Cartesian閉圏
概要
Cartesian閉圏（cartesian closed category）とは、有限積をもつ圏で、各対象 $A$ について関手 $-\times A$ が右随伴 $(-)^A$ をもち、自然な全単射 $\mathcal C(X\times A,B)\cong\mathcal C(X,B^A)$ となるものであり、$B^A$ を指数対象という。集合の圏、前層の圏、Heyting 代数が例で、直積をモノイダル積とするモノイダル閉圏である。指数法則 $C^{A\times B}\cong(C^B)^A$ が成り立ち、始対象 $0$ があれば $A\times0\cong0$ なので、零対象をもつ非自明な圏は Cartesian閉でない。弱い点全射 $A\to Y^A$ があれば $Y$ の自己射は不動点をもち（Lawvere の不動点定理）、Cantor の定理はその特例である。
集合 $X\times A$ から $B$ への写像 $f$ は、各 $x$ について写像 $f(x,-)\colon A\to B$ を与えるので、写像 $X\to B^A$（$B^A$ は $A$ から $B$ への写像全体）と同じものである。この対応が全単射で、$X$ と $B$ について自然であることを、集合の圏に限らず要請した圏が Cartesian閉圏 である。「写像の空間」が同じ圏の対象として存在し、その対象への射が 2 変数の射と一対一に対応する、という性質である。
Cartesian閉圏は、テンソル積を直積としたモノイダル閉圏である。直積は対称なので左右の区別はなく、内部Hom は指数対象 $B^A$ と書かれる。集合の圏、前層の圏、トポス、Heyting 代数（順序集合とみたもの）がその例で、指数法則 $B^{A\times C}\cong(B^C)^A$ や分配法則 $A\times(B+C)\cong A\times B+A\times C$ が成り立つ。Cantor の対角線論法は、Cartesian閉圏での不動点定理の特別な場合として述べ直せる。
定義
圏 $\mathcal C$ が終対象 $1$ と任意の 2 対象の積 $X\times A$ をもつとする。$\mathcal C$ が Cartesian閉（cartesian closed）であるとは、各対象 $A$ について関手 $-\times A\colon\mathcal C\to\mathcal C$ が右随伴 $(-)^A$ をもつこと、すなわち
$$
\mathcal C(X\times A,B)\cong\mathcal C(X,B^A)
$$
という $X$ と $B$ に自然な全単射があることをいう。そのような圏を Cartesian閉圏（cartesian closed category）といい、$B^A$ を 指数対象（exponential object）という。デカルト閉圏ともいう。
この定義は Mac98 IV.6（pp. 97–98）、Lei16 Definition 6.3.15（p. 164）、Rie16 Definition 4.4.10（p. 153）と同じである。Kel82 §1.5（p. 13）は、モノイダル圏が閉であることを定義したうえで、テンソル積が直積のときを cartesian closed と呼ぶ。
指数対象は、評価写像による普遍性で言い直せる。全単射で恒等射 $B^A\to B^A$ に対応する射を $\operatorname{ev}\colon B^A\times A\to B$ とすると、任意の $f\colon X\times A\to B$ に対し、下の図式を可換にする射 $\tilde f\colon X\to B^A$ がただ 1 つある。
$$
\xymatrix{
B^A\times A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} & B \\
X\times A \ar@{.>}[u]^{\tilde f\times\operatorname{id}_A} \ar[ur]_{f} &
}
$$
図式が可換とは $f=\operatorname{ev}\circ(\tilde f\times\operatorname{id}_A)$ ということである。$\tilde f$ を $f$ の転置（カリー化）という。積は対称（$X\times A\cong A\times X$）なので、$A\times-$ も右随伴をもち、Cartesian閉圏は双閉なモノイダル閉圏である。モノイダル閉圏 の命題「2 変数の関手への延長」により、$(B,A)\mapsto B^A$ は関手 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal C$ になり、全単射は 3 つの変数すべてについて自然である。
