Artinの近似定理
概要
Artinの近似定理（Artin approximation theorem）とは、体または excellent な離散付値環の上の有限型の環の局所環の Hensel 化 $A$ では、係数が $A$ の多項式方程式系の完備化 $\hat A$ における解を、任意の精度で $A$ の中の解で近似できるという定理である。この性質（近似性質）をもつ Noether 局所環は Hensel 局所環である。解の点で Jacobi 行列の小行列式が可逆なら、近似は任意の Noether Hensel 局所環で成り立つ。
Artin の近似定理（Artin approximation theorem）は、多項式方程式系が形式的冪級数の解をもつとき、それを任意の精度で近似する「代数的な」解がとれることを述べる定理である。典型的な場合として、係数が多項式の方程式系 $f(y)=0$ が $k[\![x_1,\dots,x_n]\!]$ に解 $\hat y$ をもてば、どの次数 $c$ についても、$k(x_1,\dots,x_n)$ 上代数的な冪級数からなる解 $y$ で、$\hat y$ と $c$ 次未満の項まで一致するものがある。
形式的冪級数環のような完備局所環では、Newton 法（Henselの補題）によって方程式を解くことができる。しかし完備化は「大きすぎる」環で、そこで作った解は元の幾何的な対象の上には存在しないことが多い。Artin の定理は、局所環を完備化まで広げずに Hensel 化（Hensel局所環）にとどめておけば、完備化で得た解が近似の意味で元の環に降りてくることを保証する。
この記事で示すことは次のとおりである。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 近似性質とは | 完備化の中の解を、任意の精度で元の環の解で近似できること（def-aat-ap） |
| 何が必要か | 近似性質をもつ Noether 局所環は Hensel 局所環である（prop-aat-henselian） |
| どの環がもつか | 体または excellent な離散付値環の上の有限型の環の局所環の Hensel 化（thm-aat-main。この記事では証明しない） |
| 証明できる場合 | Jacobi 行列の小行列式が可逆な解は、どの Noether Hensel 局所環でも近似でき、未知数と方程式の数が等しければ解そのものが元の環に入る（thm-aat-smooth） |
| 何が破れるか | Hensel 性を外す、excellent 性を外す、などの反例（ex-aat-counter） |
定義
この記事では、環は可換で単位元をもつとする。$(A,\mathfrak m,k)$ を Noether 局所環とし、その $\mathfrak m$ 進完備化を $\hat A$ と書く。$\hat A$ は極大イデアル $\mathfrak m\hat A$、剰余体 $k$ の完備な Noether 局所環であり、次の 2 つの事実を使う。
- Krull の交叉定理により $\bigcap_n\mathfrak m^n=0$ なので、自然な写像 $A\to\hat A$ は単射である。これにより $A\subset\hat A$ とみなす。
- 各 $c\ge1$ について $A/\mathfrak m^c\to\hat A/\mathfrak m^c\hat A$ は同型である（完備化 の記事の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」）。とくに $\mathfrak m^c\hat A\cap A=\mathfrak m^c$ であり、$\hat A$ のどの元にも、$\mathfrak m^c\hat A$ を法として合同な $A$ の元がある。
$\hat A$ の元の組 $u,v\in\hat A^r$ について、各成分の差が $\mathfrak m^c\hat A$ に入ることを $u\equiv v\pmod{\mathfrak m^c\hat A}$ と書く。多項式の組 $f=(f_1,\dots,f_s)$、$f_i\in A[y_1,\dots,y_r]$ は、$A$ 代数 $B$ の元の組 $b\in B^r$ に値 $f(b)\in B^s$ をもつ。
