Teichmüller空間
概要
Teichmüller空間（Teichmüller space）とは、閉曲面 $S$ から Riemann 面への向きを保つ微分同相写像（印）との組を、印とイソトピーを除いて両立する双正則写像で同一視して得られる空間 $\mathcal{T}(S)$ である。写像類群が印の付け替えで作用し、その商が Riemann 面のモジュライ空間になる。トーラスでは $\mathcal{T}$ は上半平面で、写像類群 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ が 1 次分数変換で作用する。種数 $g\ge2$ では、パンツ分解の $3g-3$ 本の測地線の長さとひねりの量（Fenchel–Nielsen 座標）により $\mathcal{T}$ は $\mathbb{R}^{6g-6}$ と同相で、この次元は正則 2 次微分の空間の実次元に等しい。
前提知識: Riemann面, 一意化定理(Riemann面), 写像類群, 双曲幾何学
Teichmüller 空間（Teichmüller space）とは、閉曲面 $S$ の上の複素構造に「印」を付けたものを、印と両立する双正則写像で同一視して得られる空間 $\mathcal{T}(S)$ のことである。印とは $S$ から Riemann 面への微分同相写像のイソトピー類で、これにより Riemann 面の上の曲線を $S$ の上の曲線と対応させて呼べるようになる。
印を忘れると、種数 $g$ の Riemann 面の双正則類の空間、すなわちモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ が得られる。$\mathcal{M}_g$ は自己同型をもつ Riemann 面のために多様体にならないが、$\mathcal{T}(S)$ は印のおかげで扱いやすい空間になり、写像類群 $\operatorname{Mod}(S)$ が印の付け替えで作用して $\mathcal{M}_g=\mathcal{T}(S)/\operatorname{Mod}(S)$ となる。トーラスでは $\mathcal{T}(T^2)$ は上半平面 $\mathbb{H}$ で、$\operatorname{Mod}(T^2)\cong\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ が 1 次分数変換で作用する。種数 $g\ge2$ では、曲面を 3 つの穴をもつ球面に切り分け、切り口の測地線の長さとひねりの量を並べることで $\mathcal{T}(S_g)\cong\mathbb{R}^{6g-6}$ となる（Fenchel–Nielsen 座標）。この次元は、Riemann が数えた「$3g-3$ 個の複素パラメータ」にあたり、正則 2 次微分の空間の次元に等しい。
この記事では、写像類群の作用とモジュライ空間との関係、トーラスの Teichmüller 空間が上半平面であること、3 つの穴をもつ球面への分割の個数、双曲的な等長変換の跡と移動距離の関係、正則 2 次微分の空間の次元を証明する。種数 $2$ 以上の座標と Teichmüller の定理は引用する。
定義
$S$ を種数 $g$ の向き付けられた閉曲面（連結でコンパクトな境界のない 2 次元 $C^\infty$ 級多様体）とする。Riemann 面は複素構造から標準的な向きをもつ（Riemann面 の命題「リーマン面は標準的に向き付け可能」）。$\operatorname{Diff}_0(S)$ を恒等写像とイソトピックな微分同相写像の全体とする（写像類群 の命題「写像類群は群である」により正規部分群である）。
コンパクトな Riemann 面 $X$ と向きを保つ微分同相写像 $\varphi\colon S\to X$ の組 $(X,\varphi)$ を、$S$ を台とする 印付き Riemann 面 という。2 つの印付き Riemann 面 $(X,\varphi)$、$(Y,\psi)$ は、双正則写像 $h\colon X\to Y$ で $\psi^{-1}\circ h\circ\varphi\in\operatorname{Diff}_0(S)$ となるものがあるとき 同値 であるという。同値類 $[X,\varphi]$ の全体を $S$ の Teichmüller 空間 といい、$\mathcal{T}(S)$ と書く。種数 $g$ の閉曲面のものを $\mathcal{T}_g$ とも書く。
同値であることは同値関係である：$h=\mathrm{id}$ で反射律、$(\psi^{-1}h\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}h^{-1}\psi$ で対称律、$\chi^{-1}kh\varphi=(\chi^{-1}k\psi)(\psi^{-1}h\varphi)$ で推移律が成り立つ。
種数 $g$ のコンパクトな Riemann 面の双正則類の全体を、種数 $g$ の Riemann 面の モジュライ空間 といい、$\mathcal{M}_g$ と書く。
