波動方程式

同義語：wave equation

概要

前提知識: 偏微分方程式, 調和関数, Gaussの発散定理

波動方程式（wave equation）とは、空間の変数 $x\in\mathbb{R}^n$ と時間 $t$ の未知関数 $u(x,t)$ についての偏微分方程式
$$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\Delta u\qquad\Bigl(\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\dots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\Bigr) $$
のことである。$c>0$ は波の伝わる速さで、$n=1$ では張った弦の振動、$n=2$ では膜の振動、$n=3$ では音波や電磁波の各成分を表す。$u(x,t)=v(x,ct)$ とおくと $v$ は $c=1$ の方程式を満たすので、以下では $c=1$ とする。波動方程式は双曲型の偏微分方程式の代表であり（偏微分方程式の定義「楕円型・放物型・双曲型」。係数が場所と時刻で変わる一般の場合は双曲型偏微分方程式で扱う）、熱方程式と対照的に、初期値の影響は有限の速さでしか伝わらず、時間を逆にたどっても同じ形の方程式になる。
この記事では、初期値問題の解を次元ごとに公式で与える。1 次元の d'Alembert の公式を思い出したあと、3 次元では球面平均を使って問題を 1 次元に帰着させ、Kirchhoff の公式を証明する。2 次元の公式は、3 次元の解のうち 1 つの変数によらないものを考える 降下法 で得られる。公式を比べると、3 次元では解がちょうど光円錐の表面の初期値だけで決まる（Huygens の原理）のに対し、2 次元ではそうならないことがわかる。最後に、エネルギーの保存と、公式が成り立つために必要な初期値の滑らかさを調べる。

定義と球面平均

波動方程式の初期値問題

$g,h\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ を関数とする。$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$ 上の $C^2$ 級の関数 $u(x,t)$ で
$$ u_{tt}=\Delta u,\qquad u(x,0)=g(x),\qquad u_t(x,0)=h(x) $$
を満たすものを、初期値 $(g,h)$ の 初期値問題（Cauchy 問題）の解という。$g$ を初期変位、$h$ を初期速度ともいう。

解 $u$ が $C^2$ 級なら、$g=u(\cdot,0)$ は $C^2$ 級、$h=u_t(\cdot,0)$ は $C^1$ 級である。$u$ が解なら $u(x,-t)$ も（初期速度を $-h$ にした）解であり、空間の平行移動・回転をした関数も解である。
高次元の公式は 球面平均 で書く。$S\subset\mathbb{R}^n$ を単位球面、$\sigma$ を $S$ 上の正規化された表面積測度（$\sigma(S)=1$）とし、連続関数 $\varphi$ について
$$ M_\varphi(x,r):=\int_S\varphi(x+r\zeta)\,d\sigma(\zeta)\qquad(x\in\mathbb{R}^n,\ r\in\mathbb{R}) $$
とおく。$r>0$ では球面 $\partial B(x,r)$ 上の $\varphi$ の平均値であり、$\zeta\mapsto-\zeta$ で $\sigma$ が変わらないので $M_\varphi(x,-r)=M_\varphi(x,r)$、また $M_\varphi(x,0)=\varphi(x)$ である。$\varphi$ が $C^k$ 級なら、積分記号の下での微分により $M_\varphi$ は $(x,r)$ について $C^k$ 級で、$\Delta_xM_\varphi=M_{\Delta\varphi}$（$k\ge2$）である。
$r$ についての微分は調和関数の補題「球面平均の微分公式」が与える。$\varphi$ が $C^2$ 級で $r>0$ なら
$$ \partial_rM_\varphi(x,r)=\frac{1}{nV(B)r^{n-1}}\int_{B(x,r)}\Delta\varphi\,dy\qquad(1) $$
である（$V(B)$ は単位球の体積で、半径 $r$ の球面の面積は $nV(B)r^{n-1}$。$n=3$ では $nV(B)=4\pi$）。

