リーマン曲率テンソル

$\mathbb{R}$-線形性は明らかなので、$f\in C^\infty(M)$ を1つの引数に掛けたときの振る舞いを調べる。$[fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X$ より
$$ R(fX,Y)Z=f\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y(f\nabla_XZ)-f\nabla_{[X,Y]}Z+Y(f)\nabla_XZ=f\nabla_X\nabla_YZ-Y(f)\nabla_XZ-f\nabla_Y\nabla_XZ-f\nabla_{[X,Y]}Z+Y(f)\nabla_XZ=fR(X,Y)Z $$
である。$Y$ については $R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$（定義から明らか）により同じことが従う。$Z$ については
$$ \begin{align*} \nabla_X\nabla_Y(fZ)&=\nabla_X\bigl(Y(f)Z+f\nabla_YZ\bigr)=X(Y(f))Z+Y(f)\nabla_XZ+X(f)\nabla_YZ+f\nabla_X\nabla_YZ,\\ \nabla_Y\nabla_X(fZ)&=Y(X(f))Z+X(f)\nabla_YZ+Y(f)\nabla_XZ+f\nabla_Y\nabla_XZ,\\ \nabla_{[X,Y]}(fZ)&=[X,Y](f)Z+f\nabla_{[X,Y]}Z \end{align*} $$
であり、$X(Y(f))-Y(X(f))=[X,Y](f)$ に注意して差をとると $R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$ を得る。$C^\infty(M)$-多重線形な写像がテンソル場を定めることは テンソル解析 による。$\square$

$[\partial_k,\partial_l]=0$ なので $R(\partial_k,\partial_l)\partial_j=\nabla_k\nabla_l\partial_j-\nabla_l\nabla_k\partial_j$ である。ここで
$$ \nabla_k\nabla_l\partial_j=\nabla_k(\Gamma^a_{lj}\partial_a)=(\partial_k\Gamma^i_{lj})\partial_i+\Gamma^a_{lj}\Gamma^i_{ka}\partial_i $$
であり、$k,l$ を入れ替えたものを引いて $\partial_i$ の係数を読めばよい。$\square$

1. $R(Z,W)=-R(W,Z)$ は定義から明らかである。
2. 双線形性により $\mathrm{Rm}(X,X,Z,W)=g(R(Z,W)X,X)=0$ を示せば十分である。計量条件 $Z\,g(\nabla_WX,X)=g(\nabla_Z\nabla_WX,X)+g(\nabla_WX,\nabla_ZX)$ などを用いると
   $$ \begin{align*} g(R(Z,W)X,X)&=g(\nabla_Z\nabla_WX,X)-g(\nabla_W\nabla_ZX,X)-g(\nabla_{[Z,W]}X,X)\\ &=Z\,g(\nabla_WX,X)-W\,g(\nabla_ZX,X)-\tfrac12[Z,W]\,g(X,X)\\ &=\tfrac12ZW\,g(X,X)-\tfrac12WZ\,g(X,X)-\tfrac12[Z,W]\,g(X,X)=0 \end{align*} $$
   である（途中で $g(\nabla_WX,\nabla_ZX)$ の項は打ち消し合い、$g(\nabla_WX,X)=\frac12W\,g(X,X)$ を用いた）。
3. 捩れがないので $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$ であり、
   $$ \begin{align*} R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y &=\nabla_X(\nabla_YZ-\nabla_ZY)+\nabla_Y(\nabla_ZX-\nabla_XZ)+\nabla_Z(\nabla_XY-\nabla_YX)-\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_{[Y,Z]}X-\nabla_{[Z,X]}Y\\ &=\nabla_X[Y,Z]-\nabla_{[Y,Z]}X+\nabla_Y[Z,X]-\nabla_{[Z,X]}Y+\nabla_Z[X,Y]-\nabla_{[X,Y]}Z\\ &=[X,[Y,Z]\!]+[Y,[Z,X]\!]+[Z,[X,Y]\!]=0 \end{align*} $$
   である（最後は Lie 括弧のJacobi 恒等式）。両辺と $W$ の内積をとれば $g(R(X,Y)Z,W)+g(R(Y,Z)X,W)+g(R(Z,X)Y,W)=0$、すなわち $\mathrm{Rm}(W,Z,X,Y)+\mathrm{Rm}(W,X,Y,Z)+\mathrm{Rm}(W,Y,Z,X)=0$ であり、文字を付け替えれば (3) である。
4. $(1,3)$ 型の第1 Bianchi 恒等式（(3) の証明で示した $R(A,B)C+R(B,C)A+R(C,A)B=0$）と $D$ との内積を、$(A,B,C;D)=(X,Y,Z;W)$、$(Y,Z,W;X)$、$(Z,W,X;Y)$、$(W,X,Y;Z)$ について書くと
   $$ \begin{align*} g(R(X,Y)Z,W)+g(R(Y,Z)X,W)+g(R(Z,X)Y,W)&=0,\\ g(R(Y,Z)W,X)+g(R(Z,W)Y,X)+g(R(W,Y)Z,X)&=0,\\ g(R(Z,W)X,Y)+g(R(W,X)Z,Y)+g(R(X,Z)W,Y)&=0,\\ g(R(W,X)Y,Z)+g(R(X,Y)W,Z)+g(R(Y,W)X,Z)&=0 \end{align*} $$
   である。第1式と第2式を加え、第3式と第4式を引く。(1)(2) により $g(R(A,B)C,D)$ は $(A,B)$ についても $(C,D)$ についても反対称なので、
   $$ \begin{align*} g(R(Y,Z)X,W)+g(R(Y,Z)W,X)&=0, & g(R(W,X)Z,Y)+g(R(W,X)Y,Z)&=0,\\ g(R(Z,X)Y,W)-g(R(X,Z)W,Y)&=g(R(Z,X)Y,W)+g(R(Z,X)W,Y)=0, & g(R(W,Y)Z,X)-g(R(Y,W)X,Z)&=g(R(W,Y)Z,X)+g(R(W,Y)X,Z)=0 \end{align*} $$
   であり、残る項は
   $$ g(R(X,Y)Z,W)+g(R(Z,W)Y,X)-g(R(Z,W)X,Y)-g(R(X,Y)W,Z)=2g(R(X,Y)Z,W)-2g(R(Z,W)X,Y) $$
   である。よって $g(R(X,Y)Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)$、すなわち $\mathrm{Rm}(W,Z,X,Y)=\mathrm{Rm}(Y,X,Z,W)$ が任意の $X,Y,Z,W$ について成り立つ。この等式の両辺に (2) を適用すれば $\mathrm{Rm}(Z,W,X,Y)=\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)$ を得る。$\square$