種数 $g$ のコンパクトな Riemann 面 $X$ には、向きを保つ微分同相写像 $S\to X$ が必ずある。向き付けられた閉曲面は Euler 標数が等しければ微分同相であり、向き付けられた閉曲面は向きを逆にする微分同相写像をもつからである（Ben21 Corollary 15.11 (2)・(3)、p. 255）。
$[f]\in\operatorname{Mod}(S)$ と $[X,\varphi]\in\mathcal{T}(S)$ について $[f]\cdot[X,\varphi]:=[X,\varphi\circ f^{-1}]$ とおくと、$\operatorname{Mod}(S)$ の $\mathcal{T}(S)$ への作用がよく定まる。印を忘れる写像 $[X,\varphi]\mapsto X$ は全単射 $\mathcal{T}(S)/\operatorname{Mod}(S)\to\mathcal{M}_g$ を誘導する。
要点：$\operatorname{Diff}_0(S)$ が正規部分群であることと、双正則写像で印を運べること。
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$k\in\operatorname{Diff}_0(S)$ について $(X,\varphi k^{-1}f^{-1})$ と $(X,\varphi f^{-1})$ は $h=\mathrm{id}$ で同値である（$f\varphi^{-1}\varphi k^{-1}f^{-1}=fk^{-1}f^{-1}\in\operatorname{Diff}_0(S)$）。$(X,\varphi)$ と $(Y,\psi)$ が $h$ で同値なら、$(X,\varphi f^{-1})$ と $(Y,\psi f^{-1})$ も同じ $h$ で同値である（$f\psi^{-1}h\varphi f^{-1}\in\operatorname{Diff}_0(S)$）。よって作用はよく定まり、作用の公理は $(\varphi f_2^{-1})f_1^{-1}=\varphi(f_1f_2)^{-1}$ から従う。印を忘れる写像は、同値な組を双正則な面に写し、上の注意により全射である。$X$ と $Y$ が双正則 $h\colon X\to Y$ なら、$(Y,\psi)$ は $h^{-1}$ により $(X,h^{-1}\psi)$ と同値で、$f:=\psi^{-1}h\varphi\in\operatorname{Diff}^+(S)$ とおくと $\varphi f^{-1}=h^{-1}\psi$ である。よって $X$ と $Y$ が双正則なら $[X,\varphi]$ と $[Y,\psi]$ は同じ軌道にあり、逆も明らかである。$\square$
$\mathcal{T}(S^2)$ は 1 点である。種数 $0$ のコンパクトな Riemann 面は Riemann 球面 $\hat{\mathbb{C}}$ と双正則なので（一意化定理(Riemann面) の系「コンパクトな面の型は種数で決まる」）、任意の $(X,\varphi)$、$(Y,\psi)$ に双正則写像 $h\colon X\to Y$ がある。$\psi^{-1}h\varphi$ は $S^2$ の向きを保つ微分同相写像で、$\operatorname{Mod}(S^2)=1$（写像類群 の命題「円板と球面の写像類群」）だから $\operatorname{Diff}_0(S^2)$ に属する。
主定理：トーラスの Teichmüller 空間
$T^2:=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ とし、写像類群 の定理「トーラスの写像類群」と同じく $H_1(T^2;\mathbb{Z})$ の基底 $e_1,e_2$（$x$ 方向と $y$ 方向の閉曲線の類）と同型 $\Phi\colon\operatorname{Mod}(T^2)\to\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ を使う。格子 $\Lambda\subset\mathbb{C}$ について、複素トーラス $\mathbb{C}/\Lambda$ の閉曲線の類を、持ち上げの終点と始点の差で $\Lambda$ の元と同一視し、$H_1(\mathbb{C}/\Lambda;\mathbb{Z})=\Lambda$ とみなす。
格子 $\Lambda,\Lambda'$ について、双正則写像 $k\colon\mathbb{C}/\Lambda\to\mathbb{C}/\Lambda'$ は、ある $\alpha\in\mathbb{C}^\times$、$\beta\in\mathbb{C}$ で $\alpha\Lambda=\Lambda'$ となるものにより $[z]\mapsto[\alpha z+\beta]$ と書ける。とくに $k_*\colon\Lambda\to\Lambda'$ は $\alpha$ 倍である。
要点：持ち上げの導関数は周期的で有界な整関数なので定数である。
