懸垂

1：$q^{-1}(U_+)=X\times(0,1]$、$q^{-1}(U_-)=X\times[0,1)$ は $X\times[0,1]$ の開集合なので、商位相の定義により $U_\pm$ は開集合である。$W\subset X\times(0,1)$ を開集合とすると、$W$ は $X\times[0,1]$ の開集合であり、$0< t<1$ の点の同値類は 1 点だけなので $q^{-1}(q(W))=W$ である。よって $q(W)$ は開集合である。したがって $q|_{X\times(0,1)}$ は $U_+\cap U_-=q(X\times(0,1))$ の上への連続な開写像で単射なので、同相写像である。$x\mapsto(x,\tfrac12)$ は $X$ から $X\times(0,1)$ への埋め込みなので、最後の主張が従う。
2：$U_+$ について示す（$U_-$ は $t$ を $1-t$ に置き換えればよい）。$X\times(0,1]$ は $q$ について飽和した開集合なので、制限 $q_+\colon X\times(0,1]\to U_+$ は商写像である（商写像 の補足「制限との相性」）。$[0,1]$ は局所コンパクト Hausdorff 空間なので、$q_+\times\mathrm{id}_{[0,1]}$ も商写像である（錐(位相) の注意「Whiteheadの補題の扱い」）。連続写像
$$ K\colon X\times(0,1]\times[0,1]\to U_+,\qquad K(x,t,s):=q\bigl(x,\ t+s(1-t)\bigr) $$
は、$t=1$ のとき $x,s$ によらず $v_+$ をとるので、$q_+\times\mathrm{id}$ のファイバーの上で一定である。よって連続写像 $H\colon U_+\times[0,1]\to U_+$、$H([x,t],s)=[x,t+s(1-t)]$ が誘導される。$H(\cdot,0)$ は恒等写像、$H(\cdot,1)$ は $v_+$ への定値写像で、すべての $s$ で $H(v_+,s)=v_+$ である。
3：$v_-$ 以外の点 $p\in U_+$ は道 $s\mapsto H(p,s)$ で $v_+$ と結ばれる。$X\ne\emptyset$ なので $x_0\in X$ をとると、経線 $t\mapsto[x_0,t]$ が $v_-$ と $v_+$ を結ぶ。
4：$q^{-1}(C_+)=X\times[\tfrac12,1]$ は閉集合なので $C_+$ は閉集合であり、この飽和した閉集合への $q$ の制限は商写像である（商写像 の補足「制限との相性」）。そのファイバーは $X\times\{1\}$ と 1 点集合なので、$C_+$ は $X\times[\tfrac12,1]$ の $X\times\{1\}$ を 1 点に潰した空間と同相である。同相写像 $X\times[\tfrac12,1]\to X\times[0,1]$、$(x,t)\mapsto(x,2t-1)$ は $X\times\{1\}$ を $X\times\{1\}$ に写すので、$C_+\cong CX$ である。$C_-$ も $(x,t)\mapsto(x,1-2t)$ により同様である。和と共通部分の主張は定義から明らかである。$\square$

1：$q_Y\circ(f\times\mathrm{id}_{[0,1]})\colon X\times[0,1]\to SY$ は連続であり、$X\times\{0\}$ を $v_-$ に、$X\times\{1\}$ を $v_+$ に写すので、$q_X$ のファイバーの上で一定である。商写像の普遍性（商写像 の定理「商写像の普遍性」）により、$Sf$ は矛盾なく定まり連続である。$S(g\circ f)([x,t])=[g(f(x)),t]=Sg(Sf([x,t]))$ と $S(\mathrm{id})([x,t])=[x,t]$ は代表元で確かめられる。
2：$F\colon X\times[0,1]\to Y$ を $f$ から $g$ へのホモトピーとする。$[0,1]$ は局所コンパクト Hausdorff なので、$q_X\times\mathrm{id}_{[0,1]}\colon X\times[0,1]\times[0,1]\to SX\times[0,1]$ は商写像である（錐(位相) の注意「Whiteheadの補題の扱い」）。連続写像 $(x,t,s)\mapsto q_Y(F(x,s),t)$ は $x,s$ によらず、$t=0$ のとき $v_-$、$t=1$ のとき $v_+$ をとるので、連続写像 $SX\times[0,1]\to SY$、$([x,t],s)\mapsto[F(x,s),t]$ を誘導する。これは $Sf$ から $Sg$ へのホモトピーである。$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to X$ が $g\circ f\simeq\mathrm{id}_X$、$f\circ g\simeq\mathrm{id}_Y$ を満たせば、1 と 2 により $Sg\circ Sf=S(g\circ f)\simeq S(\mathrm{id}_X)=\mathrm{id}_{SX}$ であり、逆向きも同様である。$\square$