例
集合の圏で $B^A$ を $A$ から $B$ への写像全体の集合とし、$\operatorname{ev}(h,a)=h(a)$ とする。$f\colon X\times A\to B$ の転置は $\tilde f(x)=f(x,-)$ であり、逆に $g\colon X\to B^A$ からは $(x,a)\mapsto g(x)(a)$ が得られる。2 つの対応は互いに逆で、$X$ と $B$ の写像との合成と両立する（随伴関手 の例「直積と写像集合」）。$A=\emptyset$ なら $B^\emptyset$ は空写像だけからなる 1 元集合である。有限集合の圏も、有限集合の間の写像全体が有限集合なので、同じ指数対象で Cartesian閉である。
薄い圏（薄い圏）では、積は最大下界 $\wedge$、終対象は最大元 $1$ である。Cartesian閉であることは、各 $a,b$ に元 $a\Rightarrow b$ があって
$$
c\wedge a\le b\iff c\le(a\Rightarrow b)
$$
となることで、これは Heyting代数 の含意の条件そのものである（Kel82 p. 15、Mac98 IV.6 の演習 1 も参照）。冪集合 $\mathcal P(U)$ では $A\Rightarrow B=(U\setminus A)\cup B$、位相空間の開集合の全体では $U\Rightarrow V=\operatorname{int}\bigl((X\setminus U)\cup V\bigr)$ である。
完備束 $L$ を薄い圏とみなす。$L$ が Cartesian閉であることと、任意の $a\in L$ と任意の族 $(b_i)$ について
$$
a\wedge\bigvee_ib_i=\bigvee_i(a\wedge b_i)
$$
が成り立つことは同値である。このとき $a\Rightarrow b=\bigvee\{c\mid c\wedge a\le b\}$ である。
$L$ は完備束なので、有限積（$\wedge$ と最大元）をもつ。Cartesian閉であることは、各 $a$ について単調写像 $c\mapsto c\wedge a$ が右随伴をもつことである。薄い圏 の定理「薄い圏の随伴関手定理」により、すべての部分集合が上限をもつ $L$ では、これは $c\mapsto c\wedge a$ がすべての上限を保つこと、すなわち上の分配律と同値であり、右随伴はその定理の式で与えられる。$\square$
この条件を有限の族に限ったものが分配束の条件である。とくに分配束でない束は Cartesian閉でない（下の反例の表）。
そのほか、圏の圏は関手圏を指数対象として Cartesian閉であり（Mac98 IV.6, p. 98、Lei16 Example 6.3.17, p. 164）、コンパクト生成 Hausdorff 空間の圏は、コンパクト開位相をコンパクト生成化した写像空間を指数対象として Cartesian閉である（Mac98 VII.8 Theorem 3, p. 187）。これらはこの記事では証明しない。一方、位相空間の圏そのものは Cartesian閉でない（Rie16 Example 4.4.14, p. 154。この記事では証明しない）。
指数法則
自然数の計算規則 $b^1=b$、$(bc)^a=b^ac^a$、$c^{ab}=(c^b)^a$、$a\cdot0=0$、$b^0=1$、$a(b+c)=ab+ac$、$c^{a+b}=c^ac^b$ は、有限集合の濃度をとれば Cartesian閉圏の同型から得られる。一般の Cartesian閉圏でも同じ形の同型が成り立つ（Lei16 Example 6.3.3, p. 158 と p. 165）。
Cartesian閉圏 $\mathcal C$ で、次の同型が対象について自然に成り立つ。
$$
B^1\cong B,\qquad 1^A\cong1,\qquad (B\times C)^A\cong B^A\times C^A,\qquad C^{A\times B}\cong(C^B)^A.
$$
さらに $\mathcal C$ が始対象 $0$ と 2 対象の余積 $B+C$ をもてば、
$$
A\times0\cong0,\qquad B^0\cong1,\qquad A\times(B+C)\cong A\times B+A\times C,\qquad C^{A+B}\cong C^A\times C^B.
