Kepler–Poinsotの多面体

要点：$x=(a,b,c)$ に対して $x\cdot v=b+\varphi c$ で、たとえば $(0,-1,\varphi)$ では $-1+\varphi^2=\varphi$ である。距離の 2 乗は $2(\varphi+2)-2\,x\cdot v$ で求まる。

方針：余弦定理で各頂点の角が $108^\circ$ と分かる。折れ線 $B_1B_2\cdots B_5B_1$ を進むと各頂点で $72^\circ$ ずつ曲がり、曲がる向きがそろうことを示す。
段 1（角）。三角形 $B_{i-1}B_iB_{i+1}$ は 2 辺が $a$、残りの辺が $\varphi a$ なので、余弦定理（高校数学） から
$$ \cos\angle B_{i-1}B_iB_{i+1}=\frac{a^2+a^2-\varphi^2a^2}{2a^2}=\frac{2-\varphi^2}2=\frac{1-\varphi}2 $$
である。正五角形と黄金比 で求めた $\cos72^\circ=\dfrac{\sqrt5-1}4$ から $\cos108^\circ=-\cos72^\circ=\dfrac{1-\sqrt5}4$ で、これは $\dfrac{1-\varphi}2$ と等しい。$0^\circ$ から $180^\circ$ の範囲で余弦の値が同じ角は 1 つなので、各頂点の角は $108^\circ$ である。
段 2（曲がる角）。折れ線を $B_{i-1}\to B_i\to B_{i+1}$ と進むとき、進む向きは $B_i$ で $180^\circ-108^\circ=72^\circ$ だけ、左か右に変わる。
段 3（向きがそろう）。1 周して $B_1\to B_2$ に戻ると進む向きはもとに戻るので、5 回の曲がり（左を正、右を負とする）の和は $360^\circ$ の整数倍である。左に $k$ 回、右に $5-k$ 回曲がるとすると、和は $72^\circ\times(2k-5)$ で、$2k-5$ は $-5,-3,-1,1,3,5$ のどれかである。$72^\circ\times(2k-5)$ が $360^\circ$ の整数倍になるのは $2k-5=\pm5$、つまり $k=5$ か $k=0$ のときだけである。よって 5 回とも同じ向きに曲がる。
段 4（まとめ）。同じ向きに $72^\circ$ ずつ 5 回曲がって 1 周する、辺の長さがそろった五角形は、凸で、内角がすべて $108^\circ$、辺がすべて $a$ なので、正五角形である。$\square$

方針：$u=v=(0,1,\varphi)$ で確かめれば、座標の巡回と符号の変更で $v$ をどの点にも移せるので、すべての $u$ で成り立つ。辺を共有する面は「辺の両端の共通の隣」で数える。
段 1（平面）。lem-kpp-ico の (i) から、$N(v)$ の 5 点はどれも $x\cdot v=\varphi$ を満たす。これは $v$ に垂直な 1 つの平面の式である。
段 2（正五角形）。ex-kpp-link の順 $B_1,\dots,B_5$ で、隣り合う 2 点の距離は $2$、1 つおきの 2 点の距離は $2\varphi$ である。段 1 から 5 点は同じ平面上にあるので、lem-kpp-pentagon（$a=2$）により $B_1B_2B_3B_4B_5$ は正五角形である。これで (1) が示された。
段 3（面の頂点の数）。点 $w$ が面 $N(u)$ の頂点であるのは、$w$ が $u$ の隣、つまり $u$ が $w$ の隣のときである。$w$ の隣は 5 つなので、$w$ を頂点にもつ面は 5 枚である。(2) の面と (3) の面は同じ 5 点を頂点とするので、どちらでもどの頂点にも 5 枚の面が集まる。
段 4（(2) の辺）。距離 $2$ の 2 点 $w_1,w_2$ が面 $N(u)$ の辺になるのは、$w_1,w_2$ がどちらも $u$ の隣のときである（面 $N(u)$ の中で距離 $2$ の 2 点は、段 2 のとおり隣り合う頂点、つまり辺の両端だからである）。$w_1=v$、$w_2=B_3=(1,\varphi,0)$ のとき、$v$ と $B_3$ の両方の隣である点は、$v$ の隣 $B_1,\dots,B_5$ のうち $B_3$ から距離 $2$ のもので、ex-kpp-link から $B_2$ と $B_4$ の 2 つである。$B_3$ を $v$ のほかの隣に替えても、輪の両隣の 2 つになる。よって $v$ から出る辺は、どれもちょうど 2 枚の面に共有される。$v$ をどの点にも移せるので、どの辺もちょうど 2 枚の面に共有される。
段 5（(3) の辺）。距離 $2\varphi$ の 2 点 $w_1,w_2$ が五芒星の面の辺になるのは、どちらも $u$ の隣のとき（五芒星の辺は正五角形の対角線）である。$w_1=v$ とする。lem-kpp-ico から、$v$ から距離 $2\varphi$ の点は $w_2=-B_i$（$i=1,\dots,5$）の形である。$v$ と $-B_i$ の両方の隣である点 $x$ は、$v$ の隣 $B_j$ で $\lvert B_j-(-B_i)\rvert=2$、つまり $B_j\cdot(-B_i)=\varphi$ を満たすものである。これは $B_j\cdot B_i=-\varphi$、つまり $\lvert B_j-B_i\rvert=2\varphi$ と同じである（距離と内積の関係の式）。段 2 から、$B_i$ から距離 $2\varphi$ の $B_j$ は、正五角形で $B_i$ と隣り合わない 2 つである。よって共通の隣はちょうど 2 つで、$v$ から出る五芒星の辺は、どれもちょうど 2 枚の面に共有される。
たとえば $w_2=(0,1,-\varphi)=-B_1$ のとき、共通の隣は $B_3=(1,\varphi,0)$ と $B_4=(-1,\varphi,0)$ で、実際 $\lvert B_3-w_2\rvert^2=1+(\varphi-1)^2+\varphi^2=1+(2-\varphi)+(\varphi+1)=4$ である。
段 6（数える）。頂点は $\mathcal I$ の $V=12$ 個、面は $F=12$ 枚である。辺は、面ごとに数えると $5\times12=60$ 本で、どの辺も 2 回ずつ数えているので $E=30$ である。(2) でも (3) でも同じである。$\square$

