連接層

1. 各点の近傍 $U$ で全射 $\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U$ をとると、合成 $\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U\to v(\mathcal{F})|_U$ は茎で全射である。
2. $\mathcal{G}$ は仮定により有限型である。開集合 $U$ と射 $u\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{G}|_U$ に対し、包含 $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ との合成 $u'\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U$ は $u$ と同じ核をもつ。$\mathcal{F}$ の連接性から $\ker u=\ker u'$ は有限型である。
3. 2 個の場合を示せばよい。$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2$ が連接なら、thm-coherent-sheaf-closure を分裂完全列 $0\to\mathcal{F}_1\to\mathcal{F}_1\oplus\mathcal{F}_2\to\mathcal{F}_2\to0$ に適用すればよい。その証明（場合 1）は本補題の 1 だけを使うので循環しない。$\square$

層の射が全射であることと、切断が局所的に持ち上がることが同値であることを繰り返し使う。条件はすべて局所的なので、必要に応じて開集合を縮める。
場合 1：$\mathcal{F}'$ と $\mathcal{F}''$ が連接ならば $\mathcal{F}$ は連接である。
有限型であること：点 $x$ の近傍 $U$ で、$\mathcal{F}''|_U$ の生成元 $s_1,\dots,s_p\in\mathcal{F}''(U)$ と $\mathcal{F}'|_U$ の生成元 $r_1,\dots,r_q\in\mathcal{F}'(U)$ をとる。$\beta$ は全射なので、$U$ を縮めて各 $s_i$ を $t_i\in\mathcal{F}(U)$ に持ち上げられる。各点 $y\in U$ で $\mathcal{F}'_y\to\mathcal{F}_y\to\mathcal{F}''_y\to0$ は完全だから、$m\in\mathcal{F}_y$ に対し $\beta(m)=\sum a_is_i$ と書け、$m-\sum a_it_i$ は $\beta$ で $0$ に写るので $\alpha(r_j)$ の芽の一次結合である。よって $t_1,\dots,t_p,\alpha(r_1),\dots,\alpha(r_q)$ は $\mathcal{F}|_U$ を生成する。
核の条件：開集合 $U$ と $u\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U$ をとる。$v:=\beta\circ u$ の核 $\mathcal{K}$ は $\mathcal{F}''$ の連接性により有限型なので、点 $x\in U$ の近傍 $V$ で全射 $\pi\colon\mathcal{O}_V^{\oplus m}\to\mathcal{K}|_V$ がとれる。合成 $w\colon\mathcal{O}_V^{\oplus m}\xrightarrow{\pi}\mathcal{K}|_V\subset\mathcal{O}_V^{\oplus n}\xrightarrow{u}\mathcal{F}|_V$ は $\beta\circ w=v\circ\pi=0$ をみたすので、その像は $\ker\beta=\alpha(\mathcal{F}')$ に含まれ、$\alpha$ が単射だから $\alpha\circ w'=w$ となる $w'\colon\mathcal{O}_V^{\oplus m}\to\mathcal{F}'|_V$ が定まる。$\mathcal{F}'$ の連接性により $\ker w'=\ker w$ は有限型である。ここで $\ker(u|_V)=\pi(\ker w)$ である。実際 $\pi(\ker w)\subset\ker u$ は $u\circ\pi=w$ から明らかであり、逆に $s$ を $\ker u$ の局所切断とすると $v(s)=0$ なので $s$ は $\mathcal{K}$ の切断であり、$\pi$ の全射性により局所的に $s=\pi(t)$ と書け、$w(t)=u(s)=0$ だから $t$ は $\ker w$ の切断である。よって $\ker(u|_V)$ は有限型の層 $\ker w$ の像として有限型（lem-coherent-sheaf-image の 1）であり、このような $V$ は $U$ を被覆するので $\ker u$ は有限型である。
