単純群

1 ⇒ 2：$\ker f$ は $G$ の正規部分群なので、$\{e\}$ か $G$ である。$\ker f=\{e\}$ なら $f$ は単射であり、$\ker f=G$ なら $f$ は自明な準同型である。
2 ⇒ 3：$f\colon G\to H$ を全射な準同型とする。$f$ が単射なら $f$ は全単射な準同型であり、全単射な準同型は同型である（同型 の記事の命題「全単射準同型は同型である」）。$f$ が自明な準同型なら、全射性から $H=f(G)=\{e_H\}$ である。
3 ⇒ 1：$N$ を $G$ の正規部分群とし、剰余群 $G/N$ への標準的な全射 $\pi\colon G\to G/N$、$\pi(x)=xN$ を考える（群準同型 の記事の定義「正規部分群による剰余群」）。$\pi$ の核は $N$ である。3 により、$\pi$ が同型なら $N=\ker\pi=\{e\}$ であり、$G/N$ が自明群なら $gN=N$ がすべての $g$ で成り立つので $N=G$ である。よって $G$ の正規部分群は $\{e\}$ と $G$ だけであり、仮定 $G\neq\{e\}$ と合わせて $G$ は単純群である。$\square$

素数位数の群が単純群であることは ex-simple-group-prime-order で示した。逆に $G$ を可換な単純群とする。可換群の部分群はすべて正規である（正規部分群 の記事の例「アーベル群の部分群」）ので、$G$ の部分群は $\{e\}$ と $G$ だけである。$G\neq\{e\}$ なので $e$ でない元 $g$ がとれ、$\langle g\rangle\neq\{e\}$ だから $\langle g\rangle=G$ である。よって $G$ は $g$ で生成される巡回群である。
$g$ の位数（元の位数）が無限であるとする。$\langle g^2\rangle$ は $G$ の部分群で、$g^2\neq e$ なので $\{e\}$ でない。また $g\in\langle g^2\rangle$ なら $g=g^{2k}$ となる整数 $k$ があり、$g^{2k-1}=e$ で $2k-1\neq0$ となって位数が無限であることに反する。よって $\langle g^2\rangle\neq G$ であり、$G$ の部分群が $\{e\}$ と $G$ だけであることに反する。したがって $g$ の位数は有限であり、それを $n$ とすると $|G|=n\ge2$ である。
$n$ が素数でないとすると、$n=ab$（$1< a< n$、$1< b< n$）と書ける。整数 $k$ について $(g^a)^k=e$ となるのは $n\mid ak$、すなわち $b\mid k$ のときに限るので、$g^a$ の位数は $b$ であり、$\langle g^a\rangle$ は位数 $b$ の部分群である。$1< b< n$ より $\langle g^a\rangle$ は $\{e\}$ でも $G$ でもなく、矛盾である。よって $n$ は素数である。$\square$

1：中心 $Z(G)$ は $G$ の正規部分群である（群の中心 の記事の命題「中心は正規部分群である」）。$Z(G)=G$ なら $G$ のすべての元が互いに可換となり、仮定に反する。よって $Z(G)=\{e\}$ である。
2：$[G,G]$ は $G$ の正規部分群である（正規部分群 の記事の例「交換子のなす部分群」）。$G$ は可換でないので $xy\neq yx$ となる $x,y\in G$ があり、交換子 $xyx^{-1}y^{-1}$ は $e$ でない。よって $[G,G]\neq\{e\}$ であり、単純性から $[G,G]=G$ である。
3：$g\mapsto c_g$ は自己同型群 $\operatorname{Aut}(G)$ への群準同型で、その核は $Z(G)$ である（群準同型 の記事の例「共役による自己同型」）。1 により核は $\{e\}$ なので単射である。$\square$