方針：(1) は lem-kpp-ico の (ii) の 5 点が正五角形になることを使う。(2) は代表の点で直接確かめ、座標の巡回と符号の変更で残りに広げる。(3) は面ごとの数え上げである。
段 1（(1) の面）。$v$ を頂点にもつ正三角形 $vw_1w_2$（辺 $2\varphi$）では、$w_1,w_2$ は $v$ から距離 $2\varphi$ なので、lem-kpp-ico の (ii) の 5 点 $-B_1,\dots,-B_5$ のどれかである。$-B_i$ どうしの距離は $B_i$ どうしの距離と同じなので、$-B_1,\dots,-B_5$ も 1 辺 $2$、対角線 $2\varphi$ の正五角形で、距離 $2\varphi$ の組は 5 本の対角線だけである。よって $v$ を頂点にもつ正三角形は 5 個で、どの頂点にも 5 枚の面が集まる。面の数は、頂点ごとに数えた $12\times5=60$ を、1 つの面が 3 つの頂点で数えられることで割って $F=20$ である。
段 2（(1) の辺）。辺 $v(-B_i)$ を含む面は、$-B_i$ と距離 $2\varphi$ の $-B_j$ を 3 つめの頂点とするもので、段 1 から 2 つある。辺は、頂点ごとに数えた $12\times5=60$ を 2 で割って $E=30$ である。
段 3（(2) の面）。$u_0=(0,\varphi,1)$ のとき、$x\cdot u_0=\varphi y+z$ である。$\mathcal D$ の 20 点でこれを計算すると、値 $\dfrac1\varphi$ をとるのは
$$ C_1=(1,1,-1),\ C_2=(\varphi,0,\tfrac1\varphi),\ C_3=(0,-\tfrac1\varphi,\varphi),\ C_4=(-\varphi,0,\tfrac1\varphi),\ C_5=(-1,1,-1) $$
の 5 点である（たとえば $C_1$ では $\varphi-1=\frac1\varphi$、$C_3$ では $-1+\varphi=\frac1\varphi$）。隣り合う $C_iC_{i+1}$（$C_5C_1$ も）の距離は $2$、1 つおきの距離は $2\varphi$ で（たとえば $\lvert C_1-C_2\rvert^2=(\varphi-1)^2+1+(1+\frac1\varphi)^2=(2-\varphi)+1+\varphi^2=4$）、lem-kpp-pentagon により正五角形である。座標の巡回と符号の変更は $\mathcal D$ と $\mathcal U$ をそれぞれ変えず、$u_0$ を $\mathcal U$ のどの点にも移すので、どの $u$ でも同じである。
段 4（(2) の頂点と辺）。$\mathcal D$ の点は、座標の巡回と符号の変更で $(1,1,1)$ か $\left(0,\frac1\varphi,\varphi\right)$ に移る。$x=(1,1,1)$ では、$x\cdot u=\frac1\varphi$ となる $u$ は $(0,\varphi,-1)$、$(\varphi,-1,0)$、$(-1,0,\varphi)$ の 3 つで、面は 3 枚である。$x$ から距離 $2\varphi$ の点は $\left(0,-\frac1\varphi,-\varphi\right)$、$\left(-\frac1\varphi,-\varphi,0\right)$、$\left(-\varphi,0,-\frac1\varphi\right)$ の 3 つで、それぞれ 3 枚の面のうちちょうど 2 枚に含まれる（たとえば $\left(0,-\frac1\varphi,-\varphi\right)$ は $u=(0,\varphi,-1)$ と $(\varphi,-1,0)$ の面にある）。$\left(0,\frac1\varphi,\varphi\right)$ でも同じ計算で、面は 3 枚、距離 $2\varphi$ の点は 3 つで、それぞれちょうど 2 枚の面に含まれる。
段 5（(3)）。大十二面体と小星形十二面体は thm-kpp-link で求めた。大二十面体は段 1・段 2 から $(V,E,F)=(12,30,20)$ である。大星形十二面体は $V=20$、$F=12$ で、辺は面ごとに数えた $5\times12=60$ を 2 で割って $E=30$ である。$V-E+F$ はそれぞれ $12-30+12=-6$、$-6$、$20-30+12=2$、$12-30+20=2$ である。$\square$