Lp空間

前提知識: Lebesgue積分, ノルム空間, Banach空間

何を測る空間か

数の組 $(x_1,\dots,x_n)$ の大きさには、絶対値の和 $\sum_k|x_k|$、2 乗の和の平方根 $(\sum_k|x_k|^2)^{1/2}$、最大値 $\max_k|x_k|$ など、いくつもの測り方がある。これらは $p$ 乗の和の $p$ 乗根 $(\sum_k|x_k|^p)^{1/p}$ の $p=1,2$ と、$p\to\infty$ の極限にあたる。関数 $f$ の大きさも同じように、和を積分に替えて $(\int|f|^p)^{1/p}$ で測れる。$p=1$ は「平均の絶対誤差」、$p=2$ は「平均 2 乗誤差」、$p=\infty$ は「最大の誤差」にあたり、$p$ を大きくするほど大きな値をとる所を重く見る。
$L^p$ 空間は、この大きさが有限な関数を集め、積分では区別できない関数（ほとんどいたるところ等しい関数）を同じものとみなした空間である。$1\le p\le\infty$ では、これはノルム空間になり、さらに完備、すなわち Banach空間 になる。完備性は Lebesgue 積分の収束定理から来るもので、連続関数だけを集めた空間に同じ積分のノルムを入れても成り立たない（Banach空間 の例「反例：積分のノルムでは完備でない」）。$L^2$ は内積をもつので Hilbert 空間の代表例になり、$L^1$ は確率論の期待値、$L^p$ 一般は偏微分方程式の関数空間（Sobolev 空間）や作用素の評価の基本的な舞台になる。

定義

以下、$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし（測度 の記事の定義「測度」、Lebesgue測度 の記事の定義「σ-代数と測度」）、$F$ は実数体 $\mathbb{R}$ または複素数体 $\mathbb{C}$ を表す。関数 $f\colon X\to\mathbb{C}$ が可測であるとは、実部と虚部がともに可測であることとする。可測関数 $f$ について $|f|$ は可測であり、$p>0$ について $|f|^p$ も値が $[0,\infty)$ の可測関数である（$|f|^2$ は実部と虚部の 2 乗の和なので可測であり、$\{|f|^p>a\}=\{|f|^2>a^{2/p}\}$（$a\ge0$）が可測集合だからである）。したがって積分 $\int|f|^p\,d\mu\in[0,\infty]$ がつねに定まる（Lebesgue積分 の記事の定義「非負可測関数の積分」）。複素数値の可積分関数 $f$ の積分は $\int f\,d\mu:=\int\operatorname{Re}f\,d\mu+i\int\operatorname{Im}f\,d\mu$ で定める。

本質的上限は、零集合の上での値を無視したときの $|f|$ の上限である。たとえば $\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度について、有理数で $n$（$n$ は既約分数の分母）、無理数で $0$ をとる関数は有界でないが、有理数全体は零集合なので本質的上限は $0$ である。本質的上限は下限として定義したが、実際に達成される。

$\|f\|_p=0$ でも $f=0$ とは限らない（$\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度では、有理数の指示関数 $1_{\mathbb{Q}}$ は $\|1_{\mathbb{Q}}\|_p=0$）。そこで、ほとんどいたるところ等しい関数を同じものとみなす。$f=g$（ほとんどいたるところ）なら $\int|f|^p=\int|g|^p$ であり（Lebesgue積分 の記事の補題「零集合と積分」の 3）、本質的上限も等しいので、次の定義は代表元のとり方によらない。

$0< p<1$ でも $L^p(\mu)$ は定義できるが、$\|\cdot\|_p$ は一般に三角不等式を満たさず、ノルムにならない（ノルム空間 の記事の例「反例：$p=1/2$ の「ノルム」」は、2 点上の数え上げ測度の $\|\cdot\|_{1/2}$ である）。以下では主に $1\le p\le\infty$ を扱う。$1\le p\le\infty$ に対し、$\frac1p+\frac1{p'}=1$ を満たす $p'\in[1,\infty]$ を $p$ の双対指数という（$1'=\infty$、$\infty'=1$、$2'=2$）。

