極小曲面(微分幾何学)

$p=f_u$、$q=f_v$、$W=\sqrt{1+p^2+q^2}$ とおく。$x_u=(1,0,p)$、$x_v=(0,1,q)$ から $E=1+p^2$、$F=pq$、$G=1+q^2$、$EG-F^2=W^2$、$\nu=(-p,-q,1)/W$ であり、$L=f_{uu}/W$、$M=f_{uv}/W$、$N=f_{vv}/W$ である。よって
$$ H=\frac{(1+p^2)f_{vv}-2pq\,f_{uv}+(1+q^2)f_{uu}}{2W^3} $$
で、$H=0$ は主張の式と同値である。$\square$

$\langle x_u,\nu\rangle=0$ と Gauss曲率 の命題「形作用素の自己随伴性」の証明の式 $\langle\nu_u,x_u\rangle=-L$、$\langle\nu_u,x_v\rangle=\langle\nu_v,x_u\rangle=-M$、$\langle\nu_v,x_v\rangle=-N$ から、$(\varphi\nu)_u=\varphi_u\nu+\varphi\nu_u$ について $\langle x_u,(\varphi\nu)_u\rangle=-\varphi L$ などとなる。よって
$$ E_t=E-2t\varphi L+O(t^2),\qquad F_t=F-2t\varphi M+O(t^2),\qquad G_t=G-2t\varphi N+O(t^2) $$
であり（$O(t^2)$ は $D$ の上で一様）
$$ E_tG_t-F_t^2=W^2-2t\varphi\,(EN-2FM+GL)+O(t^2)=W^2\,(1-4t\varphi H)+O(t^2) $$
である。$D$ はコンパクトなので $|t|$ が小さければ右辺は正で、$x_t$ は正則であり、$W_t=W(1-2t\varphi H)+O(t^2)$ である。被積分関数は $(t,u,v)$ について滑らかなので積分記号下で微分できて、主張を得る。$\square$

$H=0$ なら $A'(0)=0$ である。逆に $H(p)>0$ となる点 $p$ があれば、$H>0$ となる $p$ の近傍に台があり $p$ で正の $\varphi\ge0$ をとると、$A'(0)<0$ となる。$H(p)<0$ なら $\varphi\le0$ をとる。$\square$

1：$\phi\cdot\phi=|x_u|^2-|x_v|^2-2i\langle x_u,x_v\rangle=E-G-2iF=0$、$|\phi|^2=E+G=2\lambda^2$ である。成分 $\phi_k=\partial_ux_k-i\partial_vx_k$ の Cauchy–Riemann 方程式は $\partial_u\partial_ux_k=-\partial_v\partial_vx_k$ と $\partial_v\partial_ux_k=\partial_u\partial_vx_k$ で、後者はいつも成り立つ。よって $\phi$ が正則であることは $x$ の各成分が調和関数であることと同値で、等温座標 の命題「極小曲面の等温表示」によりこれは $H=0$ と同値である。
2：Cauchyの積分定理 の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」により各 $\phi_k$ は $D$ 上の原始関数 $\Phi_k$ をもち、積分は道によらず $\Phi_k(z)-\Phi_k(z_0)$ に等しい。$\Phi_k'=\phi_k$ と Cauchy–Riemann 方程式から $\partial_u\operatorname{Re}\Phi_k=\operatorname{Re}\phi_k$、$\partial_v\operatorname{Re}\Phi_k=-\operatorname{Im}\phi_k$ なので $x_u-ix_v=\phi$ である。1 の計算を逆にたどると $E=G=|\phi|^2/2>0$、$F=0$ であり、$x$ は正則で $(u,v)$ は等温座標である。$\phi$ は正則なので 1 により $x$ は極小曲面である。
3：$(\phi_1-i\phi_2)(\phi_1+i\phi_2)=\phi_1^2+\phi_2^2=-\phi_3^2$ から $\phi_1+i\phi_2=-fg^2$ である。これと $\phi_1-i\phi_2=f$ を $\phi_1,\phi_2$ について解くと主張の形になる。$|\phi|^2$ を直接計算して $\lambda^2$ を得る。$a=\operatorname{Re}\phi$、$b=\operatorname{Im}\phi$ とすると $x_u\times x_v=-a\times b=-\frac i2\,\phi\times\bar\phi$ であり、主張の $\phi$ を代入すると
$$ x_u\times x_v=\frac{|f|^2(1+|g|^2)}4\bigl(2\operatorname{Re}g,\ 2\operatorname{Im}g,\ |g|^2-1\bigr) $$
となる。この正の数で割って $\nu$ を得る。立体射影 $(X,Y,Z)\mapsto(X+iY)/(1-Z)$ で $1-Z=2/(|g|^2+1)$ なので、像は $g$ である。$\square$

$s=\sqrt{1+\rho'^2}$ とおく。$x_t=(\rho'\cos\theta,\rho'\sin\theta,1)$、$x_\theta=(-\rho\sin\theta,\rho\cos\theta,0)$ から $E=s^2$、$F=0$、$G=\rho^2$、$\nu=(-\cos\theta,-\sin\theta,\rho')/s$ で、$L=-\rho''/s$、$M=0$、$N=\rho/s$ である。よって
$$ H=\frac{EN+GL}{2EG}=\frac{\rho\,(1+\rho'^2-\rho\rho'')}{2s^3\rho^2} $$
で、$H=0$ は $\rho\rho''=1+\rho'^2$ と同値である。$\rho=c\cosh((t-t_0)/c)$ はこれを満たす。逆に $\rho\rho''=1+\rho'^2$ なら
$$ \frac d{dt}\,\frac{1+\rho'^2}{\rho^2}=\frac{2\rho'\bigl(\rho\rho''-(1+\rho'^2)\bigr)}{\rho^3}=0 $$
なので $1+\rho'^2=\rho^2/c^2$ となる定数 $c>0$ がある。1 点 $t_1\in I$ で $\rho(t_1)/c\ge1$ なので、$c\cosh((t_1-t_0)/c)=\rho(t_1)$ で $\sinh((t_1-t_0)/c)$ の符号が $\rho'(t_1)$ と同じになる $t_0$ がとれ、このとき 2 つの関数は $t_1$ で値と微分が等しい。方程式 $\rho''=(1+\rho'^2)/\rho$ （$\rho>0$ の範囲で右辺は滑らか）に 常微分方程式 の系「解の一意性」を当てると、$I$ 全体で一致する。$\square$

要点：極小曲面の方程式から、Hesse 行列が第 1 基本形式の $1/W$ 倍になる凸関数 $\Phi$ が作れる。$a\mapsto a+\nabla\Phi(a)$ は $\mathbb R^2$ の微分同相で、グラフの全体を覆う等温座標を与える。すると $\nu$ を立体射影した $g$ は全平面の上で $|g|>1$ を満たすので、Liouville の定理により定数である。