Galois表現

$\Gamma_m:=\{g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_\ell)\mid g\equiv I \pmod{\ell^m}\}$ とおく。$\ell^m\mathbb{Z}_\ell$（$m\ge1$）は $\mathbb{Z}_\ell$ の $0$ の基本近傍系なので、$I+\ell^mM_n(\mathbb{Z}_\ell)$ は $M_n(\mathbb{Z}_\ell)$ における $I$ の基本近傍系をなす。$g\in I+\ell^mM_n(\mathbb{Z}_\ell)$ なら $\det g\equiv1\pmod{\ell}$ は $\mathbb{Z}_\ell$ の単元なので $g$ は可逆であり、$\Gamma_m=I+\ell^mM_n(\mathbb{Z}_\ell)$ である。よって $\Gamma_m$ は $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_\ell)$ の開部分群で、$\{\Gamma_m\}_m$ は $I$ の基本近傍系をなす。定義から $\rho^{-1}(\Gamma_m)=\ker\rho_m$ である。

$\rho$ が連続なら、$\ker\rho_m=\rho^{-1}(\Gamma_m)$ は開集合の逆像なので開である。逆にすべての $\ker\rho_m$ が開なら、$I$ の任意の近傍 $W$ はある $\Gamma_m$ を含み、$\rho^{-1}(W)\supset\ker\rho_m$ は単位元の近傍である。よって $\rho$ は単位元で連続であり、位相群 の記事の系「準同型の連続性の判定」により連続である。$\square$

$H\subset U$ を部分群とし、$g\in H$ とする。すべての $m\in\mathbb{Z}$ について $g^m\in H\subset U$ である。

固有値はすべて $1$ である。 $\lambda\in\mathbb{C}$ を $g$ の固有値とすると、$\lambda^m-1$ は $g^m-I$ の固有値なので、固有ベクトル $v$（$|v|=1$）について $|\lambda^m-1|=|(g^m-I)v|\le\|g^m-I\|<1$ がすべての $m\in\mathbb{Z}$ で成り立つ。$|\lambda|>1$ なら $|\lambda^m-1|\ge|\lambda|^m-1\to\infty$（$m\to\infty$）となって矛盾し、$|\lambda|<1$ なら $m\to-\infty$ で同じ矛盾が出る。よって $|\lambda|=1$ である。$\lambda\neq1$ と仮定し、必要なら $\lambda$ を $\lambda^{-1}=\bar\lambda$ に替えて $\lambda=e^{i\theta}$、$0<\theta\le\pi$ とする。$m\theta\ge\pi/2$ となる最小の正の整数を $m$ とすると、$(m-1)\theta<\pi/2$ なので $\pi/2\le m\theta<\pi/2+\theta\le3\pi/2$ であり、$\operatorname{Re}\lambda^m=\cos m\theta\le0$ である。実部が $0$ 以下の複素数 $z$ について $|z-1|\ge1-\operatorname{Re}z\ge1$ なので $|\lambda^m-1|\ge1$ となり、矛盾する。よって $g$ の固有値はすべて $1$ である。

$g=I$ である。 $N:=g-I$ の固有値はすべて $0$ なので、Cayley–Hamilton の定理から $N^n=0$ である。$N\neq0$ と仮定し、$N^r\ne0$ となる最大の $r\ge1$ をとる。正の整数 $m$ について、二項展開 $g^m-I=\sum_{j=1}^m\binom mjN^j$ の右から $N^{r-1}$ を掛けると、$j\ge2$ の項は $N^{j+r-1}=0$ で消えて$$(g^m-I)N^{r-1}=mN^r$$となる。よって $m\|N^r\|\le\|g^m-I\|\,\|N^{r-1}\|<\|N^{r-1}\|$ がすべての $m\ge1$ で成り立つが、$\|N^r\|>0$ なので $m$ を大きくすると矛盾する。よって $N=0$、すなわち $g=I$ である。$\square$

有限次 Galois 部分拡大 $F\subset F'$ について、制限 $\operatorname{Gal}(F'/K)\to\operatorname{Gal}(F/K)$ は $I_{\mathfrak{P}_{F'}}(F'/K)$ を $I_{\mathfrak{P}_F}(F/K)$ の中へ写す（定義から明らか）。その核 $I_{\mathfrak{P}_{F'}}(F'/K)\cap\operatorname{Gal}(F'/F)$ は $F'/F$ の惰性群であり（分解群と惰性群 の記事の命題「分解群と惰性群の基本性質」の 4）、惰性群の位数は分岐指数に等しい（同じ記事の系「惰性群の位数と完全列」）。分岐指数の乗法性から、像の位数は $e(\mathfrak{P}_{F'}\mid\mathfrak{p})/e(\mathfrak{P}_{F'}\mid\mathfrak{P}_F)=e(\mathfrak{P}_F\mid\mathfrak{p})=\lvert I_{\mathfrak{P}_F}(F/K)\rvert$ であり、制限は全射である。

