不正則数
概要
不正則数（irregularity）とは、代数閉体上の滑らかな射影多様体 $X$ について、構造層の 1 次コホモロジーの次元 $q(X)=\dim H^1(X,\mathcal{O}_X)$ のことである。曲線では種数に等しく、曲面では幾何種数と算術種数の差 $q=p_g-p_a$ に等しい。複素数体上では正則な 1 次微分形式の空間の次元、1 次の Betti 数の半分、Picard 多様体と Albanese トーラスの次元に等しく、双有理不変量である（曲面では任意の標数で双有理不変）。
前提知識: 層コホモロジー, Hodge数, Picardスキーム, 代数曲面
滑らかな射影曲線の種数 $g$ は $h^1(\mathcal{O})$ とも正則な 1 次微分形式の数 $h^0(\Omega^1)$ とも書ける。高い次元では、この 2 つの数え方が別々の不変量に分かれる。そのうち構造層の 1 次のコホモロジーの次元 $q=h^1(\mathcal{O}_X)$ を 不正則数（irregularity）という。
名前は曲面の古典論に由来する。曲面には、標準因子の切断の数として数える幾何種数 $p_g$ と、Euler 標数から決まる算術種数 $p_a$ という 2 つの「種数」があり、つねに $p_g\ge p_a$ で、その差がちょうど $q$ になる。$p_g\neq p_a$ となる曲面を、2 つの種数がそろわないという意味で「不正則」と呼んだ。複素数体上の滑らかな射影多様体では、$q$ は正則な 1 次微分形式の数、1 次の Betti 数の半分、Picard 多様体と Albanese 多様体の次元に等しく、曲面の分類（Enriques–小平の分類）では $q$ が小平次元とともに類を区別する。
この記事では次のことを示す。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 曲面の 2 つの種数とどう関わるか | $q=p_g-p_a\ge0$（prop-irr-surface） |
| 複素数体上では何を数えるか | 正則な 1 次微分形式の数、$b_1/2$、$\dim\operatorname{Pic}^0$（thm-irr-complex） |
| 何で変わらないか | 複素数体上の双有理同値、および任意の標数の曲面の双有理同値（thm-irr-birational） |
| 具体的な値 | 射影空間と 2 次元以上の滑らかな完全交叉では $0$、種数 $g$ の曲線上の線織曲面では $g$、積では和（prop-irr-values） |
定義
この記事では $k$ を代数閉体とする。多様体 は $k$ 上の分離的で有限型な整スキームで、$n$ 次元の滑らかな多様体 $X$ の標準層を $\omega_X:=\Omega^n_{X/k}$ とする。
$X$ を $k$ 上の滑らかな射影多様体とする。
$$
q(X):=\dim_kH^1(X,\mathcal{O}_X)
$$
を $X$ の 不正則数 という。
$X$ は射影的なので、連接層のコホモロジーとして $q(X)$ は有限である（Har77 III, Theorem 5.2 (a), p. 228）。曲線 $C$ では $q(C)$ は種数 $g(C)=h^1(C,\mathcal{O}_C)$ そのものである（種数）。
曲面の 2 つの種数
曲面（2 次元の滑らかな射影多様体）$X$ について、幾何種数 を $p_g(X):=h^0(X,\omega_X)$、算術種数 を $p_a(X):=\chi(\mathcal{O}_X)-1$ とおく（算術種数）。
曲面 $X$ について
$$
\chi(\mathcal{O}_X)=1-q(X)+p_g(X),\qquad q(X)=p_g(X)-p_a(X)
$$
である。とくに $p_g(X)\ge p_a(X)$ であり、等号は $q(X)=0$ のときに限る。
$X$ は整な射影多様体で $k$ は代数閉体なので、$H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ である（大域関数のなす有限次元の整域は $k$ の有限次拡大体で、$k$ に等しい）。Serre 双対性（Serre双対性、Har77 III, Corollary 7.7, p. 244）により $H^2(X,\mathcal{O}_X)$ は $H^0(X,\omega_X)$ の双対で、$h^2(\mathcal{O}_X)=p_g$ である。2 次元なので $H^i(X,\mathcal{O}_X)=0$（$i\ge3$）であり、$\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g$ を得る。$p_a=\chi(\mathcal{O}_X)-1=p_g-q$ を移項すれば第 2 式になる。$q\ge0$ なので $p_g\ge p_a$ である。$\square$
Har77 III, Remark 7.12.3（p. 247）は、この差 $p_g-p_a=h^1(\mathcal{O}_X)$ を不正則数として導入している。
複素数体上の解釈
$k=\mathbb{C}$ とし、$X$ を滑らかな射影多様体とする。
- $q(X)=h^{0,1}(X)=h^{1,0}(X)=\dim H^0(X,\Omega^1_X)$ である。
- 1 次の Betti 数について $b_1(X)=2q(X)$ である。