1 次元：d'Alembert の公式

$n=1$ の初期値問題は、$g\in C^2(\mathbb{R})$、$h\in C^1(\mathbb{R})$ についてただ一つの $C^2$ 級の解をもち、それは
$$ u(x,t)=\frac{g(x+t)+g(x-t)}{2}+\frac12\int_{x-t}^{x+t}h(s)\,ds $$
である（d'Alembertの公式の定理「d'Alembert の公式」で $c=1$ とした場合）。解は右と左に進む 2 つの波 $a(x-t)+b(x+t)$ の和であり、$u(x,t)$ は区間 $[x-\lvert t\rvert,x+\lvert t\rvert]$ の上の初期値だけで決まる。両端を固定した弦の問題は、初期値を奇関数として周期的に延ばして同じ公式で解ける（波動方程式と弦の振動）。2 次元の Lorentz 計量の光的座標でみた同じ分解（右と左に進む波の和）は光的座標の系「2 次元の波動方程式の一般解」にある。以下の高次元の議論は、この公式に帰着させる。

3 次元：Kirchhoff の公式

$n=3$ では、解の球面平均に半径を掛けたものが 1 次元の波動方程式を満たす。

球面平均の満たす 1 次元の方程式

$n=3$ とし、$u\in C^2(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R})$ が $u_{tt}=\Delta u$ を満たすとする。$x\in\mathbb{R}^3$ を固定し、
$$ v(r,t):=r\int_Su(x+r\zeta,t)\,d\sigma(\zeta)\qquad(r,t\in\mathbb{R}) $$
とおくと、$v$ は $\mathbb{R}^2$ 上の $C^2$ 級の関数で、$v_{tt}=v_{rr}$ を満たし、$r$ について奇関数である。

$M(r,t):=\int_Su(x+r\zeta,t)\,d\sigma(\zeta)$ とおく。$u$ は $C^2$ 級なので、積分記号の下での微分により $M$ は $\mathbb{R}^2$ 上 $C^2$ 級で $M_{tt}(r,t)=\int_Su_{tt}(x+r\zeta,t)\,d\sigma$ であり、$M$ は $r$ について偶関数である。よって $v=rM$ は $C^2$ 級の奇関数である。
$r>0$ とする。(1) を $\varphi=u(\cdot,t)$ に当て、方程式 $\Delta u=u_{tt}$ を使うと
$$ r^2M_r(r,t)=\frac1{4\pi}\int_{B(x,r)}u_{tt}(y,t)\,dy=\int_0^r\rho^2M_{tt}(\rho,t)\,d\rho $$
である。2 つ目の等号は極座標による（調和関数の注意「この記事で使う積分の基本事項」の 1。$n=3$ では $\int_{B(x,r)}\psi\,dy=4\pi\int_0^r\rho^2M_\psi(x,\rho)\,d\rho$）。両辺を $r$ で微分すると $2rM_r+r^2M_{rr}=r^2M_{tt}$、すなわち
$$ v_{rr}=(rM)_{rr}=2M_r+rM_{rr}=rM_{tt}=v_{tt} $$
である。$v$ は $r$ について奇関数なので $v_{rr}$ と $v_{tt}$ も奇関数で、等式は $r<0$ でも成り立つ。$r=0$ では、両辺が連続なので極限をとって成り立つ。$\square$

Kirchhoff の公式

$n=3$ とする。

（一意性と表示）$u\in C^2(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R})$ が初期値 $(g,h)$ の初期値問題の解なら、すべての $(x,t)$ で
$$ u(x,t)=\partial_t\bigl(t\,M_g(x,t)\bigr)+t\,M_h(x,t)\qquad(2) $$
である。とくに解は高々 1 つである。
（存在）$g\in C^3(\mathbb{R}^3)$、$h\in C^2(\mathbb{R}^3)$ なら、(2) の右辺は初期値 $(g,h)$ の初期値問題の $C^2$ 級の解である。
$t>0$ では、(2) は次のように書ける。
$$ u(x,t)=\frac1{4\pi t^2}\int_{\partial B(x,t)}\bigl(g(y)+\nabla g(y)\cdot(y-x)+t\,h(y)\bigr)\,dS(y). $$