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$\mathbb{C}$ は単連結なので、$k$ は連続な持ち上げ $K\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ をもち、射影は局所的に双正則だから $K$ は正則である。$\lambda\in\Lambda$ について $K(z+\lambda)-K(z)$ は $\Lambda'$ に値をとる連続関数なので定数であり、$K'(z+\lambda)=K'(z)$ となる。$K'$ は閉じた基本平行四辺形の上で有界なので $\mathbb{C}$ の上で有界な整関数で、Liouville の定理により定数 $\alpha$ である。よって $K(z)=\alpha z+\beta$ で、$\alpha\Lambda\subset\Lambda'$ である。$k^{-1}$ に同じことを当てると $\alpha^{-1}\Lambda'\subset\Lambda$ なので $\alpha\Lambda=\Lambda'$ である。閉曲線の持ち上げの差は $\alpha$ 倍になるので $k_*$ は $\alpha$ 倍である。$\square$
$[X,\varphi]\in\mathcal{T}(T^2)$ をとる。$X$ は種数 $1$ なので複素トーラス $\mathbb{C}/\Lambda$ と双正則である（一意化定理(Riemann面) の系「コンパクトな面の型は種数で決まる」）。双正則写像 $u\colon X\to\mathbb{C}/\Lambda$ を選び、$\omega_i:=(u\circ\varphi)_*e_i\in\Lambda$（$i=1,2$）とおく。$(u\varphi)_*$ は同型なので $\omega_1,\omega_2$ は $\Lambda$ の基底である。
![左：格子 !FORMULA[135][-1902544539][0] と、印から決まる基底 !FORMULA[136][727598811][0]。右：!FORMULA[137][-439883159][0] で割って正規化した !FORMULA[138][36151][0] と、左の格子から決まる !FORMULA[139][1683133123][0]。灰色の領域は 1 次分数変換による !FORMULA[140][-1570217830][0] の作用の基本領域である。この !FORMULA[141][1119166004][0] は領域の外にあり、作用で領域の点に移る。!FORMULA[142][1123817][0] と !FORMULA[143][36421564][0] は同じ軌道にある。](figs/fig-teichmuller-space-1.png)
左：格子 $\Lambda$ と、印から決まる基底 $\omega_1,\omega_2$。右：$\omega_1$ で割って正規化した $1$ と、左の格子から決まる $\tau=\omega_2/\omega_1$。灰色の領域は 1 次分数変換による $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用の基本領域である。この $\tau$ は領域の外にあり、作用で領域の点に移る。$2i$ と $i/2$ は同じ軌道にある。
$\tau[X,\varphi]:=\omega_2/\omega_1$ は $u$ と代表元の選び方によらず、全単射
$$
\tau\colon\mathcal{T}(T^2)\to\mathbb{H}=\{\tau\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}\tau>0\}
$$
を定める。この対応で、$A=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ を $\Phi^{-1}(A)$ として $\mathcal{T}(T^2)$ に作用させると、$\tau\mapsto\dfrac{p\tau-q}{-r\tau+s}$ になる。
要点：双正則写像は相似変換なので比 $\omega_2/\omega_1$ は変わらない。逆に比が等しければ相似変換が印を保ち、ホモロジーに自明に作用する写像はイソトピックである。
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虚部が正であること：$\ell(x,y):=x\omega_1+y\omega_2$ は $\mathbb{Z}^2$ を $\Lambda$ に写し、微分同相写像 $\bar\ell\colon T^2\to\mathbb{C}/\Lambda$ を誘導して $\bar\ell_*e_i=\omega_i$ である。$g:=\bar\ell^{-1}u\varphi$ は $g_*=I$ を満たす $T^2$ の微分同相写像である。$g$ が向きを逆にするなら、折り返し $r(\pi(x,y))=\pi(x,-y)$ との合成 $gr$ は向きを保ち $\det(gr)_*=-1$ となって、写像類群 の定理「トーラスの写像類群」（$\Phi$ の値は行列式 $1$）に反する。よって $g$ は向きを保ち、$\bar\ell$ も向きを保つ。$\ell$ の実行列の行列式は $\operatorname{Im}(\bar\omega_1\omega_2)=\lvert\omega_1\rvert^2\operatorname{Im}(\omega_2/\omega_1)$ なので、$\operatorname{Im}\tau>0$ である。