Noether 局所環 $(A,\mathfrak m)$ が近似性質（approximation property）をもつとは、次が成り立つことをいう。任意の $r,s\ge1$、任意の多項式の組 $f=(f_1,\dots,f_s)$、$f_i\in A[y_1,\dots,y_r]$、$f(\hat y)=0$ をみたす任意の $\hat y\in\hat A^r$、任意の整数 $c\ge1$ に対し、
$$
f(y)=0,\qquad y\equiv\hat y\pmod{\mathfrak m^c\hat A}
$$
をみたす $y\in A^r$ が存在する。
$\hat y$ を $\mathfrak m^c\hat A$ を法として近似する $A$ の元の組はいつでもとれるが、それが $f(y)=0$ を厳密にみたすとは限らない。近似性質は、近似と厳密な解を同時に要求する。$\hat y$ 自身が $A^r$ に入ることは要求しない（ex-aat-not-equal）。
近似性質は Hensel 性を含む。
近似性質をもつ Noether 局所環は Hensel 局所環である。
$(A,\mathfrak m,k)$ を近似性質をもつ Noether 局所環とし、$g\in A[t]$ をモニック、$\alpha\in k$ を $\bar g$ の単根とする。$\hat A$ は完備な局所環なので Hensel 局所環であり（Hensel局所環 の定理「完備局所環は Hensel 局所環である」）、剰余体は $k$ なので、$g(\hat a)=0$ で $\hat a$ の剰余類が $\alpha$ となる $\hat a\in\hat A$ がある。近似性質を $r=s=1$、$f=g$、$\hat y=\hat a$、$c=1$ に当てはめると、$g(a)=0$ かつ $a\equiv\hat a\pmod{\mathfrak m\hat A}$ となる $a\in A$ がある。$a$ の剰余類は $\hat a$ の剰余類 $\alpha$ に等しい。よって $A$ は Hensel 局所環である。$\square$
Artin の定理
近似性質をもつ環は Hensel 局所環に限られるので、問題は Hensel 性にどんな条件を加えれば近似性質が従うかである。M. Artin は 1968 年に収束冪級数環について、1969 年に次の代数的な場合について答えた。
$R$ を体または excellent な離散付値環とし、$A$ を $R$ 上有限型の環の素イデアルでの局所化の Hensel 化とする。このとき $A$ は近似性質をもつ。
この記事では証明しない（Art69 Theorem (1.10), p. 26）。原論文は $\mathfrak m$ の代わりに $A$ の任意の真のイデアル $I$ をとり、$I$ 進完備化の解を $I^c$ を法として近似する形で述べている。
たとえば次の環は近似性質をもつ。
- 体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ の原点での局所化の Hensel 化 $k\langle x_1,\dots,x_n\rangle$。$n=1$ では、これは $k[\![x]\!]$ の元で $k(x)$ 上代数的なものの全体（代数的冪級数環）に等しい（Hensel局所環 の例「Hensel 化として得られるもの」の 1）。一般の $n$ でも、$k\langle x_1,\dots,x_n\rangle$ の元は $k(x_1,\dots,x_n)$ 上代数的である（Art69 p. 44。この記事では証明しない）。
- $k$ 上有限型のスキーム $X$ の点 $x$ の局所環の Hensel 化 $\mathcal O_{X,x}^{h}$。
収束冪級数環 $\mathbb C\{x_1,\dots,x_n\}$ が近似性質をもつこと、すなわち解析的な方程式系の形式解が収束冪級数の解で近似できることは、Artin の 1968 年の定理である（Greenberg近似定理 の注意「Artin の定理の出典と読み方」）。証明の筋は、冪級数環の変数 $x_1,\dots,x_n$ の個数 $n$ についての帰納法で、Weierstrass の予備定理（Weierstrassの予備定理）を使って形式解を少しずつ元の環の解に置き換えていくものである。最終的な一般化は Popescu の定理で、Noether Hensel 局所環 $A$ が excellent（より一般に $A\to\hat A$ が正則準同型）なら $A$ は近似性質をもつ（Greenberg近似定理 の定理「Popescu の定理と近似性質」）。