1：$x$ を固定し、lem-we-epd の $v$ を考える。$v$ は $\mathbb{R}^2$ 上の 1 次元の波動方程式の $C^2$ 級の解で、初期値は
$$ G(r):=v(r,0)=r\,M_g(x,r),\qquad H(r):=v_t(r,0)=r\,M_h(x,r) $$
である（$v_t$ は積分記号の下で微分した）。d'Alembert の公式の一意性から
$$ v(r,t)=\frac{G(r+t)+G(r-t)}{2}+\frac12\int_{r-t}^{r+t}H(s)\,ds $$
である。一方 $v=rM$ なので $\partial_rv(0,t)=M(0,t)=u(x,t)$ である。右辺を $r$ で微分して $r=0$ とおくと
$$ u(x,t)=\frac{G'(t)+G'(-t)}{2}+\frac{H(t)-H(-t)}{2}=G'(t)+H(t) $$
となる。最後の等号は、$G$ と $H$ が奇関数なので $G'$ が偶関数で $H(-t)=-H(t)$ であることによる。$G'(t)=\partial_t(tM_g(x,t))$、$H(t)=tM_h(x,t)$ なので (2) を得る。
2：まず、$\varphi\in C^2(\mathbb{R}^3)$ について $W_\varphi(x,t):=t\,M_\varphi(x,t)$ が $C^2$ 級で $\partial_t^2W_\varphi=\Delta W_\varphi$、$W_\varphi(x,0)=0$、$\partial_tW_\varphi(x,0)=\varphi(x)$ を満たすことを示す。$C^2$ 級であることと初期値は $M_\varphi$ の性質から明らかである。$t>0$ とし、$I(t):=\int_{B(x,t)}\Delta\varphi\,dy=4\pi\int_0^t\rho^2M_{\Delta\varphi}(x,\rho)\,d\rho$ とおくと、(1) から $\partial_tM_\varphi=I/(4\pi t^2)$ なので
$$ \partial_tW_\varphi=M_\varphi+\frac{I}{4\pi t},\qquad \partial_t^2W_\varphi=\frac{I}{4\pi t^2}+\frac{I'(t)}{4\pi t}-\frac{I}{4\pi t^2}=t\,M_{\Delta\varphi}(x,t)=\Delta_xW_\varphi $$
である（$I'(t)=4\pi t^2M_{\Delta\varphi}(x,t)$、$\Delta_xM_\varphi=M_{\Delta\varphi}$）。$W_\varphi$ は $t$ について奇関数なので $t<0$ でも成り立ち、$t=0$ では連続性から成り立つ。
$h\in C^2$ なので $W_h$ は初期値 $(0,h)$ の解である。$g\in C^3$ なら $W_g$ は $C^3$ 級で、$U:=\partial_tW_g$ は $C^2$ 級であり、$U_{tt}=\partial_t\Delta W_g=\Delta U$、$U(x,0)=g(x)$、$U_t(x,0)=\partial_t^2W_g(x,0)=\Delta W_g(x,0)=0$ を満たす。よって $U+W_h$ が初期値 $(g,h)$ の解で、これは (2) の右辺である。
$t>0$ での書き換えは、$\partial_t(tM_g)=M_g+t\int_S\nabla g(x+t\zeta)\cdot\zeta\,d\sigma$ で $y=x+t\zeta$ とおき、調和関数の注意「この記事で使う積分の基本事項」の 2（$\int_{\partial B(x,t)}\psi\,dS=4\pi t^2\int_S\psi(x+t\zeta)\,d\sigma$）を使えばよい。$\square$

$g$ の滑らかさが $C^3$ 級でないと、$C^2$ 級の解は存在しないことがある（ex-we-counterexamples の 1 行目）。公式 (2) には $g$ の 1 階微分が現れるので、解は初期値より滑らかさを失う。1 次元の d'Alembert の公式ではこのようなことは起こらない。
公式 (2) から、3 次元の波動方程式の際立った性質が読み取れる。

Huygens の原理（3 次元）

$n=3$ とし、$g\in C^3(\mathbb{R}^3)$、$h\in C^2(\mathbb{R}^3)$、$u$ を初期値 $(g,h)$ の解とする。

$t\ne0$ なら $u(x,t)$ は、球面 $\partial B(x,\lvert t\rvert)$ の上の $g$、$\nabla g$、$h$ の値だけで決まる。$t=0$ では $u(x,0)=g(x)$ である。
$g$ と $h$ が閉球 $\overline B(0,R)$ の外で $0$ なら、$\bigl\lvert\lvert x\rvert-\lvert t\rvert\bigr\rvert>R$ を満たす $(x,t)$ で $u(x,t)=0$ である。

1 の $t\ne0$ の主張は (2) が球面上の積分で書けること（$t<0$ では $u(x,t)$ が初期値 $(g,-h)$ の解の $(x,-t)$ での値であること）による。2：点 $x$ から閉球 $\overline B(0,R)$ の点までの距離のとる値の範囲は $\bigl[\max(\lvert x\rvert-R,0),\lvert x\rvert+R\bigr]$ なので、$\bigl\lvert\lvert x\rvert-\lvert t\rvert\bigr\rvert>R$ なら球面 $\partial B(x,\lvert t\rvert)$ は $\overline B(0,R)$ と交わらない。その球面の上では $g$、$\nabla g$、$h$ がすべて $0$ なので（$\overline B(0,R)$ の外は開集合）、1 により $u(x,t)=0$ である。$\square$

