懸垂

1：$e\colon[0,1]\to S^1$、$e(t)=\exp(2\pi it)$ とおき、$\mathrm{id}_X\times e\colon X\times[0,1]\to X\times S^1$ が閉写像であることを示す。$C\subset X\times[0,1]$ を閉集合、$(x,z)\notin(\mathrm{id}\times e)(C)$ とする。$T:=e^{-1}(z)$ は 1 点か 2 点で、各 $t\in T$ について $(x,t)\notin C$ なので、開集合 $U_t\ni x$、$V_t\ni t$ で $(U_t\times V_t)\cap C=\emptyset$ となるものがある。$U:=\bigcap_{t\in T}U_t$、$V:=\bigcup_{t\in T}V_t$ とおく。$e([0,1]\setminus V)$ はコンパクトなので閉集合で $z$ を含まず、$W:=S^1\setminus e([0,1]\setminus V)$ は $z$ の開近傍で $e^{-1}(W)\subset V$ を満たす。$(x',t')\in C$ で $(x',e(t'))\in U\times W$ とすると、$t'\in V_t$ となる $t\in T$ があって $(x',t')\in U_t\times V_t$ となり矛盾する。よって $U\times W$ は $(\mathrm{id}\times e)(C)$ と交わらず、$\mathrm{id}\times e$ は閉写像である。全射な閉写像は商写像なので、スマッシュ積 の商写像 $X\times S^1\to X\wedge S^1$ との合成も商写像である。この合成のファイバーは $X\vee S^1$ の逆像 $X\times\{0,1\}\cup\{x_0\}\times[0,1]$ と残りの 1 点集合であり、$X\times[0,1]\to\Sigma X$ のファイバーと一致するので、$\Sigma X\cong X\wedge S^1$ である。

2：$SX$ は $X\times[0,1]$ の積の胞体構造の商として CW 複体であり（Hat02 Chapter 0、p. 9）、$x_0$ が $0$ 胞体なので経線 $A:=q(\{x_0\}\times[0,1])$ は $0$ 胞体 $v_\pm$ と $1$ 胞体 1 つからなる部分複体で、線分と同相なので可縮である。CW 対はホモトピー拡張性質をもつ（Whiteheadの定理 の命題「CW 対のホモトピー拡張性質」）ので、写像柱 の系「可縮な部分空間をつぶす」により $SX\to SX/A=\Sigma X$ はホモトピー同値である（Hat02 Example 0.10、p. 12）。

3：$S^1$ は局所コンパクト Hausdorff なので、スマッシュ積 の注意「随伴の位相版」により $[X\wedge S^1,Y]_*\cong[X,\Omega Y]_*$ であり、1 の同相で左辺を $[\Sigma X,Y]_*$ に置き換えればよい。$\square$

全不連結な CW 複体は $0$ 胞体だけからなる離散空間なので、離散でないこの $X$ は CW 複体の構造をもたない。

1：$H=\bigcup_nC_n$ を ハワイの耳飾り の定義の空間、$o$ を原点とし、$\Phi\colon X\times[0,1]\to H$ を $\Phi(1/n,t):=\frac1n(1-\cos2\pi t,\ \sin2\pi t)$、$\Phi(0,t):=o$ で定める。$1/n$ は $X$ の孤立点なので $\Phi$ は $\{1/n\}\times[0,1]$ の上で連続であり、$\|\Phi(1/n,t)\|\le2/n$ なので $(0,t)$ でも連続である。$\Phi(x,t)=o$ となるのは $x=0$ または $t\in\{0,1\}$ のときに限り、それ以外の点では $\Phi$ は単射で、像は $H$ 全体である。よって $\Phi$ は連続な全単射 $\Sigma X\to H$ を誘導する。$\Sigma X$ はコンパクト、$H$ は Hausdorff なので、これは同相写像である。基本群の非可算性は ハワイの耳飾り の定理「無限積への全射」による。

