準有限射

前提知識: スキーム, 有限型射, ファイバー

「有限」の手前にある条件

幾何的な写像を調べるとき、ある点の上に点が何個あるかは最初に見える情報である。ところが「各点の上に有限個しかない」というだけでは、スキームの射に十分な制約を与えない。射が有限型であることも要求したものが、準有限射（quasi-finite morphism）である。有限射なら準有限射だが、準有限射では座標環が基底上の有限生成加群になるとは限らない。開集合の包含は、その差を示す基本例になる。
この記事では、ファイバーを位相空間として数える定義と、各点で孤立しているという局所的な定義を区別する。さらに「局所準有限」と「準有限」の差が準コンパクト性にあることを確かめる。ここで数えるのはファイバーの点であって、環の長さや重複度ではない。二重根を持つファイバーも、点が一つなら点数は一つである。

ファイバーと定義

スキームの射 $f\colon X\to S$ と $s\in S$ に対し、$s$ 上のファイバーは
$$ X_s=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s) $$
である。$\kappa(s)$ は $s$ の剰余体を表す。$\operatorname{Spec}\kappa(s)$ は一点だが、$X_s$ のスキーム構造には冪零元が残りうる。点集合としての $X_s$ は、$f(x)=s$ を満たす $x\in X$ の集合と自然に対応する。

この定義は StacksQF Definition 29.21.1 の点ごとの定義と同値である。そこでの「$f$ が $x\in X$ で準有限」は、$f$ が $x$ で局所有限型であり、$x$ がファイバー $X_{f(x)}$ の孤立点であるという意味である。すべての点でこの条件が成り立つ射を局所準有限射という。準有限射には、これに加えて射全体の準コンパクト性が必要になる。空のファイバーも有限と数えるので、射が全射である必要はない。

三番目を冒頭の定義に採用した。一番目は「各点がそのファイバーで孤立している」をそのまま言い換えたものだが、離散と有限は同じではない。二番目で準コンパクト性を忘れると、無限個の点を持つ離散ファイバーを誤って準有限と呼ぶことになる。これらの同値は StacksQF Lemmas 29.21.8–10 による。
ここで Jacobson 性を使う箇所は重要である。一般の有限な位相空間は離散とは限らない。スキームの有限型ファイバーという仮定があるから、有限点集合から孤立性を結論できる。逆に、有限型を外して「点数だけ有限」としても、準有限性は出ない。

有限射との関係

有限射では、アフィン開 $V=\operatorname{Spec}A\subset S$ の逆像が $\operatorname{Spec}B$ となり、$B$ が $A$ 加群として有限生成である。準有限射では、この加群としての有限生成性を直接要求しない。有限射から準有限射への含意は環で証明できる。

この証明はファイバー環に冪零元がないとは言っていない。たとえば $k$ を体とし、$k[t]\to k[u]$, $t\mapsto u^2$ に対応する射
$$ \operatorname{Spec}k[u]\longrightarrow\operatorname{Spec}k[t] $$
は有限射である。$t=0$ 上のファイバーは $\operatorname{Spec}k[u]/(u^2)$ で、一点だが非被約である。「準有限」の有限は重複度を無視した点数に関する。零点の重複度まで一定という意味ではない。
有限射は固有射でもある。これに対し、準有限射は一般には閉写像にも固有射にもならない。有限射と準有限射の境界を示すのが、次の開埋め込みである。

開埋め込みとの関係

開埋め込み $j\colon U\hookrightarrow S$ の各ファイバーは空集合または一点である。また開埋め込みは局所的に同型なので局所有限型である。従って開埋め込みは必ず局所準有限である。ただし射 $j$ が準コンパクトでない場合、$j$ は準有限にならない。

