たす。$G$ は $\mathbb Z[G]$ の基底 $G$ を置換するので、$x$ の係数は $G$ 上で一定であり、有限個を除いて $0$ だから、$G$ が無限なら $x=0$、有限なら $x$ は $\sum_{g\in G}g$ の整数倍である。どちらの場合も $\varepsilon_{\mathbb Z}(x)$ は $0$ か $\lvert G\rvert$ の倍数で $1$ にならない。一方、複体が可縮なら $-1$ 次の縮約は $\varepsilon_{\mathbb Z}$ の切断になるはずである。なお、この複体は $\mathbb Z[G]$ 加群の複体として完全ではある（cor-comonad-group-bar）。
関連項目
参考文献
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