準分離射

要点：準コンパクトな開集合は、指定した開被覆の各開集合に入るアフィン開集合の有限個で覆える。

1 ⇒ 2。 $V$、$U$、$U'$ を 2 のとおりにとると、$W_{U,U'}$ はアフィンなので準コンパクトな開集合であり、その逆像 $\Delta^{-1}(W_{U,U'})=U\cap U'$ は準コンパクトである。
2 ⇒ 1。 $Q\subset X\times_SX$ を準コンパクトな開集合とする。$V$、$U$、$U'$ をアフィンとした $W=W_{U,U'}$ たちは $X\times_SX$ を覆い、各 $W$ はアフィンなので、その主開集合 $W_u$（$u\in\Gamma(W,\mathcal{O})$）たちは $X\times_SX$ の開基をなす。$Q$ は準コンパクトなので、$Q$ に含まれる有限個の主開集合 $W_{1,u_1},\dots,W_{n,u_n}$ で覆える。$\Delta$ を $\Delta^{-1}(W_i)=U_i\cap U'_i$ に制限した射を $\delta_i\colon U_i\cap U'_i\to W_i$ とすると、lem-qsep-qc の 3 により
$$ \Delta^{-1}(W_{i,u_i})=\delta_i^{-1}(W_{i,u_i})=(U_i\cap U'_i)_{\delta_i^\#u_i} $$
である。2 により $U_i\cap U'_i$ は準コンパクトなので、lem-qsep-qc の 3 によりこれは準コンパクトである。$\Delta^{-1}(Q)$ はその有限個の和なので準コンパクトであり、$\Delta$ は準コンパクトである。
2 ⇔ 3。 スキーム $f^{-1}(V)$ に「1 ⇔ 2」を射 $f^{-1}(V)\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ について当てはめる。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ はアフィンで、そのアフィン開集合 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の逆像は $f^{-1}(V)$ 全体だから、$f^{-1}(V)$ が準分離的であることは、$f^{-1}(V)$ の任意の 2 つのアフィン開集合の共通部分が準コンパクトであることと同値である。これを $S$ のすべてのアフィン開集合 $V$ について並べたものが 2 である。
スキームの場合。 (a) ⇔ (b) は「1 ⇔ 2」で $S=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$、$V=S$ とした場合である。アフィン開集合は準コンパクトなので (c) ⇒ (b) である。(b) を仮定し、準コンパクトな開集合 $Q,Q'$ をとる。$Q=\bigcup_{i=1}^mU_i$、$Q'=\bigcup_{j=1}^nU'_j$ とアフィン開集合の有限個で覆うと、$Q\cap Q'=\bigcup_{i,j}U_i\cap U'_j$ は準コンパクトな集合の有限個の和なので準コンパクトである。$\square$

1：閉埋め込み $i\colon Z\to Y$ は準コンパクトである。実際、$Y$ の準コンパクトな開集合 $Q$ について、$i^{-1}(Q)$ は $Q$ の閉集合 $i(Z)\cap Q$ と同相であり、準コンパクトな空間の閉集合は準コンパクトである。$f$ が分離的なら $\Delta_{X/S}$ は閉埋め込みなので準コンパクトであり、$f$ は準分離的である。
2：アフィンスキームは分離的なので（分離射 の命題「アフィンスキームの射の分離性」）、1 により準分離的である。$X$ が準分離的で $Y\subset X$ が開部分スキームなら、$Y$ のアフィン開集合は $X$ のアフィン開集合でもあるので、thm-qsep-equivalent の (b) により $Y$ は準分離的である。
3：$X$ を局所 Noether スキームとし、$U=\operatorname{Spec}B$、$U'$ をアフィン開集合とする。$B$ は Noether 環なので $U$ の閉集合は降鎖条件をみたし、$U$ の開集合 $U\cap U'$ は準コンパクトである（準コンパクト の命題「Noether 位相空間の開集合」）。thm-qsep-equivalent の (b) により $X$ は準分離的である。$\square$

分離射 の命題「合成・底変換・積で閉じること」の証明で、次の 3 つが $T$ 値点の計算で確かめられている。(i) $X'=X\times_SS'$ について、$\Delta_{X'/S'}$ は $\Delta_{X/S}$ の射 $(X\times_SX)\times_SS'\to X\times_SX$ による底変換である。(ii) 標準射 $j\colon X\times_YX\to X\times_ZX$ は $\Delta_{Y/Z}$ の $f\times_Zf\colon X\times_ZX\to Y\times_ZY$ による底変換であり、$\Delta_{X/Z}=j\circ\Delta_{X/Y}$ である。(iii) $\Delta_{X/Y}$ は $\Delta_{X/Z}$ の $j$ による底変換である。
2：(i) と lem-qsep-qc の 2 による。1：(ii) と lem-qsep-qc の 2 により $j$ は準コンパクトで、準コンパクトな射の合成 $j\circ\Delta_{X/Y}$ も準コンパクトである。3：(iii) と lem-qsep-qc の 2 による。
4：$f$ が準分離的なら、$f^{-1}(V_\alpha)\to V_\alpha$ は $f$ の開埋め込み $V_\alpha\to S$ による底変換なので、2 により準分離的である。逆を示す。$X\times_SX$ の開集合 $T_\alpha:=p_1^{-1}(f^{-1}V_\alpha)\cap p_2^{-1}(f^{-1}V_\alpha)$ は $f^{-1}(V_\alpha)\times_{V_\alpha}f^{-1}(V_\alpha)$ と同型で、これらは $X\times_SX$ を覆う（$X\times_SX$ の点は $S$ のある点の上にあり、その点はある $V_\alpha$ に入る）。$\Delta^{-1}(T_\alpha)=f^{-1}(V_\alpha)$ であり、$\Delta$ を $T_\alpha$ の上に制限した射は $f^{-1}(V_\alpha)\to V_\alpha$ の対角射である。仮定からこれは準コンパクトなので、lem-qsep-qc の 1 により $\Delta$ は準コンパクトである。$\square$

1：合成 $X\xrightarrow{f}Y\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は準分離的なので、prop-qsep-permanence の 3 により $f$ は準分離的である。後半は prop-qsep-examples の 3 による。
2：$X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は $f$ と $S\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の合成なので、prop-qsep-permanence の 1 による。
3：積 $X\times Y:=X\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z}}Y$ とグラフ射 $\Gamma_f=(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times Y$ を考えると、$f=p_2\circ\Gamma_f$ である。$p_2\colon X\times Y\to Y$ は $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の $Y\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ による底変換であり、$X$ は準コンパクトなので $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は準コンパクトだから、lem-qsep-qc の 2 により $p_2$ は準コンパクトである。また、正方形
$$ \begin{array}{ccc} X&\xrightarrow{\ \Gamma_f\ }&X\times Y\\ {\scriptstyle f}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f\times\mathrm{id}_Y}\\ Y&\xrightarrow{\ \Delta_Y\ }&Y\times Y \end{array} $$
はファイバー積の図式である。実際、$T$ 値点で見ると、$(X\times Y)\times_{Y\times Y}Y$ の点は組 $(a,b)\in X(T)\times Y(T)$ と $c\in Y(T)$ で $(f\circ a,b)=(c,c)$ をみたすもの、すなわち $b=c=f\circ a$ をみたすものであり、$a\in X(T)$ だけで決まる。よって $\Gamma_f$ は準コンパクトな射 $\Delta_Y$ の底変換で準コンパクトであり、$f=p_2\circ\Gamma_f$ も準コンパクトである。$\square$