たとえば $S=\operatorname{Spec}k[t]$ と $U=D(t)$ を取る。$U=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ はアフィンで準コンパクトだから、$U\hookrightarrow S$ は準有限射である。しかし像 $D(t)$ は $S$ の閉集合ではない。有限射は閉写像なので、この開埋め込みは有限射ではない。環でも $k[t,t^{-1}]$ は $k[t]$ 加群として有限生成ではない。もしそうなら $t^{-1}$ は $k[t]$ 上整となるが、$t^{-1}$ のモニック整方程式に十分な $t$ の冪を掛けると $1$ が $(t)$ に入るという矛盾が生じる。
局所準有限と準有限の差を目で見るには、無限個の変数を使える。$A=k[x_1,x_2,\ldots]$ とし、$\mathfrak m=(x_1,x_2,\ldots)$ と置く。$A/\mathfrak m=k$ だから $\mathfrak m$ は閉点である。その補集合
$$ U=\operatorname{Spec}A\setminus\{\mathfrak m\} =\bigcup_{i\geq1}D(x_i) $$
から $\operatorname{Spec}A$ への開埋め込みを考える。この射の各ファイバーは空または一点で、局所準有限である。しかし $U$ は準コンパクトではない。実際、有限個の $D(x_i)$ を選んでも、選ばれた変数が生成する素イデアル $\mathfrak p$ は $\mathfrak m$ とは異なり、$\mathfrak p\in U$ だが選んだどの $D(x_i)$ にも入らない。よって上の開被覆は有限部分被覆を持たない。この射は準有限ではない。
「各ファイバーが有限」という条件だけでも不足する。$\operatorname{Spec}k(t)\to\operatorname{Spec}k$ のファイバーは一点だが、$k(t)$ は $k$ 上有限生成代数ではない。もし体 $k(t)$ が $k$ 上有限生成代数なら Zariski の補題により $k$ 上有限次代数拡大となるが、$t$ は超越的である。この射は有限型でなく、準有限ではない。

アフィン環での判定

アフィンな射 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ では、ファイバーを環で直接調べられる。$A\to B$ が有限型で、$\mathfrak p\in\operatorname{Spec}A$ なら、$\mathfrak p$ 上のファイバーは
$$ \operatorname{Spec}\bigl(B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)\bigr) $$
である。この環は体 $\kappa(\mathfrak p)$ 上の有限型代数である。したがって射が準有限かを調べるには、すべての $\mathfrak p$ についてこの環のスペクトルが有限点集合であるかを見ればよい。さらに有限型の体上代数に限れば、これはファイバー環が体上有限次元であることと同値になる。

この環判定は StacksAffineQF Lemma 10.122.5 に対応する。
たとえば $A=k[t]$, $B=k[u]$, $t\mapsto u^2$ なら、すべてのファイバー環は高々二次元の $\kappa(\mathfrak p)$ ベクトル空間である。$D(t)\hookrightarrow\operatorname{Spec}k[t]$ なら $B=k[t,t^{-1}]$ であり、$t\in\mathfrak p$ の上ではファイバー環が零環、$t\notin\mathfrak p$ の上では $\kappa(\mathfrak p)$ になる。ファイバー環が零環の場合、対応するファイバーは空である。どちらも有限次元で、準有限性と一致する。
この判定には $B$ が $A$ 代数として有限生成であるという仮定が必要である。単に各ファイバー環が有限次元という条件を取り出すと、前述の $k\to k(t)$ も一つのファイバーが一次元になるため誤判定する。反対に、$B$ 自身が $A$ 加群として有限生成である必要はない。$k[t,t^{-1}]$ の例ではファイバー環はすべて有限次元だが、$B$ は $A$ 上有限生成加群ではなかった。

点で見る条件

$x\in X$ と $s=f(x)$ を固定する。局所準有限性は「$x$ が $X_s$ で孤立している」と言えるが、「$x$ が $X$ 全体で孤立している」という意味ではない。たとえば $D(t)\hookrightarrow\operatorname{Spec}k[t]$ の各ファイバーは高々一点でも、$D(t)$ 自体は多数の点を持つ。
局所有限型の射については、$x$ が $X_s$ で孤立しているとき、$\kappa(x)/\kappa(s)$ は有限拡大である。これに対して剰余体拡大の有限性だけでは、準有限性を判定できない。たとえば構造射
$$ \mathbb A^1_k=\operatorname{Spec}k[t]\longrightarrow\operatorname{Spec}k $$
で、閉点 $x=(t)$ の剰余体は $\kappa(x)=k$ である。しかし唯一のファイバーは $\mathbb A^1_k$ 全体で、$x$ は孤立していない。従って射は $x$ で準有限ではない。

この表の「有限型」は射全体の条件である。開埋め込みはどれも局所有限型だが、非準コンパクトなものは有限型にならない。さらに、ファイバーが一点でも、そのスキーム構造が非被約であったり、その剰余体が基底の剰余体と異なったりする。

底変換、合成、固有性

準有限射の定義は、合成と底変換に対して安定である。基底を $S'\to S$ で置き換えたとき、$X\times_SS'\to S'$ は有限型を保つ。各新しいファイバーは元のファイバーを体拡大したもので、有限型の零次元スキームという性質が保たれるため、点集合は有限のままである。合成も準有限である。これらの一般的な主張は Stacks Project, Section 29.21, Lemmas 29.21.12–13 にまとめられている。
ここで「点集合が有限だから底変換後も自明に同じ個数」と考えてはいけない。体拡大によって一つの点が複数の点に分かれることがある。たとえば有限次の分離拡大 $L/k$ に対する $\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}k$ は一点のファイバーを持つが、代数閉包への底変換後には複数の点になる。それでも有限個であるという性質は残る。