- Picard スキームの単位元の成分 $\operatorname{Pic}^0_{X/\mathbb{C}}$ と Albanese トーラス $\operatorname{Alb}(X)$ の次元はどちらも $q(X)$ である。
GAGA（Har77 Appendix B, Theorem 2.1, p. 440）により、代数的な層コホモロジー $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ と $H^0(X,\Omega^1_X)$ は、$X$ を複素多様体とみたときの解析的なものと同じ次元をもつ。したがって $q(X)=h^{0,1}(X)$、$\dim H^0(X,\Omega^1_X)=h^{1,0}(X)$ である（Hodge 数の記法は Hodge数 の定義「Hodge 数」）。射影多様体は Fubini–Study 計量の制限によりコンパクト Kähler 多様体なので、Hodge数 の定理「Hodge 数の対称性」の 2 により $h^{0,1}=h^{1,0}$ で、1 を得る。Kähler 多様体では $b_1=h^{1,0}+h^{0,1}$ なので（Hodge分解）、2 を得る。
3：Picardスキーム の命題「原点での接空間」により $\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{C}}$ の単位元での接空間は $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ であり（$X$ は射影的で $H^0(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{C}$、$X(\mathbb{C})\neq\emptyset$）、標数 $0$ の群スキームは滑らかなので（Cartier の定理。同記事の系「次元の不等式」の後の注）$\dim\operatorname{Pic}^0_{X/\mathbb{C}}=q$ である。Albanese トーラスは $H^0(X,\Omega^1_X)^\vee$ を周期の格子で割った複素トーラスとして定義されるので（Albanese多様体 の定義「Albanese トーラスと Albanese 写像」）、その次元は 1 により $q$ である。$\square$
3 の接空間の同型は、標数によらず次のように理解できる。双対数環 $k[\varepsilon]$（$\varepsilon^2=0$）の上で自明な可逆層 $\mathcal{O}_X$ を「1 次の無限小だけ」動かした可逆層は、開被覆の上の貼り合わせ関数 $1+\varepsilon f_{ij}$ で与えられ、$(f_{ij})$ は加法群 $\mathcal{O}_X$ の 1 コサイクルになる。座標の取り替えで $1+\varepsilon(f_i-f_j)$ を掛けることはコバウンダリを足すことに当たるので、無限小の変形の全体は $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ になる（Picardスキーム の命題「原点での接空間」の証明）。したがって $q$ は「可逆層が動ける方向の数」の上限で、実際に動ける族の次元 $\dim\operatorname{Pic}^0$ が $q$ に一致するかどうかが、Picard スキームの滑らかさの問題になる。
GAGA・Hodge 対称性・Cartier の定理はこの記事では証明しない。1 は「$q$ は独立な正則 1 次微分形式の数」と言い換えられ、2 は $q$ が位相不変量であることを示している。曲面についての同じ主張は BHPV04 IV, Theorem (2.7)（pp. 139–140）と Corollary (2.11)（p. 142）にある。
双有理不変性
$X,X'$ を滑らかな射影多様体とし、双有理同値であるとする。
- $k=\mathbb{C}$ なら $q(X)=q(X')$ である。
- $\dim X=2$ なら、$k$ の標数によらず $q(X)=q(X')$ である。
1：双有理不変量 の定理「微分形式のテンソルの双有理不変性」により $h^0(X,\Omega^1_X)=h^0(X',\Omega^1_{X'})$ であり、thm-irr-complex の 1 によりこれは $q$ に等しい。
2：同じ定理により幾何種数 $p_g$ は双有理不変量であり、曲面の双有理射の分解定理 の系「曲面の算術種数の双有理不変性」により $p_a$ も双有理不変量である。prop-irr-surface により $q=p_g-p_a$ なので、$q$ も双有理不変量である。$\square$
曲面では、1 点の爆発 $\pi\colon\tilde X\to X$ について $R^i\pi_*\mathcal{O}_{\tilde X}=0$（$i>0$）、$\pi_*\mathcal{O}_{\tilde X}=\mathcal{O}_X$ となることから $H^1(\tilde X,\mathcal{O}_{\tilde X})\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)$ が直接わかる（Har77 V, Proposition 3.4, p. 387 と Remark 3.5.1, p. 388）。滑らかでない多様体では双有理不変性は成り立たない（ex-irr-counter の 3 行目）。
値の計算