1：$SX$ は弧状連結なので（susp-prop-cones の 3）、$\tilde H_0(SX)=0$ である。開被覆 $SX=U_+\cup U_-$ を考える。$U_+\cap U_-$ は $X\times(0,1)$ と同相なので空でない。被約ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列（Mayer–Vietoris完全列 の命題「被約ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列」）の一部
$$ \tilde H_{k+1}(U_+)\oplus\tilde H_{k+1}(U_-)\to\tilde H_{k+1}(SX)\xrightarrow{\ \partial\ }\tilde H_k(U_+\cap U_-)\to\tilde H_k(U_+)\oplus\tilde H_k(U_-) $$
において、$U_\pm$ は可縮（susp-prop-cones の 2）なので両端は $0$ であり、$\partial$ は同型である。
次に $j_X\colon X\to U_+\cap U_-$、$j_X(x):=[x,\tfrac12]$ がホモトピー同値であることを示す。susp-prop-cones の 1 の同相 $X\times(0,1)\cong U_+\cap U_-$ のもとで、$j_X$ は $x\mapsto(x,\tfrac12)$ に、射影 $p(x,t):=x$ はその左逆写像になる。$p\circ j_X=\mathrm{id}_X$ であり、$((x,t),s)\mapsto(x,(1-s)t+\tfrac s2)$ は $X\times(0,1)$ の中で恒等写像から $j_X\circ p$ へのホモトピーである（$(1-s)t+\tfrac s2$ は $t$ と $\tfrac12$ の間にあるので $(0,1)$ に入る）。よって $(j_X)_*$ は同型であり、
$$ \sigma_X:=(j_X)_*^{-1}\circ\partial $$
は同型である。
2：$Sf([x,t])=v_-$ となるのは $t=0$ のときに限るので、$Sf(U_+^X)\subset U_+^Y$ であり、同様に $Sf(U_-^X)\subset U_-^Y$ である（記号の右肩は空間を表す）。開被覆を開被覆へ写す写像について Mayer–Vietoris 完全列は自然であり（Mayer–Vietoris完全列 の「自然性」の節）、$\partial_Y\circ(Sf)_*=(Sf|_{U_+\cap U_-})_*\circ\partial_X$ である。また $Sf\circ j_X=j_Y\circ f$ である。したがって
$$ \sigma_Y\circ(Sf)_*=(j_Y)_*^{-1}(Sf|)_*\,\partial_X=(j_Y)_*^{-1}(Sf|)_*(j_X)_*\,\sigma_X=(j_Y)_*^{-1}(j_Y)_*f_*\,\sigma_X=f_*\circ\sigma_X $$
となる。$\square$

1：$\tilde H_k(S^0)$ は $k=0$ で $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である。$S^{n}\cong SS^{n-1}$（susp-ex-sphere）と susp-thm-iso により、$n$ についての帰納法で従う。$\tilde H_0(S^n)=0$（$n\ge1$）は susp-thm-iso の 1 の前半である。この計算は Mayer–Vietoris完全列 の命題「球面のホモロジー」でも示されている。
2：$\tilde\chi(X):=\sum_k(-1)^k\operatorname{rank}\tilde H_k(X)$ とおくと、$H_0(X)\cong\tilde H_0(X)\oplus\mathbb{Z}$ から $\tilde\chi(X)=\chi(X)-1$ である。susp-thm-iso により
$$ \tilde\chi(SX)=\sum_k(-1)^{k+1}\operatorname{rank}\tilde H_{k+1}(SX)=-\sum_k(-1)^k\operatorname{rank}\tilde H_k(X)=-\tilde\chi(X) $$
なので、$\chi(SX)-1=-(\chi(X)-1)$、すなわち $\chi(SX)=2-\chi(X)$ である。$\square$

$U_+$、$U_-$ は開集合で、可縮なので弧状連結で基本群は自明である（susp-prop-cones の 1・2）。$U_+\cap U_-$ は $X\times(0,1)$ と同相であり、弧状連結な空間の直積なので弧状連結で、空でない。van Kampenの定理 の系「単連結性の判定」により、$SX$ の基本群は自明であり、$SX$ は単連結である。$\square$