場合 2：$\mathcal{F}$ と $\mathcal{F}''$ が連接ならば $\mathcal{F}'$ は連接である。
$\alpha$ により $\mathcal{F}'=\ker\beta\subset\mathcal{F}$ とみなす。lem-coherent-sheaf-image の 2 により、$\mathcal{F}'$ が有限型であることを示せばよい。点 $x$ の近傍 $U$ で全射 $u\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U$ をとると、$\mathcal{K}:=\ker(\beta\circ u)$ は $\mathcal{F}''$ の連接性により有限型である。$u(\mathcal{K})\subset\ker\beta=\mathcal{F}'$ は明らかであり、逆に $\mathcal{F}'|_U$ の局所切断 $s$ は $u$ の全射性により局所的に $s=u(t)$ と書け、$\beta(u(t))=\beta(s)=0$ だから $t$ は $\mathcal{K}$ の切断である。よって $\mathcal{F}'|_U=u(\mathcal{K})$ は有限型の層の像として有限型である。
場合 3：$\mathcal{F}'$ と $\mathcal{F}$ が連接ならば $\mathcal{F}''$ は連接である。
$\mathcal{F}''$ は有限型の層 $\mathcal{F}$ の商なので有限型である。開集合 $U$ と $v\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}''|_U$ をとり、$v$ を定める切断を $s_1,\dots,s_n\in\mathcal{F}''(U)$ とする。点 $x\in U$ の近傍 $V$ で各 $s_i$ を $t_i\in\mathcal{F}(V)$ に持ち上げ、$t_1,\dots,t_n$ が定める射を $u\colon\mathcal{O}_V^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_V$ とする（$\beta\circ u=v|_V$）。さらに $V$ を縮めて全射 $w\colon\mathcal{O}_V^{\oplus m}\to\mathcal{F}'|_V$ をとり、
$$ \theta\colon\mathcal{O}_V^{\oplus n}\oplus\mathcal{O}_V^{\oplus m}\to\mathcal{F}|_V,\qquad(a,b)\mapsto u(a)+\alpha(w(b)) $$
とおく。$\mathcal{F}$ の連接性により $\mathcal{L}:=\ker\theta$ は有限型である。第 1 成分への射影を $\operatorname{pr}_1$ とすると $\ker(v|_V)=\operatorname{pr}_1(\mathcal{L})$ である。実際 $(a,b)$ が $\mathcal{L}$ の切断なら $u(a)=-\alpha(w(b))$ は $\ker\beta$ に入るので $v(a)=\beta(u(a))=0$ である。逆に $a$ が $\ker v$ の局所切断なら $\beta(u(a))=0$ だから $u(a)$ は $\alpha(\mathcal{F}')$ の切断であり、$w$ の全射性により局所的に $u(a)=\alpha(w(b))$ となる $b$ がとれ、$\theta(a,-b)=0$、$a=\operatorname{pr}_1(a,-b)$ である。よって $\ker(v|_V)$ は有限型の層 $\mathcal{L}$ の像として有限型であり、$\ker v$ は有限型である。$\square$