1：$H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0$ である（Har77 III, Theorem 5.1, p. 225）。
2：$X=V_+(F_1,\dots,F_c)$、$r:=N-c=\dim X\ge2$ とすると、完全交叉 の定理「構造層のひねりのコホモロジー」の 2（$m=0$、$i=1< r$）により $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$ である。
3：前半は 線織曲面 の定理「線織曲面の不変量」である。$C\times\mathbb{P}^1$ と第 1 射影は $C$ 上の線織曲面なので（同記事の例「積と Hirzebruch 曲面」）$q(C\times\mathbb{P}^1)=g$ であり、後半は thm-irr-birational の 2 から従う。
4：$X\times Y$ は滑らかな射影多様体で、コンパクト Kähler 多様体である。Hodge数 の命題「直積の Hodge 数」により
$$
h^{0,1}(X\times Y)=h^{0,0}(X)h^{0,1}(Y)+h^{0,1}(X)h^{0,0}(Y)
$$
であり（$(a,b)+(c,d)=(0,1)$ となる組は $a=c=0$ で $(b,d)=(0,1),(1,0)$ だけ）、連結なので $h^{0,0}=1$ である（同記事の定理「Hodge 数の対称性」の 4）。thm-irr-complex の証明のとおり $q=h^{0,1}$ なので主張を得る。$\square$
$k=\mathbb{C}$ とし、$C,D$ を種数 $g,h$ の滑らかな射影曲線、$X=C\times D$ とする。prop-irr-values の 4 により $q(X)=g+h$ である。Hodge数 の命題「直積の Hodge 数」を $(0,2)$ 型に使うと、$(0,b)+(0,d)=(0,2)$ となるのは $b=d=1$ だけなので $p_g(X)=h^{0,2}(X)=h^{0,1}(C)h^{0,1}(D)=gh$ である（Serre 双対性 $h^{2,0}=h^{0,2}$）。prop-irr-surface により
$$
p_a(X)=p_g-q=gh-g-h,\qquad \chi(\mathcal{O}_X)=1-(g+h)+gh=(1-g)(1-h)=\chi(\mathcal{O}_C)\,\chi(\mathcal{O}_D)
$$
である。$g,h\ge1$ なら $q\ge2$ で、$p_g>p_a$ となり、2 つの種数はそろわない。とくに楕円曲線 2 つの積（アーベル曲面）では $q=2$、$p_g=1$、$p_a=-1$ である。
$\chi(\mathcal{O})$ が積で乗法的になることは、Euler 標数の一般的な性質と合っている。一方 $q$ は加法的、$p_g$ は乗法的で、$q$ と $p_g$ は積に対して異なる振る舞いをする。複素数体上の小平次元が $0$ 以下の極小な曲面の不正則数は次のとおりである（Enriques–小平の分類 の不変量の表と上の 3・4 による）。
| 曲面 | $q$ | $p_g$ | 小平次元 |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{P}^2$、Hirzebruch曲面 $\mathbb{F}_e$（$e\ne1$） | $0$ | $0$ | $-\infty$ |
| 種数 $g\ge1$ の曲線上の線織曲面 | $g$ | $0$ | $-\infty$ |
| K3曲面、Enriques曲面 | $0$ | $1$、$0$ | $0$ |
| アーベル曲面 | $2$ | $1$ | $0$ |
| 双楕円曲面 | $1$ | $0$ | $0$ |
使い方
$C,C'$ を滑らかな射影曲線とする。$C\times\mathbb{P}^1$ と $C'\times\mathbb{P}^1$ が双有理同値なら、$C$ と $C'$ の種数は等しい。とくに、種数 $1$ 以上の曲線 $C$ について $C\times\mathbb{P}^1$ は有理曲面でない。
prop-irr-values の 3 により、両者の不正則数はそれぞれ $g(C)$、$g(C')$ で、thm-irr-birational の 2 によりこれらは等しい。後半は $C'=\mathbb{P}^1$（$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は $\mathbb{P}^2$ と双有理同値）の場合である。$\square$
小平次元が $-\infty$ の曲面は有理曲面か $C\times\mathbb{P}^1$（$g(C)\ge1$）と双有理同値で（Har77 V, Theorem 6.1, p. 422）、両者を分けるのが $q$ である。これが Castelnuovoの有理性判定法「有理 $\iff q=P_2=0$」で $q$ が現れる理由である。
$k=\mathbb{C}$ とし、$X$ を $q(X)=0$ の滑らかな射影多様体とする。このとき、$X$ から複素トーラス（とくにアーベル多様体）への正則写像はすべて定数である。