2 は、時刻 $t>R$ の解の台が殻 $t-R\le\lvert x\rvert\le t+R$ に入ることを意味する。小さな領域で発生した音は、波の先頭が届いてから有限の時間で鳴りやみ、尾を引かない。これを（狭い意味の）Huygens の原理 という。より一般に $3$ 以上の奇数次元 $n$ では、初期値 $(0,\delta_0)$ に対する解にあたる超関数（波動方程式の基本解）の時刻 $t$ での台が球面 $\lvert x\rvert=\lvert t\rvert$ に含まれ、同じ性質が成り立つ（TayCh3 §5 の式 (5.43)–(5.45)、p. 50。この記事では証明しない）。

2 次元：降下法と Poisson の公式

2 次元の解は、3 次元の解のうち第 3 の変数によらないものとして得られる。

Poisson の公式（2 次元の波動方程式）

$n=2$、$g\in C^3(\mathbb{R}^2)$、$h\in C^2(\mathbb{R}^2)$ とする。初期値 $(g,h)$ の初期値問題の $C^2$ 級の解はただ一つ存在し、$t>0$ では
$$ u(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac1{2\pi}\int_{B(x,t)}\frac{g(y)}{\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}}\,dy\Bigr)+\frac1{2\pi}\int_{B(x,t)}\frac{h(y)}{\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}}\,dy $$
である（積分は広義積分として収束する）。

$\tilde g(x_1,x_2,x_3):=g(x_1,x_2)$、$\tilde h(x_1,x_2,x_3):=h(x_1,x_2)$ とおくと、$\tilde g\in C^3(\mathbb{R}^3)$、$\tilde h\in C^2(\mathbb{R}^3)$ である。thm-we-kirchhoff の 2 により、初期値 $(\tilde g,\tilde h)$ の 3 次元の解 $U$ がある。$s\in\mathbb{R}$ について $U(x_1,x_2,x_3+s,t)$ も同じ初期値の解なので（初期値は $x_3$ によらない）、thm-we-kirchhoff の 1 の一意性から $U$ は $x_3$ によらない。よって $\partial_3^2U=0$ で、$u(x,t):=U(x_1,x_2,0,t)$ は 2 次元の方程式 $u_{tt}=\partial_1^2u+\partial_2^2u$ と初期条件を満たす。一意性：$u$ が 2 次元の解なら、$(x_1,x_2,x_3,t)\mapsto u(x_1,x_2,t)$ は初期値 $(\tilde g,\tilde h)$ の 3 次元の解なので、thm-we-kirchhoff の 1 により $U$ に等しい。
公式：$X=(x,0)$、$t>0$ とする。球面 $\partial B(X,t)$ の上半分と下半分は、円板 $\lvert y-x\rvert< t$ の上のグラフ $y_3=\pm\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}$ で、面積要素は $\sqrt{1+\lvert\nabla y_3\rvert^2}\,dy=\dfrac{t}{\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}}\,dy$ である（TayCh3 §5 の式 (5.94)–(5.96)、p. 57 と同じ計算）。赤道は面積 $0$ なので
$$ t\,M_{\tilde h}(X,t)=\frac{t}{4\pi t^2}\cdot2\int_{B(x,t)}h(y)\frac{t}{\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}}\,dy=\frac1{2\pi}\int_{B(x,t)}\frac{h(y)}{\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}}\,dy $$
であり、$g$ についても同じである。これを (2) に代入すると公式を得る。広義積分の収束は、極座標で $\int_0^t\rho\,(t^2-\rho^2)^{-1/2}d\rho=t$ が有限であることによる。$\square$

$t$ についての微分を実行すると、$t>0$ で
$$ u(x,t)=\frac1{2\pi t^2}\int_{B(x,t)}\frac{t\,g(y)+t^2h(y)+t\,\nabla g(y)\cdot(y-x)}{\sqrt{t^2-\lvert y-x\rvert^2}}\,dy $$
とも書ける（$y=x+tz$ と置換して単位円板の上の積分にしてから微分する）。積分の範囲は球面ではなく円板全体である。このため 2 次元では Huygens の原理が成り立たない。

