Weylの部屋

要点：$C(v)$ は開半空間の有限個の共通部分で凸、連続関数 $(\alpha,\cdot)$ は連結集合の上で符号を変えない。

$R^+:=R^+(D)$ とおく。$R^+$ の元は $\Delta$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合で $0$ でない（ルート系 の定義「基と単純ルート」）。
1：$x\in C(\Delta)$ なら、各 $\beta\in R^+$ について $(\beta,x)$ は $0$ 以上の係数で $(\alpha,x)>0$（$\alpha\in\Delta$）を足したもので正である。$R=R^+\sqcup(-R^+)$ なので $x$ は正則で $R^+(x)=R^+$、prop-weyl-chamber-describe の 1 により $x$ は $D$ の点 $v$ と同じ部屋 $C(v)=D$ に属する。逆に $x\in D$ なら $\Delta\subset R^+=R^+(x)$ なので $x\in C(\Delta)$ である。後半は prop-weyl-chamber-describe の 3 と、ルート系 の定理「正系と基の一対一対応」による。
2：右辺を $P$ とする。$P$ は閉集合で $D$ を含むので $\overline{D}\subset P$ である。$x\in P$ と $v\in D$ について、$t>0$ なら $(\alpha,x+tv)>0$（$\alpha\in\Delta$）なので $x+tv\in D$ であり、$t\to0$ として $x\in\overline{D}$ である。
3：$\alpha\in\Delta$ とする。$\Delta$ は $V$ の基底なので、$(\alpha,x_0)=0$、$(\delta,x_0)=1$（$\delta\in\Delta\setminus\{\alpha\}$）となる $x_0$ がある。$H_\alpha$ の中で $x_0$ に十分近い $y$ は $(\delta,y)>0$（$\delta\neq\alpha$）を満たし、2 により $\overline{D}$ に属する。よって $H_\alpha$ は $D$ の壁である。
次に $\beta\in R^+\setminus\Delta$ とし、$\beta=\sum_{\delta\in\Delta}c_\delta\delta$（$c_\delta\ge0$）と書く。$c_\delta>0$ となる $\delta$ がただ一つなら $\beta=c_\delta\delta$ となり、ルート系 の定義の (RS4) により $\beta=\delta\in\Delta$ となって矛盾するので、$c_{\delta_1},c_{\delta_2}>0$ となる $\delta_1\neq\delta_2$ がある。$x\in H_\beta\cap\overline{D}$ なら、2 により各項 $c_\delta(\delta,x)$ は $0$ 以上で和 $(\beta,x)$ が $0$ なので、$(\delta_1,x)=0$ である。よって $H_\beta\cap\overline{D}\subset H_\beta\cap H_{\delta_1}$ である。$\delta_1\neq\pm\beta$ なので $\beta,\delta_1$ は線形独立で（ルート系 の補題「二つのルートのなす角」）、$H_\beta\cap H_{\delta_1}$ は $H_\beta$ の真の部分空間であり、$H_\beta$ の空でない開集合を含まない。よって $H_\beta$ は壁でない。負のルート $-\beta$ については $H_{-\beta}=H_\beta$ である。壁の枚数は $|\Delta|=\dim V$ である。$\square$

1：$w$ は $V$ の線形な等長写像で $R$ を保つ（ルート系 の補題「Weyl群の有限性」）。$\beta\in R$ について $w(H_\beta)=H_{w(\beta)}$ なので、$w$ は $V^{\circ}$ をそれ自身に写す同相写像であり、連結成分を連結成分に写す。$x\in D$ について $R^+(wx)=w(R^+(x))$ である（同記事の補題「正則ベクトルと正系の性質」の 3）。よって prop-weyl-chamber-describe の 3 の全単射 $D\mapsto R^+(D)$ は $W$ の作用と両立する。$W$ は正系の全体に単純推移的に作用する（同記事の命題「Weyl群の正系への推移性」と系「Weyl群の単純推移性」）ので、部屋の全体にも単純推移的に作用する。
2：$x,x'\in C$ とし、$y:=wx'\in wC$ とおく。$\beta\in R^+$ について $(\beta,x)>0$ である。一方 $(\beta,y)=(w^{-1}(\beta),x')$ であり、$x'\in C$ は $R^+(x')=R^+$ を満たすので、$(\beta,y)<0$ は $w^{-1}(\beta)\in-R^+$、すなわち $\beta\in R(w^{-1})$ と同値である。よって $C$ と $wC$ を隔てる超平面は $H_\beta$（$\beta\in R(w^{-1})$）で、異なる正ルートは異なる超平面を与える（(RS4)）から、その枚数は $|R(w^{-1})|=\ell(w^{-1})=\ell(w)$ である。
3：前半を $\ell(w)$ についての帰納法で示す。$\ell(w)=0$ なら $w=1$ で明らかである。$\ell(w)\ge1$ とする。すべての $\alpha\in\Delta$ について $w(\alpha)\in R^+$ なら、各 $\beta\in R^+$ は $\Delta$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合なので $w(\beta)$ の $\Delta$ に関する係数はすべて $0$ 以上となり、$w(\beta)\in R^+$、$R(w)=\emptyset$、$\ell(w)=0$ となって矛盾する。よって $w(\alpha)\in-R^+$ となる $\alpha\in\Delta$ がある。$y\in\overline{C}$ で $w(\alpha)$ は $\Delta$ の元の $0$ 以下の係数の線形結合なので、thm-weyl-chamber-shape の 2 により $(y,w(\alpha))\le0$ である。一方 $w$ は内積を保つので $(y,w(\alpha))=(wx,w(\alpha))=(x,\alpha)\ge0$ である。よって $(x,\alpha)=0$、$s_\alpha x=x$ であり、$s_\alpha\in W_x'$ である。$w':=ws_\alpha$ は $w'x=y$ と $\ell(w')=\ell(w)-1$ を満たすので、帰納法の仮定から $x=y$、$w'\in W_x'$ であり、$w=w's_\alpha\in W_x'$ である。
後半：$v\in C$ を一つとる。$W$ は有限なので（ルート系 の補題「Weyl群の有限性」）、$(wx,v)$ を最大にする $w\in W$ がある。$(wx,\alpha)<0$ となる $\alpha\in\Delta$ があれば、
$$ (s_\alpha wx,v)=(wx,v)-\frac{2(wx,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}(\alpha,v)>(wx,v) $$
（$(\alpha,v)>0$ による）となって最大性に反する。よって $wx\in\overline{C}$ である（thm-weyl-chamber-shape の 2）。
最後の主張：$x\in\overline{C}$ と $wx=x$ について前半から $w\in W_x'$ であり、逆に $W_x'$ の生成元は $x$ を固定する。$\square$

要点：$-1$ も部屋を部屋に写すことと、thm-weyl-chamber-main の単純推移性から従う。