$u(\mathcal{F})$ は有限型の層 $\mathcal{F}$ の像なので有限型であり（lem-coherent-sheaf-image の 1）、連接層 $\mathcal{G}$ の有限型部分層なので連接である（同 2）。短完全列 $0\to\ker u\to\mathcal{F}\to u(\mathcal{F})\to0$ に thm-coherent-sheaf-closure の場合 2 を適用して $\ker u$ が連接、$0\to u(\mathcal{F})\to\mathcal{G}\to\operatorname{coker}u\to0$ に場合 3 を適用して $\operatorname{coker}u$ が連接である。有限直和は lem-coherent-sheaf-image の 3 による。$\mathcal{O}_X$ 加群層の圏での核・余核がそのまま $\operatorname{Coh}(X)$ の核・余核になるので、アーベル圏の公理は大きい圏から遺伝する。$\square$

1. $\mathcal{F}$ を連接とする。点 $x$ の近傍 $U$ で全射 $u\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U$ をとると $\ker u$ は有限型だから、$U$ を縮めて全射 $\mathcal{O}_U^{\oplus m}\to\ker u$ がとれ、$\mathcal{O}_U^{\oplus m}\to\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U\to0$ は完全である。
2. $\mathcal{O}_X$ が連接なら $\mathcal{O}_U^{\oplus n}$ は連接である（lem-coherent-sheaf-image の 3）。局所有限表示 $\mathcal{O}_U^{\oplus m}\xrightarrow{\varphi}\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U\to0$ において、$\mathcal{F}|_U\cong\operatorname{coker}\varphi$ は連接層の間の射の余核なので、cor-coherent-sheaf-abelian により連接である。連接性は局所的なので $\mathcal{F}$ は連接である。$\square$

点 $x$ の近傍 $U$ で有限表示 $\mathcal{O}_U^{\oplus m}\xrightarrow{\varphi}\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U\to0$ をとる（prop-coherent-sheaf-presentation）。テンソル積は右完全（右完全関手）なので
$$ \mathcal{G}|_U^{\oplus m}\xrightarrow{\varphi\otimes1}\mathcal{G}|_U^{\oplus n}\longrightarrow(\mathcal{F}\otimes\mathcal{G})|_U\longrightarrow0 $$
は完全であり、$(\mathcal{F}\otimes\mathcal{G})|_U$ は連接層の間の射 $\varphi\otimes1$ の余核として連接である（cor-coherent-sheaf-abelian）。$\mathcal{H}om(-,\mathcal{G})$ は左完全（左完全関手）なので
$$ 0\longrightarrow\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})|_U\longrightarrow\mathcal{G}|_U^{\oplus n}\xrightarrow{\ \varphi^*\ }\mathcal{G}|_U^{\oplus m} $$
は完全であり、$\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})|_U$ は連接層の間の射 $\varphi^*$ の核として連接である。どちらも局所的な主張なので、$X$ 全体で連接である。$\square$

点 $x$ の近傍 $U$ で $\mathcal{F}|_U$ が切断 $s_1,\dots,s_n\in\mathcal{F}(U)$ で生成されているとする。2 は、$\mathcal{F}_x$ が $s_1,\dots,s_n$ の芽で生成されることから直ちに従う。1 を示す。$\mathcal{F}_x=0$ とすると、各 $s_i$ の $x$ での芽は $0$ なので、$x$ の近傍 $V\subset U$ で $s_i|_V=0$（$i=1,\dots,n$）となる。$V$ の各点 $y$ で $\mathcal{F}_y$ は $s_i$ の芽で生成されるから $\mathcal{F}_y=0$ であり、$V\cap\operatorname{Supp}\mathcal{F}=\emptyset$ である。よって台の補集合は開である。3 は、$\mathcal{F}_x\otimes\kappa(x)=\mathcal{F}_x/\mathfrak{m}_x\mathcal{F}_x=0$ と $\mathcal{F}_x$ の有限生成性から Nakayamaの補題により $\mathcal{F}_x=0$ となり、1 の議論により $x$ の近傍で $\mathcal{F}=0$ となることによる。$\square$

$M$ が $m_1,\dots,m_n$ で生成されるなら、全射 $A^{\oplus n}\to M$ に (b) を適用して全射 $\mathcal{O}_X^{\oplus n}\to\widetilde{M}$ を得るので、$\widetilde{M}$ は有限型である。
逆に $\widetilde{M}$ が有限型とする。基本開集合は位相の開基をなすので、各点 $\mathfrak{p}$ について $D(f)\ni\mathfrak{p}$ と全射 $\mathcal{O}_{D(f)}^{\oplus n}\to\widetilde{M}|_{D(f)}$ がある。(a) により、この射は $M_f$ の $n$ 個の元 $m_1/f^k,\dots,m_n/f^k$（$m_i\in M$）で定まり、全射性は $D(f)$ の各点 $\mathfrak{q}$ で茎 $M_{\mathfrak{q}}$ がこれらの像で生成されることを意味する。$f\notin\mathfrak{q}$ より $f$ は $M_{\mathfrak{q}}$ 上で可逆だから、$M_{\mathfrak{q}}$ は $m_1,\dots,m_n$ の像で生成される。$X$ は準コンパクトなので、このような $D(f_1),\dots,D(f_r)$ が $X$ を被覆する。各 $D(f_j)$ でとった有限個の元をすべて集めた有限集合が生成する部分加群を $N\subset M$ とすると、任意の素イデアル $\mathfrak{q}$ はある $D(f_j)$ に属するので $N_{\mathfrak{q}}=M_{\mathfrak{q}}$、すなわち $(M/N)_{\mathfrak{q}}=0$ である。すべての素イデアルでの局所化が $0$ になる加群は $0$ である。実際 $m\in M/N$ が $0$ でなければ、その零化イデアル $\operatorname{Ann}(m)$ は真のイデアルであり、それを含む極大イデアル $\mathfrak{q}$ をとると $sm=0$ となる $s\notin\mathfrak{q}$ が存在しないので、$(M/N)_{\mathfrak{q}}$ での $m/1$ は $0$ でない。よって $M=N$ は有限生成である。$\square$