選び方によらないこと：別の $u'\colon X\to\mathbb{C}/\Lambda'$ は $u'=ku$（$k:=u'u^{-1}$ は双正則）で、lem-teich-affine により $\omega_i$ が一斉に $\alpha$ 倍になるだけである。$(X,\varphi)$ と $(Y,\psi)$ が $h$ で同値なら、$Y$ に $u_Y$ を選び $X$ には $u_Yh$ を使うと、$(u_Yh\varphi)_*=(u_Y\psi)_*(\psi^{-1}h\varphi)_*=(u_Y\psi)_*$ である（イソトピックな写像はホモロジーに同じく作用する）。
全射：$\tau\in\mathbb{H}$ について $X:=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)$ とし、$\varphi$ を線形写像 $(x,y)\mapsto x+y\tau$ が誘導する写像とすると、行列式は $\operatorname{Im}\tau>0$ で向きを保ち、$\omega_1=1$、$\omega_2=\tau$ である。
単射：$[X,\varphi]$、$[Y,\psi]$ の基底を $(\omega_1,\omega_2)$、$(\omega_1',\omega_2')$ とし、比が等しいとする。$\alpha:=\omega_1'/\omega_1$ とおくと $\alpha\omega_i=\omega_i'$ で $\alpha\Lambda=\Lambda'$ だから、$k([z]):=[\alpha z]$ は双正則で $k_*=\alpha$ 倍である。$h:=u_Y^{-1}ku_X$ は $X$ から $Y$ への双正則写像で、$(\psi^{-1}h\varphi)_*$ は $e_i\mapsto\omega_i\mapsto\omega_i'\mapsto e_i$ と恒等写像である。$\Phi$ は単射なので $\psi^{-1}h\varphi\in\operatorname{Diff}_0(T^2)$ であり、2 つは同値である。
作用：$\Phi[f]=A$ なら $(u\varphi f^{-1})_*e_i=(u\varphi)_*A^{-1}e_i$ で、$A^{-1}=\begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}$ から新しい基底は $s\omega_1-r\omega_2$、$-q\omega_1+p\omega_2$ である。比は $(p\tau-q)/(-r\tau+s)$ である。$\square$
- 複素トーラスの双正則類は、$\mathbb{H}$ の 1 次分数変換 $\tau\mapsto(a\tau+b)/(c\tau+d)$（$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$）による軌道と 1 対 1 に対応する。すなわち $\mathcal{M}_1\cong\mathbb{H}/\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ である。
- $\operatorname{Mod}(T^2)$ の元で $\mathcal{T}(T^2)$ の全体を固定するものは $\pm I$ だけである。$-I$ は写像 $\pi(x)\mapsto\pi(-x)$ の類である。
1：prop-teich-action と thm-teich-torus により、双正則類は作用 $\tau\mapsto(p\tau-q)/(-r\tau+s)$ の軌道に対応する。$J:=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ について $JAJ=\begin{pmatrix}p&-q\\-r&s\end{pmatrix}$ で、$A\mapsto JAJ$ は $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の自己同型だから、軌道は通常の作用の軌道と同じである。2：$(p\tau-q)/(-r\tau+s)=\tau$ がすべての $\tau\in\mathbb{H}$ で成り立てば $-r\tau^2+(s-p)\tau+q=0$ が恒等的に成り立つので $r=q=0$、$p=s$ で、$ps=1$ から $A=\pm I$ である。$-I$ は明らかにすべての点を固定する。$\square$