2 次元では波が尾を引く

$h\ge0$ を $C^2$ 級で、$0$ でなく、$\overline B(0,\varepsilon)$ の外で $0$ になる関数とし、$g=0$ とする。$t>\varepsilon$ では $B(0,t)\supset\overline B(0,\varepsilon)$ なので、thm-we-poisson により
$$ u(0,t)=\frac1{2\pi}\int_{B(0,\varepsilon)}\frac{h(y)}{\sqrt{t^2-\lvert y\rvert^2}}\,dy>0 $$
である。円 $\lvert y\rvert=t$ の上では初期値はすべて $0$ なのに、$u(0,t)\ne0$ である。さらに $t\,u(0,t)\to\frac1{2\pi}\int h\,dy$（$t\to\infty$）なので、原点での揺れは $1/t$ の程度でしか減らず、いつまでも消えない。これに対して 3 次元では、初期値 $g$、$h$ が $\overline B(0,\varepsilon)\subset\mathbb{R}^3$ の外で $0$ なら、cor-we-huygens の 2 により $t>\varepsilon$ で $u(0,t)=0$ である。

池に石を投げたときの波紋は、先頭が通り過ぎたあとも水面の揺れが残る。これが 2 次元の方程式の性質にあたる。$n=1$ でも、$g$ と $h$ がコンパクトな台をもつとき d'Alembert の公式から $u(x,t)=\frac12\int_{\mathbb{R}}h$（$t>0$ が十分大きいとき）となり、初期速度の影響は消えない。基本解を Fourier 変換で計算すると、2 次元の基本解は時刻 $t$ で円板 $\lvert x\rvert<\lvert t\rvert$ の内部全体で $0$ でない（TayCh3 §5 の式 (5.46)、p. 51）。

エネルギーと有限伝播速度

公式を使わずに、すべての次元で成り立つ性質を導く。点 $(\bar x,\bar t)$（$\bar t\ge0$）での解の値は閉球 $\lvert x-\bar x\rvert\le\bar t$ の上の初期値だけで決まる（依存領域の定理「波動方程式の依存領域（エネルギー評価）」。その記事では変数を $(t,x)$ の順に書いている）。これを使う。

エネルギー保存と有限伝播速度

$n\ge1$ とする。

初期値問題の $C^2$ 級の解は、初期値によらず高々 1 つである。
$u$ を初期値 $(g,h)$ の $C^2$ 級の解とし、$g$ と $h$ は閉球 $\overline B(0,R)$ の外で $0$ であるとする。このとき $\lvert x\rvert>R+\lvert t\rvert$ で $u(x,t)=0$ であり、エネルギー
$$ E(t):=\frac12\int_{\mathbb{R}^n}\bigl(u_t(x,t)^2+\lvert\nabla u(x,t)\rvert^2\bigr)\,dx $$
は $t$ によらない。

時間の向きを逆にした $u(x,-t)$ も解なので、$t\ge0$ の側で示せば十分である。
1：2 つの解の差 $w$ は初期値 $(0,0)$ の解である。$\bar t\ge0$ と $\bar x$ について、依存領域の定理「波動方程式の依存領域（エネルギー評価）」を $x_0=\bar x$、$r=\bar t+1$ で $w$ に当てると、初期値は閉球の上で $0$ なので円錐の上で $w=0$ であり、とくに $w(\bar x,\bar t)=0$ である。
2：$\lvert\bar x\rvert>R+\bar t$ とし、$r:=\bar t+\eta$（$\eta>0$ は $\lvert\bar x\rvert-r>R$ となる小さな数）とおく。閉球 $\lvert x-\bar x\rvert\le r$ の点は $\lvert x\rvert\ge\lvert\bar x\rvert-r>R$ を満たすので、そこで初期値は $0$ であり、同じ定理から $u(\bar x,\bar t)=0$ である。次に $T>0$ をとり、$\Omega:=\overline B(0,R+T+1)$ とおく。$0\le t\le T$ で $u$ は $\lvert x\rvert>R+T$ で $0$ なので、$\partial\Omega\times[0,T]$ で $u=0$ であり、$E(t)$ は $\Omega$ の上の積分に等しい。偏微分方程式の定理「波動方程式のエネルギー保存と一意性」により、$E$ は $[0,T]$ で一定である。$T$ は任意なので、$E$ は $t\ge0$ で一定である。$\square$