2：$h\colon SX\to[0,1]$、$h([x,t]):=t$ は連続である。$v_-$ を基点とするループ $\gamma$ をとる。開集合 $\gamma^{-1}(SX\setminus\{v_+,v_-\})$ は互いに交わらない開区間 $J=(a,b)$ の可算個の和で、$\gamma(a)$、$\gamma(b)$ は懸垂点である。$\gamma(J)\subset U_+\cap U_-\cong X\times(0,1)$（susp-prop-cones の 1）であり、$X$ の 2 点以上を含む部分集合はその間にある $X$ に属さない実数で分けられて連結でないので、$\gamma(J)$ はある $x$ の経線 $q(\{x\}\times(0,1))$ に含まれる。$\gamma(a)\ne\gamma(b)$ となる $J$ の上では $h\circ\gamma$ が $0$ から $1$ まで動くので、$h\circ\gamma$ の一様連続性からそのような $J$ の長さには正の下限があり、その個数は有限である。両端が同じ懸垂点 $v_c$（$v_+$ なら $c=1$、$v_-$ なら $c=0$）である $J$ の上では $G(s,\tau):=[x,(1-\tau)h(\gamma(s))+\tau c]$ とおき、ほかの $s$ では $G(s,\tau):=\gamma(s)$ とおく。

$G$ の連続性を確かめる。各 $J$ の上では明らかである。どの $J$ にも入らない $s_0$ では $\gamma(s_0)$ は懸垂点で、たとえば $v_-$ とする。$X$ はコンパクトなので、$v_-$ の任意の近傍は $q(X\times[0,\varepsilon))$（$0<\varepsilon<1$）の形の近傍を含む。$|s-s_0|<\eta$ なら $h(\gamma(s))<\varepsilon$ となる $\eta>0$ をとる。この範囲の $s$ が両端の同じ $J$ に入るとき、$J$ の端点の一方は $s$ と $s_0$ の間にあり、そこで $h\circ\gamma<1$ なので $c=0$ であり、$h(G(s,\tau))\le h(\gamma(s))<\varepsilon$ である。よって $G$ は $(s_0,\tau)$ で連続である。$G$ は $s=0,1$ を動かさないので、$\gamma$ は $\gamma':=G(\cdot,1)$ と道ホモトピックである。

$\gamma'$ の像は懸垂点と有限個の経線に含まれるので、ある空でない有限集合 $F\subset X$ について $q(F\times[0,1])$ に含まれる。$SX$ はコンパクト Hausdorff 空間 $X\times[0,1]$ の閉集合を順に潰したものなので Hausdorff であり（スマッシュ積 の補題「コンパクトHausdorff空間の閉集合による商」）、$q(F\times[0,1])$ は $SF$ と同相である。$F$ が $r$ 点なら $SF$ は 2 頂点を $r$ 本の辺で結んだグラフで、1 本の辺（可縮な部分複体）を潰すと $r-1$ 個の円周のウェッジ和とホモトピー同値になり（写像柱 の系「可縮な部分空間をつぶす」）、基本群は有限生成の自由群で可算である（基本群 の例「円周のウェッジ和」）。$X$ の有限部分集合は可算個なので、$\pi_1(SX,v_-)$ は可算個の可算集合 $\operatorname{Im}\bigl(\pi_1(SF,v_-)\to\pi_1(SX,v_-)\bigr)$ の和であり、可算である（Hat02 §1.2 Exercise 18、pp. 54–55）。$\square$

$CX$ の点を $[x,s]$（$s=1$ が頂点 $v$）、$\Sigma(CX)$ の点を $[x,s,t]$ と書く。$\Sigma(CX)$ は $X\times[0,1]^2$ の商で、同一視は「$s=1$ の点は $t$ が等しければ $x$ によらず同じ」「$t\in\{0,1\}$ の点と $x=0$, $s=0$ の点はすべて基点 $\ast$」である。コンパクト Hausdorff 空間の閉集合を潰す商を 2 回とったものなので、$\Sigma(CX)$ はコンパクト Hausdorff である（スマッシュ積 の補題「コンパクトHausdorff空間の閉集合による商」）。$CX$ が可縮であることは 錐(位相) の命題「錐は可縮」による。

開被覆。 $P:=[v,\tfrac12]$ とし、$W_1:=\Sigma(CX)\setminus\{P\}$、$W_2$ を $\{(x,s,t)\mid s>\tfrac12,\ \tfrac14< t<\tfrac34\}$ の像とする。$W_2$ の逆像は同一視について閉じた開集合で、基点の同一視とは交わらないので、$W_2$ は開集合であり、頂点を含む $CX$ の開集合 $C'=\{[x,s]\mid s>\tfrac12\}$ と区間の積 $C'\times(\tfrac14,\tfrac34)$ に同相である。$C'$ は頂点への直線ホモトピーで可縮なので、$W_2$ は可縮である。