Jacobi 行列が可逆な場合
Artin の定理の難しさは、解 $\hat y$ の点で方程式系が「特異」な場合にある。Jacobi 行列の小行列式が可逆な場合には、Hensel 性だけで近似が得られる。これを記事の中で完全に証明する。
多項式の組 $f=(f_1,\dots,f_s)$、$f_i\in A[y_1,\dots,y_r]$ に対し、$s\times r$ 行列 $J_f:=(\partial f_i/\partial y_j)_{i,j}$ を Jacobi 行列という。$s\le r$ のとき、最初の $s$ 個の未知数についての小行列式を $\Delta_f:=\det(\partial f_i/\partial y_j)_{1\le i,j\le s}$ と書く。
$(B,\mathfrak n)$ を局所環、$g=(g_1,\dots,g_s)$、$g_i\in B[y_1,\dots,y_s]$ とし、$v,w\in B^s$ が $w\equiv v\pmod{\mathfrak n}$ と $\det J_g(v)\in B^\times$ をみたすとする。このとき $B$ に成分をもつ可逆な $s\times s$ 行列 $M$ で
$$
g(w)-g(v)=M\,(w-v)
$$
となるものがある。とくに、$B$ のイデアル $I$ について $g(w)-g(v)\in I^{\oplus s}$ ならば $w-v\in I^{\oplus s}$ であり、$g(v)=g(w)=0$ ならば $v=w$ である。
多項式 $h\in B[y_1,\dots,y_s]$ について、$B[y,z]$（$z=(z_1,\dots,z_s)$）の中で
$$
h(y+z)=h(y)+\sum_{j=1}^s\frac{\partial h}{\partial y_j}(y)\,z_j+\sum_{j,l=1}^s z_jz_l\,h_{jl}(y,z)
$$
となる多項式 $h_{jl}\in B[y,z]$ がある（単項式の場合に 2 項展開で確かめ、線形性で一般の $h$ に広げる）。$y=v$、$z=w-v$ を代入し、$h=g_i$ とすると
$$
g_i(w)-g_i(v)=\sum_{j=1}^s\Bigl(\frac{\partial g_i}{\partial y_j}(v)+\sum_{l=1}^s(w_l-v_l)\,g_{i,jl}(v,w-v)\Bigr)(w_j-v_j)
$$
である。括弧の中を $(i,j)$ 成分とする行列を $M$ とおく。$w_l-v_l\in\mathfrak n$ なので $M\equiv J_g(v)\pmod{\mathfrak n}$ であり、$\det M\equiv\det J_g(v)\pmod{\mathfrak n}$ は単元と $\mathfrak n$ の元の和、すなわち単元である。よって $M$ は可逆で、$w-v=M^{-1}(g(w)-g(v))$ となる。$M^{-1}$ の成分は $B$ に入るので、右辺の成分が $I$ に入れば左辺の成分も $I$ に入る。$I=0$ の場合が最後の主張である。$\square$
$(A,\mathfrak m,k)$ を Noether Hensel 局所環、$s\le r$、$f=(f_1,\dots,f_s)$、$f_i\in A[y_1,\dots,y_r]$ とし、$\hat y\in\hat A^r$ が $f(\hat y)=0$ と $\Delta_f(\hat y)\in\hat A^\times$ をみたすとする。
- 任意の $c\ge1$ に対し、$f(y)=0$ かつ $y\equiv\hat y\pmod{\mathfrak m^c\hat A}$ をみたす $y\in A^r$ がある。
- $s=r$ なら $\hat y\in A^r$ である。
$\hat y=(\hat y',\hat y'')$、$\hat y'\in\hat A^s$、$\hat y''\in\hat A^{r-s}$ と分ける（$s=r$ なら $\hat y''$ はない）。