2 の $-I$ が自明に作用するのは、$[z]\mapsto[-z]$ がどの複素トーラスの双正則写像でもあるからである。1 は Riemann面 の命題「相似な格子のトーラスは双正則」とその後の注意と同じ結論を、印を通して述べたものである。
種数 2 以上：双曲構造と Fenchel–Nielsen 座標
$g\ge2$ なら、種数 $g$ のコンパクトな Riemann 面 $X$ は双曲型で、単位円板の商 $\mathbb{D}/G$ と双正則であり、$\mathbb{D}$ の双曲計量から降りる曲率一定の計量をもつ（一意化定理(Riemann面) の系「コンパクトな面の型は種数で決まる」と命題「双曲計量の降下」。曲率を $-1$ に正規化する）。これにより $\mathcal{T}(S_g)$ は、$S_g$ の上の曲率 $-1$ の Riemann 計量の空間を $\operatorname{Diff}_0(S_g)$ の引き戻しの作用で割った空間とも同一視される。位相はこの見方で、計量の空間の $C^\infty$ 位相から商位相として入れる（Dou79 p. 127、Poé79a §IV、pp. 9–10）。
3 つの穴をもつ球面（pair of pants。以下 パンツ）とは、球面から、閉包が互いに交わらない 3 つの滑らかな閉円板の内部を除いた曲面のことである。互いに交わらない単純閉曲線の有限族 $K_1,\dots,K_m$ で、それに沿って切ると各成分がパンツになるものを $S_g$ の パンツ分解 という。
$g\ge2$ とする。
- $S_g$ のパンツ分解は、ちょうど $3g-3$ 本の曲線からなり、$S_g$ を $2g-2$ 個のパンツに分ける。
- $S_g$ はパンツ分解をもつ。
要点：Euler 標数を数え、逆に 3 価のグラフの形にパンツを貼り合わせる。
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1：球面はパンツと 3 つの閉円板を円周に沿って貼り合わせたものなので、Euler標数 の定理「直積と和集合の Euler 標数」(2) と $\chi(\text{円周})=0$ から $2=\chi(P)+3$、すなわち $\chi(P)=-1$ である。$S_g$ は $k$ 個のパンツを切り口の円周で貼り合わせたものなので、同じ定理から $\chi(S_g)=-k$ で、$\chi(S_g)=2-2g$（種数 の系「種数のEuler標数による式」）から $k=2g-2$ である。パンツの境界は全部で $3k$ 本で、各曲線は 2 本の境界になるので、曲線は $3k/2=3g-3$ 本である。
2：頂点 $v_1,\dots,v_{2g-2}$ を順に結ぶ輪（$g=2$ なら $v_1$ と $v_2$ を結ぶ 2 本の辺）に、辺 $v_{2i-1}v_{2i}$（$1\le i\le g-1$）を加えた連結なグラフ $\Gamma$ を考える。各頂点の次数は $3$、辺は $(2g-2)+(g-1)=3g-3$ 本である。各頂点に向き付けられたパンツを 1 つ置き、頂点に出入りする 3 本の辺の端をその 3 つの境界成分に対応させ、各辺の両端の境界成分を向きを逆にする微分同相写像で貼り合わせる。得られる曲面は境界がなく（$3(2g-2)$ 個の端がすべて対になる）、$\Gamma$ が連結なので連結で、向き付けられ、1 と同じ計算で $\chi=-(2g-2)=2-2g$ である。よって $S_g$ と微分同相で（Ben21 Corollary 15.11 (2)、p. 255）、貼り合わせた円周の像がパンツ分解である。$\square$
1 の個数は境界をもつ曲面にも広がる（境界成分 $n$ 個なら曲線 $3g-3+n$ 本、パンツ $2g-2+n$ 個。Hat99 p. 1）。パンツの双曲構造は境界の長さだけで決まる。
$g\ge2$ とし、$S_g$ のパンツ分解 $K_1,\dots,K_{3g-3}$ を固定する。
- パンツ $P$ の上の、境界が測地線になる曲率 $-1$ の計量を $\operatorname{Diff}_0(P)$ で割った空間は、3 本の境界の長さ $(l_1,l_2,l_3)$ を対応させる写像で $\mathbb{R}_{>0}^3$ と同相である。とくにどの長さの組も実現され、長さの組が等しい 2 つの計量はイソトピーを除いて等しい。
- $[X,\varphi]\in\mathcal{T}(S_g)$ に、$K_j$ のイソトピー類の中のただ 1 つの閉測地線の長さ $l_j$ と、貼り合わせのひねりの量 $\alpha_j\in\mathbb{R}$ を対応させる写像は、同相写像
$$ \mathcal{T}(S_g)\cong\mathbb{R}_{>0}^{3g-3}\times\mathbb{R}^{3g-3}\cong\mathbb{R}^{6g-6} $$
を与える。$K_j$ に沿う Dehn ひねりは、$\alpha_j$ を $1$ 周分だけずらす。