$W_1$ は底に変形できる。 正方形 $Q=[0,1]^2$ の点 $y=(s,t)\ne P_0:=(1,\tfrac12)$ に対し、$P_0$ から $y$ への半直線が辺 $L:=\{t=0\}\cup\{s=0\}\cup\{t=1\}$ に当たる点を $\rho(y)=P_0+\lambda(y)(y-P_0)$ とする。$\lambda(y)=\min\{1/(1-s),\ \tfrac12/|t-\tfrac12|\}$（分母が $0$ の項は除く）は $Q\setminus\{P_0\}$ で連続で $\lambda\ge1$、$L$ の上で $\lambda=1$ である。$H_\tau(y):=P_0+((1-\tau)+\tau\lambda(y))(y-P_0)$ は $Q\setminus\{P_0\}$ の中のホモトピーで、$L$ を動かさず、辺 $s=1$ を辺 $s=1$ に写す。$x$ によらない式なので、$(x,y,\tau)\mapsto(x,H_\tau(y))$ は上の同一視を保ち、$W_1$ の強変形レトラクション $R\colon W_1\to B$ を与える。ここで $B$ は $X\times\{0\}\times[0,1]$ の像で、コンパクトな $\Sigma X$ からの連続全単射の像なので $\Sigma X$ と同相であり、susp-ex-reduced-counterexample によりハワイの耳飾り $H$ と同相である。この同相で、$x=1/n$ の底の弧 $\beta_n:t\mapsto[1/n,0,t]$ は円周 $C_n$ を 1 周するループに当たる。

$W_1\cap W_2$ は $SX$ の形をしている。 $\delta=\tfrac18$ とし、$A:=\{(s,t)\mid s\le1,\ (1-s)^2+(t-\tfrac12)^2=\delta^2\}$ とおく。$y\mapsto P_0+\delta(y-P_0)/|y-P_0|$ への直線ホモトピーは同じ理由で $W_1\cap W_2$ を $X\times A$ の像 $A_X$ へ強変形レトラクトする。$A$ の両端 $(1,\tfrac12\pm\delta)$ は $x$ によらず同一視されるので、$A_X$ は懸垂 $SX$ と同相である。とくに $W_1\cap W_2$ は弧状連結であり、$W_1$ も弧状連結（$B$ に変形できる）である。基点を $e:=[v,\tfrac12-\delta]\in A_X$ にとる。

準同型の構成。 $\varphi=(\varphi_n)\colon\pi_1(H,o)\to\prod\mathbb{Z}$ を ハワイの耳飾り の定理「無限積への全射」の全射とし、$\psi\colon\pi_1(W_1,e)\to\prod\mathbb{Z}/\bigoplus\mathbb{Z}$ を、$R$ が誘導する同型 $\pi_1(W_1,e)\cong\pi_1(B,\ast)\cong\pi_1(H,o)$、$\varphi$、商写像の合成とする。$\psi$ は全射である。$W_1\cap W_2$ 内の $e$ のループ $\gamma$ をとる。$\gamma$ は $W_1\cap W_2$ の中で $A_X\cong SX$ 内のループに変形でき、susp-ex-reduced-counterexample の証明の 2 により、さらに有限個の $x\in F$ の弧の和の中のループに変形できる。$R$ は $x$ の弧を、辺 $t=0$（基点）、底の弧 $\beta_x$、辺 $t=1$（基点）の順にたどる道に写すので、$R\circ\gamma$ は有限個の円周 $C_n$（$1/n\in F$）の和に入るループと道ホモトピックである。$n$ がそれ以外なら $r_n\circ R\circ\gamma$ は定値なので $\varphi_n=0$ となり、$\varphi(R_*[\gamma])\in\bigoplus\mathbb{Z}$、すなわち $\psi$ は $\pi_1(W_1\cap W_2,e)$ の像を $0$ に送る。$\pi_1(W_2,e)$ は自明なので、van Kampenの定理 の同型と融合積の普遍性により、$\psi$ は全射準同型 $\pi_1(\Sigma(CX),e)\to\prod\mathbb{Z}/\bigoplus\mathbb{Z}$ を誘導する。

非可算性。 $0,1$ に値をとる列で $\prod\mathbb{Z}/\bigoplus\mathbb{Z}$ の同じ類に入るものは有限個の項だけが違うので、各類には可算個しかない。$\{0,1\}$ 値の列全体は非可算なので、商は非可算であり、それに全射する $\pi_1(\Sigma(CX),e)$ も非可算である（Hat02 §1.2 Exercise 18、pp. 54–55）。$\square$