1．$c\ge1$ を与える。$A/\mathfrak m^c\cong\hat A/\mathfrak m^c\hat A$ により、$z\equiv\hat y''\pmod{\mathfrak m^c\hat A}$ をみたす $z\in A^{r-s}$ がとれる。$s$ 個の未知数 $y'=(y_1,\dots,y_s)$ の多項式の組 $g(y'):=f(y',z)\in A[y']^s$ を考える。$J_g(y')$ は $(\partial f_i/\partial y_j)(y',z)$（$1\le i,j\le s$）なので $\det J_g(y')=\Delta_f(y',z)$ である。多項式の値は合同と両立するので、$\hat A$ の中で
$$
g(\hat y')=f(\hat y',z)\equiv f(\hat y',\hat y'')=0,\qquad \det J_g(\hat y')\equiv\Delta_f(\hat y)\pmod{\mathfrak m^c\hat A}
$$
であり、$c\ge1$ なので $\det J_g(\hat y')$ は $\hat A$ の単元である。
$\hat y'$ の剰余類を $\alpha\in k^s$ とする（$\hat A/\mathfrak m\hat A=k$）。上の合同式を $\mathfrak m\hat A$ を法として読むと、$\bar g(\alpha)=0$ かつ $\det J_{\bar g}(\alpha)\ne0$ である。$A$ は Hensel 局所環なので、多変数の Hensel の補題（Hensel局所環 の注意「多変数の Hensel の補題」）により、$g(y')=0$ で剰余類が $\alpha$ となる $y'\in A^s$ がある。$A\subset\hat A$ とみると $y'\equiv\hat y'\pmod{\mathfrak m\hat A}$ である。
lem-aat-difference を $B=\hat A$、$v=\hat y'$、$w=y'$、$I=\mathfrak m^c\hat A$ に当てはめる。$g(y')-g(\hat y')=-g(\hat y')$ の成分は $\mathfrak m^c\hat A$ に入るので、$y'\equiv\hat y'\pmod{\mathfrak m^c\hat A}$ である。$y:=(y',z)\in A^r$ とおけば、$f(y)=g(y')=0$ かつ $y\equiv\hat y\pmod{\mathfrak m^c\hat A}$ である。
2．$s=r$ のときは $g=f$、$y'$ は $f(y')=0$ と $y'\equiv\hat y\pmod{\mathfrak m\hat A}$ をみたす $A^r$ の元である。$f(\hat y)=0$ でもあるので、lem-aat-difference の最後の主張（$B=\hat A$）により $y'=\hat y$ である。よって $\hat y\in A^r$ である。$\square$
この定理は excellent 性を使っていない。下の反例の表の 2 行目で excellent 性を外して近似が破れる方程式 $y^p-\sigma^p=0$ は、Jacobi 行列 $(py^{p-1})=(0)$ が可逆でない、特異な方程式である。逆に Artin の定理の内容は、特異な方程式系（$J_f(\hat y)$ の階数が落ちる場合や、未知数の個数より方程式が多い場合）にも近似が及ぶことにある。
例
$k=\mathbb Q$、$A=k\langle t\rangle$（$k[t]_{(t)}$ の Hensel 化、$\hat A=k[\![t]\!]$）とし、未知数 2 個・方程式 1 個の $f(y_1,y_2)=y_1-ty_2$ を考える。
- $A$ は可算集合である。$A$ の元は $k(t)$ 上代数的で、可算体 $k(t)$ 上の $0$ でない多項式は可算個しかなく、そのおのおのは整域 $k[\![t]\!]$ に有限個の根しかもたないからである。一方 $k[\![t]\!]$ は非可算なので、$\hat e\in k[\![t]\!]\setminus A$ がとれる。
- $\hat y:=(t\hat e,\hat e)$ は $f(\hat y)=0$ をみたすが、$\hat y\notin A^2$ である。
- 一方 $\partial f/\partial y_1=1$ は単元なので、thm-aat-smooth の 1 が当てはまる。実際、$\hat e$ の $c$ 次未満の部分和 $e_c\in k[t]\subset A$ をとれば、$y=(te_c,e_c)$ は $f(y)=0$、$y\equiv\hat y\pmod{t^c}$ をみたす。