上の $D(t)$ の例は準有限だが固有でないため、有限射に昇格しない。固有性は単なる点数の制限だけでは得られない、像の閉性や分離性を補っている。
この定理は有限型と準コンパクトの区別にも役立つ。固有射は有限型だから、局所準有限性を加えれば、準有限性に必要な大域的条件も満たす。一方、一般の局所準有限射に固有性を仮定せず「有限」と結論することはできない。

関連する射との見取り図

有限射、準有限射、開埋め込みの間には
$$ \text{有限射}\ \Longrightarrow\ \text{準有限射} $$
があり、準コンパクトな開埋め込みも準有限射になる。ただし二つの出発点は性質が違う。有限射は加群としての有限性を持ち、閉写像かつ固有射である。開埋め込みは局所的な同型だが、像が閉じるとは限らない。準有限射は「有限型で、どの点の上にも有限個の点しかない」という共通部分を取り出す概念である。
エタール射は局所準有限だが、射全体が準コンパクトでなければ準有限とは限らない。たとえば無限個の $\operatorname{Spec}k$ の直和から $\operatorname{Spec}k$ への射はエタールで、その唯一のファイバーは無限離散集合である。エタールで有限型なら準有限になる。また、準有限であることは一般には分離性を含まない。分離性を追加する定理では、その仮定を明記して使う必要がある。
最後に、点数と次数を混同しないようにしたい。$u\mapsto u^2$ の例では原点の上に一つの点があるが、ファイバー環 $k[u]/(u^2)$ の $k$ ベクトル空間としての次元は $2$ である。準有限性は前者を制限する。一様な次数、平坦性、エタール性などは別の条件であり、必要な場面ごとに追加する。

反例：条件を外すと崩れること

準有限射の定義と本文の命題の条件を一つずつ外した反例を、表にまとめる。

各行の確認は次のとおりである。

• 有限型を外す：本文のとおり唯一のファイバーは一点だが、Zariski の補題により $k(t)$ は有限生成 $k$ 代数でなく、射は有限型でない。
• 準コンパクトを外す：各 $\operatorname{Spec}k$ の成分は開で、射はそこで同型なので局所有限型で、ファイバー（射そのもの）の各点は孤立している。よって局所準有限（実際エタール）だが、唯一のファイバーは無限離散集合で有限でない。直和が無限個なので $X$ は準コンパクトでなく、prf-qf-finite-fibers の「一点集合の開被覆から有限部分被覆」が取れない。
• 局所有限型を外す：$k[\![t]\!]$ の素イデアルは $0$ と $(t)$ だけなので、ファイバー $\operatorname{Spec}k[\![t]\!]$ は二点である。$\{(0)\}=D(t)$ は開だが、$\{(t)\}$ は開でない（補集合 $\{(0)\}$ は閉包が全体なので閉でない）。よって閉点 $(t)$ は孤立しておらず、ファイバーは有限だが離散でない。$k[\![t]\!]$ は有限生成 $k$ 代数でない（有限生成なら Jacobson 環で、局所環なら唯一の極大イデアルがすべての素イデアルの交わりとなって次元 $0$ になるが、$\dim k[\![t]\!]=1$）。prf-qf-finite-fibers の Jacobson 性の段が使えない。
• 固有性を外す：本文のとおり $D(t)\hookrightarrow\operatorname{Spec}k[t]$ は準有限だが、像 $D(t)$ が閉でないので有限射でない（有限射は閉写像）。
• 準有限性を外す：$\mathbb P^1_k\to\operatorname{Spec}k$ は固有射だが、唯一のファイバー $\mathbb P^1_k$ は無限個の閉点をもつので準有限でない。有限射なら $\Gamma(\mathbb P^1_k,\mathcal O)=k$ 上有限生成な環のスペクトル、すなわち有限個の点になるはずなので、有限射でもない。
• 点数は重複度を測らない：prf-finite-implies-quasi-finite の後の例のとおり、$t=0$ 上のファイバー $\operatorname{Spec}k[u]/(u^2)$ は一点だが非被約である。有限射・準有限射の条件はファイバーの被約性を含まない。

関連項目

• 前提: スキーム, ファイバー, 有限型射
• 比較: 有限射, 開埋め込み, 固有射
• 続けて読む: エタール射, 底変換