2 の前半が 有限伝播速度 で、初期値の影響は速さ $1$ を超えて伝わらない。$C^2$ 級の解の一意性（1）には、解の増大度についての条件は要らない。これは、熱方程式の Cauchy 問題で一意性のために解の有界性などを仮定するのと対照的である（熱方程式の定理「全空間での有界な解の一意性」）。

次元による違い

次元	解の公式	$u(x,t)$ を決める初期値の範囲	$C^2$ 級の解のための仮定	狭い意味の Huygens の原理
$n=1$	d'Alembertの公式	$g$ は 2 点 $x\pm t$、$h$ は区間 $[x-\lvert t\rvert,x+\lvert t\rvert]$	$g\in C^2$、$h\in C^1$	成り立たない
$n=2$	Poisson の公式（thm-we-poisson）	円板 $\overline B(x,\lvert t\rvert)$	$g\in C^3$、$h\in C^2$	成り立たない（ex-we-2d-tail）
$n=3$	Kirchhoff の公式（thm-we-kirchhoff）	球面 $\partial B(x,\lvert t\rvert)$	$g\in C^3$、$h\in C^2$	成り立つ（cor-we-huygens）

表の「仮定」の列は、この記事の定理で $C^2$ 級の解の存在を保証する条件である。$n=3$ では $g\in C^2$ に弱めると解が存在しないことがある（次の表の 1 行目）。

滑らかさを増さずに伝わる波

時間反転ができることだけから、変位 $u(t)$ がどの時刻にも滑らかにならないと結論してはいけない。波動方程式の初期状態は、変位と速度の組 $(u,u_t)$ である。まず全実直線の公式で、実際に消えずに動く特異性を見よう。

二つの特性直線に沿って残る尖点

$\chi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ を原点の近くで $1$ となる関数とし、初期変位と初期速度を
$$ g(x)=\chi(x)|x|^{9/4},\qquad h(x)=0 $$
とする。この $g$ は $C^2$ 級で $H^2(\mathbb{R})$ に属するが、原点のどの近傍でも $H^3$ に属さない。d'Alembert の公式による解
$$ u(x,t)=\frac{g(x+t)+g(x-t)}2 $$
は古典解であり、どの $t>0$ についても $x=t$ と $x=-t$ の近くで $H^3$ に属さない。

原点近くでは $g(x)=|x|^{9/4}$ なので、$x\ne0$ において
$$ g'(x)=\frac94\operatorname{sgn}(x)|x|^{5/4},\qquad g''(x)=\frac{45}{16}|x|^{1/4},\qquad g'''(x)=\frac{45}{64}\operatorname{sgn}(x)|x|^{-3/4}. $$
一・二階導関数は原点まで連続に延びる。三階の式は局所可積分であり、$g''$ は原点をまたいで絶対連続なので、分布微分にも同じ式を使え、原点に Dirac のデルタは生じない。$g,g',g''$ はコンパクトな台をもち二乗可積分なので $g\in H^2$ である。一方、どの $\delta>0$ についても $\int_0^\delta x^{-3/2}dx=\infty$ だから、$g'''$ は原点近くで二乗可積分でなく、$g\notin H^3$ である。
任意の $t>0$ を固定する。$x=t$ の十分小さい近傍では $x+t$ は $0$ から離れているので $g(x+t)$ は滑らかである。それに対して $g(x-t)$ の三階微分は $x=t$ で上の二乗可積分でない特異性をもつ。滑らかな関数の三階微分を加えても二乗可積分にはならないので、$u(\cdot,t)$ はその近傍で $H^3$ に属さない。$x=-t$ では二つの項の役割を入れ替えれば同じである。$\square$

この例は初期値に必要な $C^2$ 正則性を満たしており、古典解が存在しない例ではない。時間を進めても初期の高階の特異性が二本の特性直線へ運ばれ、熱方程式のようにすべての正時刻で無限回微分可能になる、という含意を破っている。また、$L^2$ における平行移動の連続性を $g,g',g''$ に使えば、この解は
$$ u\in C(\mathbb{R};H^2(\mathbb{R})) \cap C^1(\mathbb{R};H^1(\mathbb{R})) \cap C^2(\mathbb{R};L^2(\mathbb{R})) $$
にも属する。したがって弱微分による解の枠組みでも、初期の二階正則性を保ったまま三階正則性を得ない例となる。