$x_0\in X$ を固定し、正則写像 $\varphi\colon X\to T$ に対し $\varphi':=\varphi-\varphi(x_0)$ とおくと $\varphi'(x_0)=0$ である。Albanese多様体 の定理「Albanese トーラスの普遍性」により $\varphi'=\psi\circ\mathrm{alb}$ と分解する。thm-irr-complex の 3 により $\operatorname{Alb}(X)$ は $0$ 次元の複素トーラス、すなわち 1 点なので、$\varphi'$ は定数 $0$ で、$\varphi$ は定数である。$\square$
たとえば、$\mathbb{P}^N$ の 2 次元以上の滑らかな完全交叉から楕円曲線への定数でない正則写像はない（prop-irr-values の 2）。$q\ge1$ なら逆に、Albanese 写像 $X\to\operatorname{Alb}(X)$ が $q$ 次元の複素トーラスへの定数でない正則写像を与える（$\mathrm{alb}$ が定数なら、普遍性から $\operatorname{Alb}(X)$ への恒等写像が $0$ 写像と一致してしまう）。
反例：条件を外すと
| 外す条件・誤解 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-irr-complex の「射影的」 | Hopf 曲面（コンパクト複素曲面） | $h^{0,1}=h^{1,0}$ と $b_1=2q$（$h^{0,1}=1$、$h^{1,0}=0$、$b_1=1$） |
| thm-irr-complex の 3 の「$k=\mathbb{C}$」 | 標数 $2$ の井草準一（Jun-ichi Igusa）の曲面 | $\dim\operatorname{Pic}^0=q$（$1$ と $2$） |
| thm-irr-birational の「滑らか」 | 滑らかな平面 3 次曲線の上の錐 $Y\subset\mathbb{P}^3$ | 双有理不変性（$h^1(\mathcal{O}_Y)=0$、$q(E\times\mathbb{P}^1)=1$） |
| 誤解「$p_g=0$ なら $q=0$」 | 楕円曲線 $E$ について $E\times\mathbb{P}^1$ | $p_g=0$ だが $q=1$ |
| 誤解「$q=p_g=0$ なら有理曲面」 | Enriques 曲面 | $q=p_g=0$ だが有理曲面でない |
1 行目．$X=(\mathbb{C}^2\setminus\{0\})/\langle z\mapsto2z\rangle$ は Kähler でない（したがって射影的でない）コンパクト複素曲面で、$h^{0,1}=1$、$h^{1,0}=0$、$b_1=1$ である（Hodge数 の例「反例：Hopf 曲面の Hodge 菱形」、BHPV04 V, Proposition (18.1), p. 226）。$q:=h^{0,1}$ と定めると $q\ne h^{1,0}$、$b_1\ne2q$ である。
2 行目．標数 $2$ で、楕円曲線の積を固定点のない位数 $2$ の自己同型で割って得られる井草準一による曲面 $X$ では $\dim\operatorname{Alb}_{X/k}=1$、$\dim H^1(X,\mathcal{O}_X)=2$ である（Albanese多様体 の節「正標数での注意」。この記事では証明しない）。Picard 多様体は Albanese 多様体の双対で次元が等しいので、$\dim\operatorname{Pic}^0_{X/k}=1< 2=q$ であり、Picard スキームは滑らかでない（Picardスキーム の系「次元の不等式」と例「反例：被約でないPicardスキーム」）。
3 行目．$f(x_0,x_1,x_2)$ を滑らかな平面 3 次曲線 $E$ の方程式とし、$Y=V_+(f)\subset\mathbb{P}^3$ とする。$Y$ は点 $[0:0:0:1]$ で特異な 3 次曲面で、$\mathbb{P}^3$ の 2 次元の完全交叉なので、prop-irr-values の 2 の証明と同じく $H^1(Y,\mathcal{O}_Y)=0$ である（引いた定理は滑らかさを仮定しない）。一方、開集合 $Y\cap\{x_0\neq0\}$ は方程式に $x_3$ が現れないので $(E\cap\{x_0\neq0\})\times\mathbb{A}^1$ と同型であり、$Y$ は $E\times\mathbb{P}^1$ と双有理同値である。$E\times\mathbb{P}^1$ は滑らかで、prop-irr-values の 3 により $q=1$ である。
4 行目．$E\times\mathbb{P}^1$ の幾何種数は 線織曲面 の定理「線織曲面の不変量」により $0$ で、$q=1$ である。
5 行目．Enriques曲面 の定義により $q=p_g=0$ で、2 重種数 $P_2=1$ は双有理不変量なので（多重種数 の定理「多重種数の双有理不変性」）、$P_2(\mathbb{P}^2)=0$ と比べて有理曲面でない。
関連項目
- 前提: 層コホモロジー, 種数, Hodge数, Picardスキーム
- 比較: 算術種数, 多重種数, 小平次元
- 例: 線織曲面, アーベル曲面, Enriques曲面
- 発展: Albanese多様体, Castelnuovoの有理性判定法, Enriques–小平の分類
参考文献
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