$$
どの同型も、任意の対象 $X$ からの射の集合の間に $X$ について自然な全単射を作り、米田の補題（表現可能関手 $\mathcal C(-,P)\cong\mathcal C(-,Q)$ が自然同型なら $P\cong Q$）を使って示す。以下の全単射は、閉性の全単射、積の普遍性、余積の普遍性のいずれかで、どれも $X$ について自然である。
(1) $\mathcal C(X,B^1)\cong\mathcal C(X\times1,B)\cong\mathcal C(X,B)$。2 番目は射影 $X\times1\to X$ が同型であることによる。
(2) $\mathcal C(X,1^A)\cong\mathcal C(X\times A,1)$ は 1 元集合なので、$1^A$ は終対象である。
(3) $\mathcal C(X,(B\times C)^A)\cong\mathcal C(X\times A,B\times C)\cong\mathcal C(X\times A,B)\times\mathcal C(X\times A,C)\cong\mathcal C(X,B^A)\times\mathcal C(X,C^A)\cong\mathcal C(X,B^A\times C^A)$。
(4) $\mathcal C(X,C^{A\times B})\cong\mathcal C(X\times(A\times B),C)\cong\mathcal C((X\times A)\times B,C)\cong\mathcal C(X\times A,C^B)\cong\mathcal C(X,(C^B)^A)$。これは モノイダル閉圏 の定理「カリー化の自然同型」の特別な場合である。
(5) 積の対称性により $A\times-$ は $-\times A$ と自然同型で、左随伴なので余極限を保つ（余極限(圏論) の命題「左随伴は余極限を保存する」）。空の図式の余極限は始対象、2 対象の離散図式の余極限は余積なので、$A\times0$ は始対象で、$A\times(B+C)$ は $A\times B$ と $A\times C$ の余積である。
(6) $\mathcal C(X,B^0)\cong\mathcal C(X\times0,B)$ は、(5) により $X\times0$ が始対象なので 1 元集合である。よって $B^0$ は終対象である。
(7) $\mathcal C(X,C^{A+B})\cong\mathcal C(X\times(A+B),C)\cong\mathcal C(X\times A+X\times B,C)\cong\mathcal C(X\times A,C)\times\mathcal C(X\times B,C)\cong\mathcal C(X,C^A)\times\mathcal C(X,C^B)\cong\mathcal C(X,C^A\times C^B)$。2 番目は (5)（$X\times-$ が余積を保つこと）による。$\square$
- の $A\times0\cong0$ からさらに、始対象 $0$ への射はすべて同型である（始対象が 厳密 である）ことが従う。証明は 始対象 の命題「デカルト閉な圏の始対象は厳密」にある。
Cartesian閉圏 $\mathcal C$ が始対象 $0$ をもち、$0\cong1$ なら、$\mathcal C$ のすべての対象は互いに同型である。
任意の対象 $A$ について、$A\cong A\times1\cong A\times0\cong0$ である。最後の同型は thm-cartesian-closed-exponential-laws の (5) による。$\square$
零対象（始対象かつ終対象）をもつ圏、たとえばベクトル空間の圏・アーベル群の圏・群の圏・基点付き集合の圏は、積をもつが、零でない対象があるので、この系により Cartesian閉でない（Lei16 Example 6.3.18, p. 165 はベクトル空間の場合）。ベクトル空間の圏は、直積でなくテンソル積に対しては閉である（対称モノイダル閉圏）。
Lawvere の不動点定理
終対象からの射 $x\colon1\to A$ を $A$ の 点 という。集合の圏では点は元と同じである。
Cartesian閉圏で、射 $g\colon A\to Y^A$ の転置を $\hat g:=\operatorname{ev}\circ(g\times\operatorname{id}_A)\colon A\times A\to Y$ とする。$g$ が 弱い点全射 であるとは、任意の射 $f\colon A\to Y$ に対し、点 $x\colon1\to A$ があって、すべての点 $a\colon1\to A$ について
$$
\hat g\circ\langle x,a\rangle=f\circ a
$$
となることをいう。射 $g\colon A\to Z$ が 点全射 であるとは、$Z$ の任意の点が $g\circ x$（$x$ は $A$ の点）の形に書けることをいう。
集合の圏では、$\hat g(x,a)=g(x)(a)$ であり、弱い点全射とは「どの写像 $f\colon A\to Y$ も、ある $x$ について $g(x)$ と一致する」こと、つまり $g$ が全射であることである。一般に点全射 $g\colon A\to Y^A$ は弱い点全射である。$f$ に対し $\pi_2\colon1\times A\to A$ との合成 $f\circ\pi_2$ の転置 $\ulcorner f\urcorner\colon1\to Y^A$ をとり、$g\circ x=\ulcorner f\urcorner$ となる点 $x$ を選べば、$\hat g\circ\langle x,a\rangle=\operatorname{ev}\circ\langle\ulcorner f\urcorner,a\rangle=f\circ\pi_2\circ\langle\operatorname{id}_1,a\rangle=f\circ a$ となるからである。