変位と速度の組で述べる非平滑化

有界領域での非平滑化は、固有関数ごとの回転として理解できる。ここでは空でない有界な $C^\infty$ 境界の領域 $\Omega$ で、$L=-\Delta$ に零 Dirichlet 条件を課す。$H=L^2(\Omega)$、$V=H^1_0(\Omega)$、$D(L)=H^2(\Omega)\cap V$ とする。固有基底 $Le_n=\lambda_ne_n$ を固定し、$\lambda_n\ge\lambda_*>0$、$\lambda_n\to\infty$ とする。以下ではスペクトルによる特徴づけ
$$ \|\nabla f\|_2^2=\sum_n\lambda_n|(f,e_n)|^2, \qquad D(L)=\left\{\sum_na_ne_n:\sum_n(1+\lambda_n^2)|a_n|^2<\infty\right\} $$
を用いる。$V$ への所属は第一の級数の有限性と同値である。
エネルギー空間 $\mathcal E=V\times H$ にノルム $\|(f,g)\|_{\mathcal E}^2=\|\nabla f\|_2^2+\|g\|_2^2$ を入れ、より正則な状態の空間を $\mathcal R=D(L)\times V$ とする。初期状態の係数を $a_n=(f,e_n)$、$b_n=(g,e_n)$ とすると、$\omega_n=\sqrt{\lambda_n}$ に対して解の係数は
$$ c_n(t)=a_n\cos(\omega_nt)+\frac{b_n}{\omega_n}\sin(\omega_nt), \qquad d_n(t)=-\omega_na_n\sin(\omega_nt)+b_n\cos(\omega_nt). $$
$\sum_nc_n(t)e_n$ が変位、$\sum_nd_n(t)e_n$ が速度を表す。各モードで
$$ \lambda_n|c_n(t)|^2+|d_n(t)|^2 =\lambda_n|a_n|^2+|b_n|^2 $$
なので、級数のエネルギー尾部は全時刻で初期尾部と等しい。したがって $\mathcal E$ で級数が収束し、有限和の連続性と加法公式から、解作用素 $G(t)$ は強連続な等長群をなす。とくに $G(-t)G(t)=I$ である。一般の $\mathcal E$ 初期状態に対するこの群解と、二階時間微分まで $H$ に属する強解は区別する。
上の一モード等式に $\lambda_n$ を掛けて足すと、$\sum_n(\lambda_n^2|c_n(t)|^2+\lambda_n|d_n(t)|^2)$ の有限性も時刻によらない。$\lambda_n\ge\lambda_*$ により、これは $\mathcal R$ への所属と同値である。よって $G(t)\mathcal R=\mathcal R$ であり、もしある時刻に $G(t)X\in\mathcal R$ なら、逆向きに解いて $X=G(-t)G(t)X\in\mathcal R$ となる。初期状態が $\mathcal E\setminus\mathcal R$ なら、その状態はどの時刻にも $\mathcal R$ に入らない。
この差は実際に存在する。$\lambda_{n_j}\ge j^4$ を選び、$a_{n_j}=1/(j\sqrt{\lambda_{n_j}})$、ほかの係数と初期速度を $0$ とすると、$\sum_n\lambda_n|a_n|^2=\sum_j1/j^2<\infty$ だが $\sum_n\lambda_n^2|a_n|^2=\sum_j\lambda_{n_j}/j^2=\infty$ である。この初期状態は $\mathcal E\setminus\mathcal R$ に属する。結論は変位と速度の組についてのものであり、変位だけが特定の時刻により正則になる可能性は排除しない。全実直線上の ex-we-propagating-cusp は、別の仮定のもとで変位そのものに特異性が残ることを直接示している。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
$g\in C^3$（thm-we-kirchhoff の 2。$C^2$ に弱める）	$n=3$、$g(y)=\varphi(\lvert y\rvert)$、$\varphi(r)=\max(r-1,0)^{5/2}$、$h=0$	$C^2$ 級の解の存在
次元 $n=3$（cor-we-huygens の 2）	$n=2$、ex-we-2d-tail の $(0,h)$	$\bigl\lvert\lvert x\rvert-\lvert t\rvert\bigr\rvert>R$ での $u=0$
次元 $n=3$（cor-we-huygens の 2）	$n=1$、$g=0$、$h$ は $C^2$ 級で $[-1,1]$ の外で $0$、$\int h\ne0$	$\bigl\lvert\lvert x\rvert-\lvert t\rvert\bigr\rvert>R$ での $u=0$
初期値の台が有界（thm-we-energy の 2）	$g=0$、$h=1$、$u(x,t)=t$	$\lvert x\rvert>R+\lvert t\rvert$ での $u=0$
領域の有界性（節「変位と速度の組で述べる非平滑化」）	$\Omega=(0,\infty)$ で $x=0$ に Dirichlet 条件、$g(x)=\sum_{m\ge1}4^{-m}\varphi(2^m(x-3m))$（$\varphi\in C_c^\infty((-\frac14,\frac14))$ は $0$ でない）、$h=0$	閉じた時空 $\overline\Omega\times\mathbb{R}$ で $C^\infty$ 級の解なら、初期変位はすべての $H^k(\Omega)$ に属すること