満たす性質は「$A$ が近似性質をもつ」こと、満たさない性質は「$\hat A$ の解がそのまま $A$ に入る」ことである。近似性質は解の一致を主張しない。thm-aat-smooth の 2 で解そのものが $A$ に入ったのは、未知数と方程式の個数が等しかったからである。
$k$ を標数 $2$ でない体、$F:=y^2-x^2(1+x)\in k[x,y]$ とし、平面 3 次曲線 $F=0$ の原点での局所環 $\mathcal O:=(k[x,y]/(F))_{(x,y)}$ と、その Hensel 化 $\mathcal O^{h}$ を考える。
- $\mathcal O$ は整域である。$F$ が $k[x,y]$ で既約であることを示せばよい。$F$ は $y$ についてモニックな 2 次式で、$y$ を含まない因子をもたないから、分解するなら $(y-a(x))(y+a(x))$ で $a(x)^2=x^2(1+x)$、$a\in k[x]$ となる。すると $(a/x)^2=1+x$ となり、両辺の次数を比べると $2\deg(a/x)=1$ で矛盾する。よって $F$ は既約で、$k[x,y]/(F)$ とその局所化 $\mathcal O$ は整域である。
- $\mathcal O^h$ は整域でない。$t^2-(1+x)\in\mathcal O^h[t]$ はモニックで、剰余体では $t^2-1$ となり単根 $1$ をもつ（標数 $\ne2$）。$\mathcal O^h$ は Hensel 局所環なので、$\sigma^2=1+x$ をみたす $\sigma\in\mathcal O^h$ がある。$u:=y-x\sigma$、$v:=y+x\sigma$ とおくと $uv=y^2-x^2(1+x)=0$ である。$u\ne0$、$v\ne0$ を示す。$\mathcal O$ は Noether 局所環なので $\mathcal O^h$ は $\mathcal O$ の完備化 $\hat{\mathcal O}$ に含まれ（Hensel局所環 の節「Hensel 化」）、完備化は剰余環と両立するので $\hat{\mathcal O}=k[\![x,y]\!]/(F)$ である（完備化 の記事の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」）。$k[\![x,y]\!]$ の中で $F=uv$ であり、$u\in(F)$ なら $u=uvh$ から $1=vh$ となるが、$v\in(x,y)$ は単元でないので矛盾する。よって $u\ne0$ で、$v$ も同様である。
Zariski 局所環 $\mathcal O$ の中では、原点を通る 2 本の枝 $y=\pm x\sqrt{1+x}$ は分かれないが、Hensel 化の中では $u=0$ と $v=0$ に分かれる。さらに $u\equiv y-x$、$v\equiv y+x\pmod{(x,y)^2}$ の 1 次の部分は標数 $\ne2$ で 1 次独立なので、形式的な座標変換により $k[\![x,y]\!]=k[\![u,v]\!]$ であり、$\hat{\mathcal O}\cong k[\![u,v]\!]/(uv)$ となる（この記事では座標変換の存在を証明しない）。これは 2 直線 $uv=0$ の交点の局所環の完備化であり、rem-aat-consequences によれば節点と 2 直線の交点はエタール局所的に同型である。
反例：条件を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-aat-main・thm-aat-smooth の「Hensel」 | $A=k[t]_{(t)}$（$k$ の標数 $\ne2$）、$y^2-(1+t)=0$ | 完備化に解があるのに $A$ に解がない |
| Popescu の定理の「excellent」 | excellent でない Hensel 離散付値環、$y^p-\sigma^p=0$ | 完備化に解があるのに $A$ に解がない |
| thm-aat-smooth の 2 の「$s=r$」 | ex-aat-not-equal（$s=1$、$r=2$） | 完備化の解そのものは $A$ に入らない |