$X,Y,Z$ についての巡回和を $\sum_{\mathrm{cyc}}$ と書く。定義から
$$ \sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_XR)(Y,Z)W=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(\nabla_X(R(Y,Z)W)-R(Y,Z)\nabla_XW\bigr)-\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(R(\nabla_XY,Z)W+R(Y,\nabla_XZ)W\bigr) $$
である。第2の和において、$R(\nabla_XY,Z)W$ と（巡回して現れる）$R(Z,\nabla_YX)W=-R(\nabla_YX,Z)W$ とを組にすると、捩れがないことから $R(\nabla_XY-\nabla_YX,Z)W=R([X,Y],Z)W$ となる。同様に組にしていくと
$$ \sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(R(\nabla_XY,Z)W+R(Y,\nabla_XZ)W\bigr)=\sum_{\mathrm{cyc}}R([X,Y],Z)W $$
である。次に $R(Y,Z)=[\nabla_Y,\nabla_Z]-\nabla_{[Y,Z]}$（作用素として）を用いると
$$ \nabla_X(R(Y,Z)W)-R(Y,Z)\nabla_XW=[\nabla_X,R(Y,Z)]W=\bigl[\nabla_X,[\nabla_Y,\nabla_Z]\bigr]W-[\nabla_X,\nabla_{[Y,Z]}]W $$
であり、作用素の交換子に対する Jacobi 恒等式 $\sum_{\mathrm{cyc}}[\nabla_X,[\nabla_Y,\nabla_Z]\!]=0$ より
$$ \sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(\nabla_X(R(Y,Z)W)-R(Y,Z)\nabla_XW\bigr)=-\sum_{\mathrm{cyc}}[\nabla_X,\nabla_{[Y,Z]}]W=\sum_{\mathrm{cyc}}[\nabla_{[Y,Z]},\nabla_X]W=\sum_{\mathrm{cyc}}[\nabla_{[X,Y]},\nabla_Z]W $$
である（最後は巡回和の添字の付け替え）。一方
$$ \sum_{\mathrm{cyc}}R([X,Y],Z)W=\sum_{\mathrm{cyc}}[\nabla_{[X,Y]},\nabla_Z]W-\nabla_{\sum_{\mathrm{cyc}}[\![X,Y],Z]}W=\sum_{\mathrm{cyc}}[\nabla_{[X,Y]},\nabla_Z]W $$
である（Lie 括弧の Jacobi 恒等式）。両者を引けば $\sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_XR)(Y,Z)W=0$ を得る。成分表示は、$X=\partial_i$、$Y=\partial_j$、$Z=\partial_k$、$W=\partial_b$ とおいて $\partial_a$ の係数を読めばよい。$\square$