表の反例の確かめ

確かめを開く

1 行目：$\varphi$ は $C^2$ 級で（$\varphi''(r)=\frac{15}4\max(r-1,0)^{1/2}$）、$r\le1$ で $0$ なので、$g$ は $\mathbb{R}^3$ 上 $C^2$ 級である。$C^2$ 級の解 $u$ があったとすると、thm-we-kirchhoff の 1 と $M_g(0,t)=\varphi(\lvert t\rvert)$ から、$t>0$ で $u(0,t)=\partial_t\bigl(t\varphi(t)\bigr)=\varphi(t)+t\varphi'(t)=:F(t)$ である。$F'(t)=2\varphi'(t)+t\varphi''(t)$ は $t<1$ で $0$、$t>1$ で $5(t-1)^{3/2}+\frac{15}4t(t-1)^{1/2}$ なので、$t\downarrow1$ で $F'(t)/(t-1)\to+\infty$ であり、$F$ は $t=1$ で 2 回微分できない。これは $t\mapsto u(0,t)$ が $C^2$ 級であることに反する。2 行目は ex-we-2d-tail（$R=\varepsilon$、$x=0$、$t>\varepsilon$）である。3 行目：d'Alembert の公式から $t>1$ で $u(0,t)=\frac12\int_{-t}^th=\frac12\int_{-1}^1h\ne0$ だが、$\lvert0-t\rvert>1=R$ である。4 行目：$u=t$ は $u_{tt}=0=\Delta u$ と初期条件を満たし（一意性から唯一の解である）、$t\ne0$ ではすべての $x$ で $0$ でない。

5 行目：第 $m$ 項の台は区間 $(3m-2^{-m}/4,\,3m+2^{-m}/4)$ に入り、これらは互いに交わらず $x\ge2$ にある。よって $g$ は $[0,\infty)$ で $C^\infty$ 級で、原点の近くで $0$ である。第 $m$ 項の $\ell$ 階導関数の $L^2$ ノルムの 2 乗は $2^{-m(5-2\ell)}\|\varphi^{(\ell)}\|_{L^2}^2$ で、台が交わらないので $g^{(\ell)}$ の $L^2$ ノルムの 2 乗はその和である。$\ell\le2$ では和が収束して $g\in H^2(0,\infty)$ だが、$\ell=3$ では $\varphi'''\ne0$（$0$ でないコンパクトな台の関数は多項式でない）から和が発散し、$g\notin H^3(0,\infty)$ である。$g$ を奇関数に延ばした $G$ は原点の近くで $0$ なので $\mathbb{R}$ で $C^\infty$ 級であり、d'Alembert の公式の $u(x,t)=\frac12\bigl(G(x+t)+G(x-t)\bigr)$ は $[0,\infty)\times\mathbb{R}$ で $C^\infty$ 級、$u_{tt}=u_{xx}$、$u(x,0)=g(x)$、$u_t(x,0)=0$ を満たし、$G$ が奇関数なので $u(0,t)=0$ である。$\Omega$ が有界なら $C^\infty(\overline\Omega)$ の関数はすべての $H^k(\Omega)$ に属するので、このようなことは起こらない。非有界な領域では、局所的な滑らかさと無限遠での二乗可積分性が別の条件になる。

補足

文献：Fourier 変換による扱いでは、緩増加超関数の初期値に対して解が一意に存在し、基本解との畳み込みで表される（TayCh3 §5 の Proposition 5.4、p. 51）。3 次元の公式は同所の式 (5.84)（p. 56）、降下法は式 (5.85)–(5.99)（pp. 56–58）にある。この記事の Kirchhoff の公式の証明は、Fourier 変換を使わず、球面平均で 1 次元の方程式に帰着させる。