Cartesian閉圏で、弱い点全射 $g\colon A\to Y^A$ があれば、$Y$ の任意の自己射 $t\colon Y\to Y$ は不動点をもつ。すなわち $t\circ y=y$ となる点 $y\colon1\to Y$ がある（Law69 Theorem 1.1, p. 5）。
対角射 $\Delta=\langle\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_A\rangle\colon A\to A\times A$ を使い、$f:=t\circ\hat g\circ\Delta\colon A\to Y$ とおく。点 $a$ について $\Delta\circ a=\langle a,a\rangle$ なので $f\circ a=t\circ\hat g\circ\langle a,a\rangle$ である。$g$ は弱い点全射なので、点 $x$ があって、すべての点 $a$ について
$$
\hat g\circ\langle x,a\rangle=t\circ\hat g\circ\langle a,a\rangle
$$
となる。ここで $a=x$ とすると $\hat g\circ\langle x,x\rangle=t\circ\hat g\circ\langle x,x\rangle$ である。したがって $y:=\hat g\circ\langle x,x\rangle\colon1\to Y$ は $t\circ y=y$ を満たす。$\square$
証明は「$x$ 番目の関数を $x$ に適用する」という対角線論法そのものである。定理の対偶をとると、不動点をもたない自己射をもつ $Y$ については、どの $A$ にも $A\to Y^A$ の弱い点全射がないことになる（Law69 Corollary 1.2, p. 5）。
集合 $Y$ が 2 個以上の元をもてば、どの集合 $A$ からも $Y^A$ への全射はない。とくに $A$ からその冪集合 $\mathcal P(A)\cong\{0,1\}^A$ への全射はない。
$Y$ の異なる 2 元 $p,q$ をとり、$t(p)=q$、$y\ne p$ なら $t(y)=p$ と定めると、$t$ は不動点をもたない。集合の圏では全射 $A\to Y^A$ は弱い点全射なので、thm-cartesian-closed-lawvere によりそのような全射はない。冪集合については、部分集合をその特性関数に対応させる全単射 $\mathcal P(A)\cong\{0,1\}^A$ を使う。$\square$
$Y=\{0,1\}$、$t$ を $0$ と $1$ の入れ替えとすれば、証明で作られる $f$ は「$g(a)$ が $a$ を含まない」という集合 $\{a\mid a\notin g(a)\}$ の特性関数であり、Cantor の元の議論と一致する。
反例の表
各行は 1 つの条件だけを外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 指数対象の存在（有限積はある） | ベクトル空間の圏（積は直和、零空間が零対象） | $A\times0\cong0$（始対象が厳密） |
| 分配律（完備束である） | 菱形束 $M_3=\{0,a,b,c,1\}$ | 含意 $a\Rightarrow0$ の存在 |
| $g$ が弱い点全射 | 集合の圏の $g\colon1\to\{0,1\}^1$ | 自己射が不動点をもつ（入れ替え $t$） |
1 行目では、零空間 $0$ が始対象で、積は直和なので $A\times0=A\oplus0\cong A$ であり、$A\ne0$ なら始対象でない（cor-cartesian-closed-trivial の後の段落も参照）。2 行目では、$M_3$ の 3 つの中間元 $a,b,c$ について $a\wedge(b\vee c)=a\wedge1=a$ だが $(a\wedge b)\vee(a\wedge c)=0$ で、prop-cartesian-closed-frame の分配律が破れる（含意が存在しないことの直接の確認は Heyting代数 の例「反例：完備束でもHeyting代数にならない」）。3 行目では、$\{0,1\}^1$ は 2 元集合で、1 元集合からの写像は全射でなく、入れ替えは不動点をもたない。集合の圏は Cartesian閉なので、定理の仮定のうち外れているのは弱い点全射だけである。
補足
圏 $\mathcal C$ のすべての対象 $X$ についてスライス圏 $\mathcal C/X$ が Cartesian閉であるとき、$\mathcal C$ を 局所 Cartesian閉 という（Rie16 Definition 4.6.2, p. 166）。$\mathcal C/X$ の積は $X$ 上の引き戻しである。終対象をもつ局所 Cartesian閉圏は、$\mathcal C\cong\mathcal C/1$ なので Cartesian閉である（同 Lemma 4.6.3）。初等トポスは、有限極限をもつ Cartesian閉圏で部分対象分類子をもつものとして定義される。
関連項目
参考文献
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