1 行目．$A=k[t]_{(t)}$ は体上有限型の環の局所化（Hensel 化する前の環）で、完備化は $k[\![t]\!]$ である。$\partial/\partial y\,(y^2-1-t)=2y$ は $y\equiv1$ で単元なので、Hensel局所環 の定理「完備局所環は Hensel 局所環である」により $k[\![t]\!]$ に解 $\hat y=\sqrt{1+t}\equiv1\pmod t$ がある。しかし $A\subset k(t)$ に解はない。解 $p/q$（$p,q\in k[t]$、$q\ne0$）があれば $p^2=(1+t)q^2$ で、次数を比べると $2\deg p=1+2\deg q$ となり偶奇が合わないからである。よって近似性質の $c=1$ の場合すら成り立たない。満たす性質は「Noether 局所環で、excellent（体上有限型の環の局所化）」、満たさない性質は Hensel 性であり、破る含意は「excellent な Noether 局所環は近似性質をもつ」である（prop-aat-henselian からもわかる）。$A$ を Hensel 化 $k\langle t\rangle$ に取り替えると、$\sqrt{1+t}$ は $k(t)$ 上代数的なので $k\langle t\rangle$ に入る。
2 行目．標数 $p$ の Hensel 離散付値環 $R$ で、完備化 $\hat R=\mathbb F_p[\![t]\!]$ の元 $\sigma\notin R$ について $\sigma^p\in R$ となるものが構成できる（Greenberg近似定理 の例「反例：excellent でない Hensel 離散付値環での破綻」。Artin も原論文の p. 26 でこの種の環に触れている）。$y^p-\sigma^p=0$ は $\hat R$ に解 $\sigma$ をもつが、$R$ の解 $y$ は $(y-\sigma)^p=0$ から $y=\sigma\notin R$ となって存在しない。満たす性質は Hensel 局所環（しかも離散付値環）であること、満たさない性質は excellent 性であり、破る含意は「Noether Hensel 局所環は近似性質をもつ」である。
3 行目．ex-aat-not-equal のとおりである。
帰結と補足
$R_0$ を体または excellent な離散付値環とし、$X,Y$ を $R_0$ 上有限型のスキーム、$x\in X$、$y\in Y$ を点とする。完備局所環が $R_0$ 代数として同型 $\hat{\mathcal O}_{X,x}\cong\hat{\mathcal O}_{Y,y}$ ならば、$x$ と $y$ はエタール局所的に同型である。すなわち、共通のエタール近傍 $(X',x')$ と、エタール射 $X'\to X$、$X'\to Y$ で $x'$ をそれぞれ $x$、$y$ に写し、剰余体の同型を引き起こすものがある（Art69 Corollary (2.6), p. 28。この記事では証明しない）。証明は、完備局所環の同型を有限表示の対象とみて Artin の定理の関手版（Art69 Theorem (1.12), p. 26）で近似し、$\mathfrak m^2$ を法として同型と一致する射が同型を引き起こすことを使う。代数多様体の点については 解析的同型(代数幾何学) の命題「エタール局所的な同型との関係」がこの言い換えを述べている。
- 底が離散付値環の場合．底が excellent な Hensel 離散付値環のときは、近似解から真の解を作るときの精度が 1 次式で評価できる（Greenberg の定理。Greenberg近似定理）。Artin の定理は、底を高い次元の局所環に広げ、そのかわり精度の評価を手放したものと見ることができる。
- 完備化で作った対象の引き戻し．Artin の定理の関手版は、方程式の解に限らず、有限表示の代数・加群・それらの間の射など、完備化の上で作った対象を Hensel 化の上の対象で近似することを許す。Brauer群 やエタール被覆（エタール射）の理論で、形式的な構成を代数的な対象に引き戻す道具として使われる（Greenberg近似定理 の節「応用」）。
関連項目
- 前提: Hensel局所環, 完備局所環, 完備化, Henselの補題
- 比較: Greenberg近似定理, Weierstrassの予備定理
- 例: 解析的同型(代数幾何学), 形式的冪級数
- 発展: Brauer群, エタール射
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