$I_{\mathfrak{P}}$ の $\operatorname{Gal}(F/K)$ への像も $I_{\mathfrak{P}_F}(F/K)$ に等しい。$\subset$ は定義から明らかである。$\tau\in I_{\mathfrak{P}_F}(F/K)$ について、$F'\supset F$ ごとに $\{\sigma\in G_K\mid\sigma|_{F'}\in I_{\mathfrak{P}_{F'}}(F'/K),\ \sigma|_F=\tau\}$ は上の全射性から空でなく、$G_{F'}$ の剰余類の和なので閉集合であり、$F'$ を大きくすると小さくなる。$G_K$ はコンパクトなので共通部分は空でなく、その元は $I_{\mathfrak{P}}$ に属し $F$ への制限が $\tau$ である。

同値性：$\ker\rho$ は固定体 $K_\rho$ の $G_{K_\rho}$ に等しい（無限次Galois理論 の記事の定理「無限次Galois理論の基本定理」）。$K_\rho/K$ は Galois 拡大なので、その有限次部分拡大は有限次 Galois 部分拡大 $F$ に含まれる。したがって、$\rho(I_{\mathfrak{P}})=\{I\}$、すなわち $I_{\mathfrak{P}}\subset G_{K_\rho}$ は、すべての $F$ で $I_{\mathfrak{P}}$ の $\operatorname{Gal}(F/K)$ への像 $I_{\mathfrak{P}_F}(F/K)$ が自明であることと同値である。分解群と惰性群 の記事の系「分解の型の判定」の 1 により、これはすべての $F$ で $\mathfrak{p}$ が不分岐であることと同値である。$\mathfrak{P}$ を取り替えると、各 $F$ で $\mathfrak{P}_F$ が共役で移り（同じ記事の定理「Galois 群は素イデアルに推移的に作用する」）、不分岐性は $\mathfrak{P}$ によらない。$\square$

1. $\mathfrak{p}$ の上の $L_1$ の素イデアル $\mathfrak{P}_1$ をとり、$L_{m+1}$ の素イデアル $\mathfrak{P}_{m+1}$ を $\mathfrak{P}_m$ の上にとることを繰り返す。$\varphi_m:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}_m}(L_m/K)$ とおくと、$L_m/K$ は Galois 拡大なので、Frobenius元 の記事の定理「Frobenius元の中間体への移り方」の 2 により $\varphi_{m+1}|_{L_m}=\varphi_m$ である。$S_m:=\{\sigma\in G_K\mid\sigma|_{L_m}=\varphi_m\}$ は、制限写像 $G_K\to\operatorname{Gal}(L_m/K)$ が全射なので空でなく、開部分群 $G_{L_m}$ の剰余類なので閉集合であり、両立性から $S_1\supset S_2\supset\cdots$ である。$G_K$ はコンパクトなので $\bigcap_mS_m\neq\emptyset$ であり、その元が求める $\sigma$ である。

2. $\sigma'$ を別の選び方とし、$\sigma'|_{L_m}=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}'_m}(L_m/K)$ とする。分解群と惰性群 の記事の定理「Galois 群は素イデアルに推移的に作用する」により $\mathfrak{P}'_m=\tau(\mathfrak{P}_m)$ となる $\tau\in\operatorname{Gal}(L_m/K)$ があり、Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 2 により $\sigma'|_{L_m}=\tau\,\sigma|_{L_m}\,\tau^{-1}$ である。$\rho_m$ は $\operatorname{Gal}(L_m/K)$ を経由するので、$\tau$ の持ち上げ $\tilde\tau\in G_K$ について $\rho_m(\sigma')=\rho_m(\tilde\tau)\rho_m(\sigma)\rho_m(\tilde\tau)^{-1}$ であり、$\det(X-\rho(\sigma'))\equiv\det(X-\rho(\sigma))\pmod{\ell^m}$ である。これがすべての $m$ で成り立つので両者は等しい。

最後の主張：1 の条件は「$K_\rho$ に含まれる $K$ の有限次 Galois 部分拡大 $F$ のすべてで $\sigma|_F$ が $\mathfrak{p}$ の上のある素イデアルの Frobenius 元になる」ことと同値である（$F$ はある $L_m$ に含まれ、上の定理の 2 で $L_m$ から $F$ へ制限できる）。この条件は $K_\rho$ だけで決まり、$\rho$ を共役に替えても $K_\rho$ も $\det(X-\rho(\sigma))$ も変わらない。$\square$