1. $\nabla^2_{X,Y}f=X(Y(f))-(\nabla_XY)(f)$ であるから、$\nabla^2_{X,Y}f-\nabla^2_{Y,X}f=[X,Y](f)-(\nabla_XY-\nabla_YX)(f)=0$ である（捩れがない）。
2. 定義から $\nabla^2_{X,Y}Z-\nabla^2_{Y,X}Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{\nabla_XY-\nabla_YX}Z=R(X,Y)Z$ である。成分では、$R(\partial_i,\partial_j)Z=Z^lR^k{}_{lij}\partial_k$ である。
3. 関数 $\omega(Z)$ に (1) を適用する。共変微分は縮約と可換で Leibniz 則を満たすので（テンソル解析）
   $$ \nabla^2_{X,Y}(\omega(Z))=(\nabla^2_{X,Y}\omega)(Z)+(\nabla_X\omega)(\nabla_YZ)+(\nabla_Y\omega)(\nabla_XZ)+\omega(\nabla^2_{X,Y}Z) $$
   である。$X,Y$ を入れ替えて引くと、中央の2項は打ち消し合い、(1)(2) より
   $$ 0=(\nabla^2_{X,Y}\omega-\nabla^2_{Y,X}\omega)(Z)+\omega(R(X,Y)Z) $$
   を得る。$\square$

2. ⇒ (1)：$g_{ij}$ が定数なので Christoffel 記号は $U$ 上 $0$ であり（リーマン接続）、prop-riem-curv-component-formula より $R=0$ である。
3. ⇒ (2)：まず、$R\equiv0$ のとき、任意の $p\in M$ と $v\in T_pM$ に対し、$p$ の近傍上の平行なベクトル場 $V$（$\nabla V=0$）で $V_p=v$ となるものが存在することを示す。$p$ を中心とする局所座標 $(x^i)$ で、その像が立方体 $(-\varepsilon,\varepsilon)^n$ であるものをとり、$M_j:=\{x^{j+1}=\dots=x^n=0\}$（$M_0=\{p\}$、$M_n=U$）とおく。$V$ を次のように定める。まず $v$ を $x^1$ 軸（曲線 $t\mapsto(t,0,\dots,0)$）に沿って平行移動して $M_1$ 上のベクトル場を得る。次に $M_1$ の各点から $x^2$ 方向の座標曲線に沿って平行移動して $M_2$ 上のベクトル場を得る。これを繰り返して $U=M_n$ 上のベクトル場 $V$ を得る。曲線に沿う平行移動は線形常微分方程式の解であり、初期値とパラメータに滑らかに依存するので $V$ は滑らかである（Lee18 Ch. 4）。構成により、各 $j$ について $M_j$ 上で $\nabla_{\partial_j}V=0$ である。
   主張：各 $j$ について、$M_j$ 上で $\nabla_{\partial_1}V=\dots=\nabla_{\partial_j}V=0$ である。$j$ についての帰納法で示す。$j=1$ は構成による。$j-1$ まで正しいとし、$k< j$ をとる。$M_j$ 上で $\nabla_{\partial_j}V=0$ であり、$\partial_k$（$k< j$）は $M_j$ に接するので $M_j$ 上で $\nabla_{\partial_k}\nabla_{\partial_j}V=0$ である。よって $M_j$ 上で
   $$ \nabla_{\partial_j}(\nabla_{\partial_k}V)=\nabla_{\partial_k}\nabla_{\partial_j}V+R(\partial_j,\partial_k)V+\nabla_{[\partial_j,\partial_k]}V=0 $$
   である。すなわち $\nabla_{\partial_k}V$ は $M_j$ 内の各 $x^j$ 方向の座標曲線に沿って平行であり、その始点（$M_{j-1}$ 上の点）では帰納法の仮定により $0$ である。平行移動の一意性により、$\nabla_{\partial_k}V$ は $M_j$ 上 $0$ である。これで主張が示され、$V$ は $U$ 上で平行である。
   次に $T_pM$ の正規直交基底 $v_1,\dots,v_n$ をとり、上の構成で $U$ 上の平行なベクトル場 $E_1,\dots,E_n$ を得る。計量条件から $X\,g(E_a,E_b)=g(\nabla_XE_a,E_b)+g(E_a,\nabla_XE_b)=0$（すべての $X$）なので、連結な $U$ 上で $g(E_a,E_b)$ は定数、すなわち $\delta_{ab}$ である。特に $E_1,\dots,E_n$ は $U$ 上の各点で基底をなす。捩れがないので $[E_a,E_b]=\nabla_{E_a}E_b-\nabla_{E_b}E_a=0$ である。互いに可換なベクトル場からなる局所枠に対しては、$p$ のまわりの局所座標 $(y^a)$ で $\partial/\partial y^a=E_a$ となるものが存在する（Lee13 Ch. 9、可換な枠の座標化定理）。この座標で $g(\partial/\partial y^a,\partial/\partial y^b)=g(E_a,E_b)=\delta_{ab}$ である。$\square$