例

区間上の冪関数は、$p$ の大小によって $L^p$ に入るかどうかが入れ替わる典型である。$a>0$ とし、$f_a(x):=x^{-a}$ を考える。

Hölder の不等式と Minkowski の不等式

$\|\cdot\|_p$ がノルムであることの要は三角不等式（Minkowski の不等式）であり、その証明には積の積分を評価する Hölder の不等式を使う。出発点は 2 つの数についての Young の不等式である：$1< p<\infty$ なら、$a,b\ge0$ について
$$ ab\le\frac{a^p}p+\frac{b^{p'}}{p'} $$
が成り立つ（凸関数 の記事の系「Youngの不等式」。対数関数の凹性から従う）。

$p=p'=2$ の場合は積分の形の Cauchy–Schwarz の不等式 $\int|fh|\le\|f\|_2\|h\|_2$ である。有限個の数についての Hölder の不等式（凸関数 の記事の系「Hölderの不等式」）は、$\{1,\dots,n\}$ 上の数え上げ測度の場合にあたる。

$\mathcal{L}^p(\mu)$ の上では $\|\cdot\|_p$ は半ノルムにすぎず、$L^p(\mu)$ へ移ってはじめてノルムになる。これは ノルム空間 の記事の注意「半ノルムからノルムを作る」の構成の一例である。

完備性

ノルム空間が完備であることは、絶対収束する級数がつねに収束することと同値である（Banach空間 の記事の定理「絶対収束する級数による完備性の特徴づけ」）。$L^p$ ではこの級数が、ほとんどいたるところ各点でも収束することが示せる。

$\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度に当てると、$\ell^p$（$1\le p\le\infty$）が Banach 空間であることが得られる。$L^p$ で収束する列が各点でも収束するとは限らない（ex-lp-space-typewriter）が、部分列をとれば各点で収束する。

$p$ による包含関係

$L^p$ どうしの包含は測度空間によって向きが変わる。全体の測度が有限なら大きな $p$ の空間ほど小さく、数え上げ測度では逆に小さな $p$ の空間ほど小さい。

たとえば $\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度では、どちらの向きの包含もない。

各行は ex-lp-space-power と ex-lp-space-sequences で確かめた。$(0,1)$ 上の $x^{-1/2}$ は大きな値を小さな集合でとるので $p$ が大きいと積分が発散し、$(1,\infty)$ 上の $x^{-1}$ はゆっくり減る値を大きな集合でとるので $p$ が小さいと積分が発散する。有限測度は前者だけを許し、数え上げ測度は（各点の測度が $1$ なので）後者だけを許す。

収束のしかたの違い

$L^p$ での収束（$\|f_n-f\|_p\to0$）は「積分の意味で近づく」ことであり、各点での収束とは互いに独立である。$[0,1)$ 上の Lebesgue 測度で、$1\le p<\infty$ とする。

区間を動く指示関数の列 g_1 から g_15。区間の幅は段ごとに半分になり、各段で左端から右端まで動く
図では縦に $g_1,\dots,g_{15}$ を並べた。どの点 $x$ の上にも、各段で 1 本ずつ値 $1$ の区間が通る。

稠密性と双対

この命題により、$L^p$ についての多くの主張は、指示関数 $1_A$（$\mu(A)<\infty$）で確かめてから線形性と極限で広げられる。有界線形写像が稠密な部分空間の上で決まればその連続な延長は 1 つしかないので、たとえば 畳み込み や Sobolev空間の基本事項 で扱う作用素の評価は、まず扱いやすい関数で示してから $L^p$ 全体へ広げる形で行われる。$p=\infty$ ではこの命題は成り立たない。$\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度で定数関数 $1$ を考えると、$\mu(\{s\ne0\})<\infty$ の単関数 $s$ は測度無限の集合 $\{s=0\}$ の上で $0$ なので、$\|1-s\|_\infty\ge1$ である。

補足

冒頭で「$p$ を大きくするほど大きな値をとる所を重く見る」と述べたことは、次の極限で正確になる。

仮定 $f\in\mathcal{L}^{p_0}$ は外せない。$\mathbb{R}$ 上の定数関数 $1$ は $\|1\|_\infty=1$ だが、すべての $p<\infty$ で $\|1\|_p=\infty$ である。

関連項目

• 前提: Lebesgue積分, ノルム空間, Banach空間, 測度, σ-代数
• 比較: Hilbert空間, 完備距離空間, 凸関数
• 直後に読む: 畳み込み, Sobolev空間の基本事項, 確率分布の中央値
• 発展: 不等式, Fourier級数, Baireのカテゴリー定理