$\widetilde{M}$ は prop-coherent-sheaf-affine-finite-type により有限型である。開集合 $U\subset X$ と射 $u\colon\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\widetilde{M}|_U$ をとる。$U$ は基本開集合 $D(f)$ で被覆されるので、各 $D(f)\subset U$ 上で $\ker u$ が有限型であることを示せばよい。$D(f)=\operatorname{Spec}A_f$ であり、$\mathcal{O}_U^{\oplus n}|_{D(f)}=\widetilde{A_f^{\oplus n}}$、$\widetilde{M}|_{D(f)}=\widetilde{M_f}$（$A_f$ 加群として）である。(b) を環 $A_f$ に適用すると、$u|_{D(f)}=\widetilde{\varphi}$ となる $A_f$ 線形写像 $\varphi\colon A_f^{\oplus n}\to M_f$ がただ一つ存在し、$\widetilde{\ }$ の完全性から $\ker(u|_{D(f)})=\widetilde{\ker\varphi}$ である。$A_f$ は Noether 環（Noether 環の局所化）だから $A_f^{\oplus n}$ は Noether加群であり、その部分加群 $\ker\varphi$ は有限生成である。よって prop-coherent-sheaf-affine-finite-type により $\widetilde{\ker\varphi}$ は有限型である。$\square$

条件の番号は def-coherent-sheaf-noetherian のものである。局所 Noether スキームの任意のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ で $A$ は Noether 環であることを使う（Har77 II.3.2）。
(3) $\Rightarrow$ (4) は明らかである。(4) $\Rightarrow$ (1)：連接性は局所的な性質だから、被覆の各 $U_i=\operatorname{Spec}A_i$ で $\mathcal{F}|_{U_i}\cong\widetilde{M_i}$ が連接であればよく、$A_i$ は Noether 環、$M_i$ は有限生成なので prop-coherent-sheaf-affine-coherent による。
(1) $\Rightarrow$ (2)：連接なら定義により有限型である。準連接性を示す。prop-coherent-sheaf-presentation の 1 により、各点は開近傍 $U$ と完全列 $\mathcal{O}_U^{\oplus m}\xrightarrow{\psi}\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U\to0$ をもつ。$U$ の中のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$ をとると、(b) により $\psi|_V=\widetilde{\varphi}$ となる $B$ 線形写像 $\varphi\colon B^{\oplus m}\to B^{\oplus n}$ があり、$\widetilde{\ }$ の完全性から $\mathcal{F}|_V\cong\operatorname{coker}\widetilde{\varphi}\cong\widetilde{\operatorname{coker}\varphi}$ である。このような $V$ は $X$ を被覆するので $\mathcal{F}$ は準連接である。
(2) $\Rightarrow$ (3)：$U=\operatorname{Spec}A$ を任意のアフィン開集合とすると、$\mathcal{F}|_U$ は準連接なので (c) により $\mathcal{F}|_U\cong\widetilde{M}$、$M=\Gamma(U,\mathcal{F})$ である。$\mathcal{F}|_U$ は有限型だから、prop-coherent-sheaf-affine-finite-type により $M$ は有限生成である。
最後に $\mathcal{O}_X$ は、各アフィン開集合で $\widetilde{A}$ であり $A$ は 1 個の元で生成されるので、条件 3 をみたす。$\square$