閉測地線の長さは、基本群の元の跡で計算できる。$\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ の元 $A$ は 1 次分数変換として $\mathbb{H}$ に等長的に作用する（双曲幾何学 の命題「1 次分数変換は双曲的な長さを保つ」）。$A$ の 移動距離 を $\ell(A):=\inf_{z\in\mathbb{H}}d(z,Az)$ と定める。
$A\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ が $\lvert\operatorname{tr}A\rvert>2$ を満たすとする。このとき $\ell(A)>0$ で、下限は $\mathbb{H}$ のある双曲直線（$A$ の 軸）の上でちょうど達成され、
$$
\lvert\operatorname{tr}A\rvert=2\cosh\frac{\ell(A)}{2}
$$
が成り立つ。
要点：共役で対角化すると $z\mapsto\lambda^2z$ になり、距離の公式で直接計算できる。
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$A$ と $-A$ は同じ 1 次分数変換なので $\operatorname{tr}A>2$ としてよい。固有値は $x^2-(\operatorname{tr}A)x+1$ の相異なる正の実根 $\lambda>1>\lambda^{-1}$ で、実の固有ベクトル $v_1,v_2$ を並べた行列は、必要なら $v_2$ の符号を変え定数倍して $P\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ にでき、$P^{-1}AP=D:=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda^{-1})$ となる。$P$ は等長なので $d(Pz,APz)=d(z,Dz)$ であり、$D$ について調べればよい。$D$ は $z\mapsto\lambda^2z$ で、$z=x+iy$ について 双曲幾何学 の定理「距離の公式と測地線」から $\cosh d(z,\lambda^2z)=1+\dfrac{(\lambda^2-1)^2\lvert z\rvert^2}{2\lambda^2y^2}\ge1+\dfrac{(\lambda^2-1)^2}{2\lambda^2}=\dfrac{\lambda^2+\lambda^{-2}}{2}$ であり、等号は $\lvert z\rvert=y$、すなわち $x=0$ のときに限る。右辺は $\cosh(2\log\lambda)$ なので $\ell(D)=2\log\lambda>0$ で、下限は虚軸の上でちょうど達成される。よって $\ell(A)=2\log\lambda$、軸は虚軸の $P$ による像で、$2\cosh(\ell(A)/2)=\lambda+\lambda^{-1}=\operatorname{tr}A$ である。$\square$
コンパクトな双曲的 Riemann 面 $X=\mathbb{H}/\Gamma$ の自明でない閉曲線の類に対応する $\Gamma$ の元を $A$ とすると、$A$ は双曲的（$\lvert\operatorname{tr}A\rvert>2$）で、その類の閉測地線の長さは $\ell(A)$ である（Dou79 p. 136。この記事では証明しない）。跡の恒等式 $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}(AB)+\operatorname{tr}(A^{-1}B)$ と組み合わせると、長さの間の関係式が得られる（Dou79 命題 6 の補題 1・2、pp. 135–136）。$\mathcal{T}(S_g)$ の点は、有限個（$9g-9$ 本）の単純閉曲線の測地線の長さで決まる（同 命題 5、p. 134）。
複素構造からの見方：2 次微分と Teichmüller の定理
$X$ の上の 正則 2 次微分 とは、局所座標 $z$ で $q(z)\,dz^2$（$q$ は正則）と書け、別の局所座標 $w$ で $\tilde q(w)\,dw^2$ と書けるとき、重なりの上で $q(z)=\tilde q(w(z))\,w'(z)^2$ となるもののことである。$X$ の 0 でない有理型微分形式 $\omega$ をとり、その因子を標準因子 $K$ とすると、正則 2 次微分は $f\omega^2$（$f$ は有理型関数で $\operatorname{div}f+2K\ge0$）とただ 1 通りに書けるので、その空間は Riemann–Rochの定理 の空間 $L(2K)$ と同型である。
種数 $g$ のコンパクトな Riemann 面の正則 2 次微分の空間の複素次元は、$g\ge2$ なら $3g-3$、$g=1$ なら $1$、$g=0$ なら $0$ である。