1：作用に対応する準同型 $\rho\colon G\to S_X$ は、$\rho(g)(x)=gx\neq x$ なので自明な準同型でない。prop-simple-group-equivalent の 2 により $\rho$ は単射である。
2：$G$ は左剰余類の集合 $G/H=\{aH\mid a\in G\}$ に $g\cdot aH:=gaH$ で作用する（$aH=a'H$ なら $gaH=ga'H$ なので定義は代表元によらない）。$m\ge2$ なので $H$ と異なる剰余類 $aH$ があり、$a\cdot H=aH\neq H$ だから、この作用は 1 の仮定を満たす。よって $G$ は $S_{G/H}$ の部分群と同型であり、$|S_{G/H}|=m!$ なので、Lagrangeの定理により $|G|$ は $m!$ を割り切る。$\square$

共役類の元の個数は中心化群の指数で与えられる：$x$ の $G$ における共役類の元の個数は $[G:C_G(x)]$ である。ここで $C_G(x)=\{g\in G\mid gx=xg\}$ である（群の中心 の記事の補題「共役類と類等式」）。また $S_5$ で 2 つの置換が共役であることと、巡回置換への分解の型が同じであることは同値である（対称群 の記事の定理「共役類の分類」）。
$A_5$ の $e$ 以外の元は、3 文字の巡回置換（3 サイクル。$\binom{5}{3}\cdot2=20$ 個）、互いに素な 2 つの互換の積（固定する文字 $5$ 通り × 残り $4$ 文字を 2 組に分ける $3$ 通りで $15$ 個）、5 文字の巡回置換（$4!=24$ 個）のいずれかである（交代群 の記事の例「小さい交代群」の 4）。それぞれの型の元全体が $S_5$ の 1 つの共役類をなす。
$x\in A_5$ について $C_S:=C_{S_5}(x)$、$C_A:=C_{A_5}(x)=C_S\cap A_5$ とおく。$A_5$ における $x$ の共役類 $K_A$ は、$S_5$ における共役類 $K_S$ に含まれ、$|K_A|=60/|C_A|$、$|K_S|=120/|C_S|$ である。

• $C_S$ が奇置換 $\tau$ を含む場合：符号準同型（交代群 の記事の命題「符号準同型」）を $C_S$ に制限すると全射 $C_S\to\{\pm1\}$ になり、その核が $C_A$ なので $|C_A|=|C_S|/2$ である。よって $|K_A|=120/|C_S|=|K_S|$ であり、$K_A=K_S$ である。
• $x=(1\,2\,3)$ のとき：互換 $(4\,5)$ は $x$ と共通の文字をもたないので $x$ と可換であり、奇置換である。よって 3 サイクル全体 $20$ 個が $A_5$ の 1 つの共役類をなす。
• $x=(1\,2)(3\,4)$ のとき：互換 $(1\,2)$ は $x$ の因子であり、$(3\,4)$ と共通の文字をもたないので $x$ と可換で、奇置換である。よって互いに素な 2 つの互換の積全体 $15$ 個が $A_5$ の 1 つの共役類をなす。
• $x$ が 5 文字の巡回置換のとき：$|K_S|=24$ なので $|C_S|=120/24=5$ である。$\langle x\rangle\subset C_S$ で $|\langle x\rangle|=5$ なので $C_S=\langle x\rangle$ であり、これは偶置換だけからなる。よって $C_A=C_S$、$|K_A|=60/5=12$ である。5 文字の巡回置換 $24$ 個は、元の個数 $12$ の共役類 2 つに分かれる。
  以上で共役類の元の個数は $1,20,15,12,12$ である（$1+20+15+12+12=60$）。
  $N$ を $A_5$ の正規部分群とする。$N$ は $\{e\}$ と、残り 4 つの共役類のいくつかとの和集合なので、$|N|$ は $1$ に $20,15,12,12$ のうちいくつかを足した数である。そのような和は
  $$ 1,\ 13,\ 16,\ 21,\ 25,\ 28,\ 33,\ 36,\ 40,\ 45,\ 48,\ 60 $$
  であり、このうち $60$ の約数は $1$ と $60$ だけである。よって $N=\{e\}$ か $N=A_5$ であり、$A_5\neq\{e\}$ と合わせて $A_5$ は単純群である。$\square$