積座標 $(x^i,y^\alpha)$ で $\tilde X_1=X_1^i(x)\partial_{x^i}$、$\tilde Y_2=Y_2^\alpha(y)\partial_{y^\alpha}$ と書けるので、$[\tilde X_1,\tilde Y_1]=\widetilde{[X_1,Y_1]}$、$[\tilde X_1,\tilde Y_2]=0$、$\tilde X_1(f\circ\mathrm{pr}_2)=0$、$g(\tilde X_1,\tilde Y_1)=g_1(X_1,Y_1)\circ\mathrm{pr}_1$、$g(\tilde X_1,\tilde Y_2)=0$ である。持ち上げは各点で接空間を張るので、$g(\nabla_{\tilde X_1}\tilde Y_1,\cdot)$ を持ち上げに対して計算すればよい。Koszul 公式（リーマン接続）で $Z=\tilde Z_2$ とすると、右辺の6項はすべて $0$ である（例えば $\tilde Z_2\,g(\tilde X_1,\tilde Y_1)=\tilde Z_2(g_1(X_1,Y_1)\circ\mathrm{pr}_1)=0$、$g([\tilde X_1,\tilde Y_1],\tilde Z_2)=0$）。$Z=\tilde Z_1$ とすると、右辺は $M_1$ 上の Koszul 公式の右辺 $2g_1(\nabla^1_{X_1}Y_1,Z_1)$ を $\mathrm{pr}_1$ で引き戻したものに等しい。よって $\nabla_{\tilde X_1}\tilde Y_1=\widetilde{\nabla^1_{X_1}Y_1}$ である。$\nabla_{\tilde X_1}\tilde Y_2$ について Koszul 公式の右辺を $Z=\tilde Z_1$、$Z=\tilde Z_2$ のそれぞれについて計算すると、各項は $g(\tilde X_1,\tilde Y_2)=0$ 型の内積、$M_2$ 方向の関数の $M_1$ 方向微分（$0$）、混合した Lie 括弧（$0$）、あるいは $g(\widetilde{[Z_1,X_1]},\tilde Y_2)=0$ 型の項であり、すべて $0$ である。よって $\nabla_{\tilde X_1}\tilde Y_2=0$ であり、対称に $\nabla_{\tilde X_2}\tilde Y_1=0$、$\nabla_{\tilde X_2}\tilde Y_2=\widetilde{\nabla^2_{X_2}Y_2}$ である。
曲率については、$R$ がテンソルであること（prop-riem-curv-tensorial）から持ち上げに対する値だけ調べればよい。上の公式を繰り返し用いると
$$ R(\tilde X_1,\tilde Y_1)\tilde Z_1=\nabla_{\tilde X_1}\widetilde{\nabla^1_{Y_1}Z_1}-\nabla_{\tilde Y_1}\widetilde{\nabla^1_{X_1}Z_1}-\nabla_{\widetilde{[X_1,Y_1]}}\tilde Z_1=\widetilde{R_1(X_1,Y_1)Z_1} $$
であり、$R(\tilde X_1,\tilde Y_1)\tilde Z_2=\nabla_{\tilde X_1}0-\nabla_{\tilde Y_1}0-0=0$、$R(\tilde X_1,\tilde Y_2)\tilde Z_1=\nabla_{\tilde X_1}(\nabla_{\tilde Y_2}\tilde Z_1)-\nabla_{\tilde Y_2}\widetilde{\nabla^1_{X_1}Z_1}-\nabla_{[\tilde X_1,\tilde Y_2]}\tilde Z_1=0-0-0=0$ であり、残りの混合した場合も同様である。$\square$

prop-riem-curv-symmetries (1)(2) より、$R_{ijkl}$ は $i=j$ または $k=l$ なら $0$ である。2次元では添字は $1,2$ しかないので、$0$ でない可能性がある成分は $\{i,j\}=\{k,l\}=\{1,2\}$ のものだけであり、それらは反対称性により $R_{1212}$ の $\pm1$ 倍である。座標変換 $x\to y$ のJacobi 行列を $J=(\partial x^i/\partial y^a)$ とすると、$(0,2)$ 型テンソルの変換則から $\det(g_{ab})=(\det J)^2\det(g_{ij})$ であり、$R_{ijkl}$ の $(0,4)$ 型の変換則を $(1,2,1,2)$ 成分について書くと、$i,j$ についての反対称性と $k,l$ についての反対称性により $R_{1212}$（$y$ 座標）$=(\det J)^2R_{1212}$（$x$ 座標）である。よって $K$ は座標によらない。Gauss 曲率との一致は 断面曲率 の記事で扱う。$\square$