$\deg K=2g-2$ である（Riemann–Rochの定理 の系「Riemann–Rochの定理の帰結」の 2）。$g\ge2$ なら $\deg2K=4g-4>2g-2$ なので、同じ系の 3 から $\ell(2K)=(4g-4)+1-g=3g-3$ である。$g=1$ なら $\deg K=0$ かつ $\ell(K)=g=1$ なので、Riemann–Rochの定理 の補題「$\ell(D)$ の基本性質」の 4 により $K\sim0$、したがって $2K\sim0$ で $\ell(2K)=\ell(0)=1$ である。$g=0$ なら $\deg2K=-4<0$ なので同補題の 3 から $\ell(2K)=0$ である。$\square$
実次元にすると $6g-6$（$g\ge2$）、$2$（$g=1$）、$0$（$g=0$）であり、thm-teich-fenchel-nielsen、thm-teich-torus、ex-teich-sphere の $\mathcal{T}$ の次元と一致する。この一致は偶然ではなく、Teichmüller は 2 次微分を使って $\mathcal{T}(S_g)$ を座標づけた。
2 点 $[X,\varphi]$、$[Y,\psi]$ について、$\psi\varphi^{-1}$ とホモトピックな 擬等角写像 $h\colon X\to Y$ の最大のゆがみ $K(h)$ の下限を $K$ とし、$d_{\mathcal{T}}:=\frac12\log K$ を Teichmüller 距離 という（$\frac12$ を付けない流儀もある）。
$g\ge2$ とする。種数 $g$ の 2 つの閉 Riemann 面の間の向きを保つ同相写像の各ホモトピー類に、最大のゆがみが最小の擬等角写像（Teichmüller 写像）がただ 1 つあり、それは正則 2 次微分から定まる局所座標で $z\mapsto K\operatorname{Re}z+i\operatorname{Im}z$ の形のアフィン写像である。これから、$d_{\mathcal{T}}$ に関して任意の 2 点はただ 1 本の測地線で結ばれ、$\mathcal{T}(S_g)$ は $\mathbb{R}^{6g-6}$ と同相であることが従う。
Pap17 §8.2（pp. 46–48）による。存在は閉曲面について Teichmüller が示し、一意性はそれ以前の論文にある（同所）。2 次微分の空間が $3g-3$ 次元であることを Teichmüller が使ったことも同所（p. 49）にある。この記事では証明しない。
$\operatorname{Mod}(S_g)$ の $\mathcal{T}(S_g)$ への作用は真に不連続で、商が $\mathcal{M}_g$ である。$\mathcal{T}(S_g)$ は可縮なので、$\mathcal{M}_g$ は有理係数のホモロジーでは $\operatorname{Mod}(S_g)$ の分類空間のようにふるまう（Far06 §1.1、p. 3）。同所によれば、写像類群が有限位数の元をもつため $\mathcal{M}_g$ は多様体にならず、軌道体になる。Riemann が述べた「$3g-3$ 個のモジュライ」はパラメータの個数の勘定で、位相も複素構造もない段階のものだから、次元の計算とはいえない（Pap17 p. 44）。今の言葉では $\mathcal{M}_g$ の複素次元 $3g-3$ にあたる。
反例
印や種数の条件を外すと、次のことが起こる。
| 外す条件 | 例 | 起こること |
|---|---|---|
| 印を付ける | $\tau=2i$ と $\tau=i/2$ のトーラス | 同じ Riemann 面（$\mathcal{M}_1$ の同じ点）だが、$\mathcal{T}(T^2)$ の異なる 2 点 |
| 作用が忠実である | $T^2$ の写像類 $-I$ | $\mathcal{T}(T^2)$ のすべての点を固定する |
| 種数 $g\ge2$ | $S^2$ と $T^2$ | $\mathcal{T}$ の実次元は $0$ と $2$ で、$6g-6$（$-6$ と $0$）にならない |
1 行目：$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ の作用は $\tau\mapsto1/(-\tau)$ で、$2i$ を $i/2$ に写す。よって 2 点は同じ軌道にあり、prop-teich-action から同じ Riemann 面を表すが、thm-teich-torus の $\tau$ は全単射なので $\mathcal{T}(T^2)$ では異なる。2 行目：cor-teich-torus-moduli の 2 による。3 行目：ex-teich-sphere と thm-teich-torus による。正則 2 次微分の次元（prop-teich-quadratic）は $g\le1$ でも $\mathcal{T}$ の次元に合っており、$6g-6$ の式のほうが $g\ge2$ でしか使えない。
関連項目
- 前提: Riemann面, 一意化定理(Riemann面), 写像類群
- 比較: モジュライ空間, モジュラー群
- 直後に読む: 擬等角写像, 双曲幾何学
- 発展: Riemann–Rochの定理, Torelliの定理
参考文献
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