上半平面

1．$c=0$ なら $\det g=ad>0$ より $d\neq0$ である。$c\neq0$ なら $c\tau+d=0$ は $\tau=-d/c\in\mathbb{R}$ を意味し、$\operatorname{Im}\tau>0$ に反する。いずれの場合も $c\tau+d\neq0$ である。次に $$(a\tau+b)(c\bar\tau+d)=ac\lvert\tau\rvert^2+ad\tau+bc\bar\tau+bd$$ の虚部は $ad\operatorname{Im}\tau-bc\operatorname{Im}\tau=(\det g)\operatorname{Im}\tau$ である（$a,b,c,d$ は実数）。$g\tau=(a\tau+b)(c\bar\tau+d)/\lvert c\tau+d\rvert^2$ なので主張の式が従い、右辺は正である。

2．$I\tau=\tau$ は明らかである。$(gh)\tau=g(h\tau)$ は 1 次分数変換の合成が行列の積に対応すること（Möbius変換 の記事の定理「Möbius 変換の群と行列の群」）による。1 によって両辺は $\mathfrak{H}$ の点として意味をもつ。$\tau\mapsto g\tau$ は $\mathfrak{H}$ 上で分母が消えない有理関数なので正則であり、商の微分により $$\frac{d}{d\tau}\,\frac{a\tau+b}{c\tau+d}=\frac{a(c\tau+d)-c(a\tau+b)}{(c\tau+d)^2}=\frac{\det g}{(c\tau+d)^2}$$ である。$g^{-1}\in\operatorname{GL}_2^+(\mathbb{R})$ の作用が逆写像を与えるので、$\tau\mapsto g\tau$ は正則な全単射で、逆写像も正則である。

3．スカラー行列 $\lambda I$（$\lambda\neq0$）は $\tau\mapsto\lambda\tau/\lambda=\tau$ を与える。逆に、すべての $\tau\in\mathfrak{H}$ で $g\tau=\tau$ なら、$c\tau^2+(d-a)\tau-b=0$ がすべての $\tau\in\mathfrak{H}$ で成り立つ。次数 $2$ 以下の多項式が無限個の根をもつので係数はすべて $0$ であり、$c=b=0$、$a=d$ となる。$\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ の中のスカラー行列は $\lambda^2=1$ を満たすので $\pm I$ である。$\square$

$\tau=x+iy\in\mathfrak{H}$ に対し $g=\begin{pmatrix}\sqrt y&x/\sqrt y\\0&1/\sqrt y\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ とおくと $gi=(\sqrt y\,i+x/\sqrt y)\sqrt y=x+iy$ である。よって $i$ の軌道は $\mathfrak{H}$ 全体であり、作用は推移的である。

$g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ について $gi=i$ は $ai+b=i(ci+d)=-c+di$、すなわち $a=d$、$b=-c$ と同値である。このとき $\det g=a^2+b^2=1$ なので、$a=\cos t$、$b=\sin t$ となる $t$ があり、$g=k_t$ である。逆に $k_t i=i$ はこの計算からわかる。

最後に、$\sin t-i\cos t=-ie^{it}$、$\sin t+i\cos t=ie^{-it}$ を使うと$$C(k_t\tau)=\frac{(\cos t\,\tau+\sin t)-i(-\sin t\,\tau+\cos t)}{(\cos t\,\tau+\sin t)+i(-\sin t\,\tau+\cos t)}=\frac{e^{it}(\tau-i)}{e^{-it}(\tau+i)}=e^{2it}C(\tau)$$である。$\square$

1．$\Lambda=\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2$ とする。$\omega_2/\omega_1$ は実数でないので、必要なら $\omega_2$ を $-\omega_2$ に替えて $\tau:=\omega_2/\omega_1\in\mathfrak{H}$ にできる。このとき $\Lambda=\omega_1(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)=\omega_1\Lambda_\tau$ である。

2．$\tau'=\gamma\tau$、$\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ とする。$\gamma$ は整数係数の逆行列をもつので、$a\tau+b$ と $c\tau+d$ も $\Lambda_\tau$ の $\mathbb{Z}$ 基底であり、$$\Lambda_{\tau'}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\frac{a\tau+b}{c\tau+d}=\frac{1}{c\tau+d}\bigl(\mathbb{Z}(c\tau+d)+\mathbb{Z}(a\tau+b)\bigr)=\frac{1}{c\tau+d}\Lambda_\tau$$となる。逆に $\alpha\Lambda_{\tau'}=\Lambda_\tau$（$\alpha\in\mathbb{C}^\times$）とする。$\alpha\tau'$ と $\alpha$ は $\Lambda_\tau$ の $\mathbb{Z}$ 基底なので、整数 $a,b,c,d$ により $\alpha\tau'=a\tau+b$、$\alpha=c\tau+d$ と書け、$\gamma:=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ は基底の取り替えの行列として $\det\gamma=\pm1$ を満たす。$\tau'=(a\tau+b)/(c\tau+d)$ の虚部は prop-uhp-action の 1 の計算により $\det\gamma\cdot\operatorname{Im}\tau/\lvert c\tau+d\rvert^2$ で、これが正なので $\det\gamma=1$、すなわち $\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ である。$\square$

$\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ について $\operatorname{Im}(\gamma\tau)=\operatorname{Im}\tau/\lvert c\tau+d\rvert^2$ である（prop-uhp-action の 1）。$\operatorname{Im}(\gamma\tau)\ge\operatorname{Im}\tau$ となるのは $\lvert c\tau+d\rvert\le1$ のときで、$c\tau+d$ は格子 $\Lambda_\tau$ の点だから、そのような整数の組 $(c,d)$ は有限個しかない（格子は $\mathbb{C}$ の離散部分群なので、有界な円板には有限個の点しかない）。$\gamma=I$ で値 $\operatorname{Im}\tau$ をとるので、$\operatorname{Im}\tau$ 以上の値の集合は空でない有限集合であり、その最大値が全体の最大値である。$\square$

(a) $c=0$ のとき。$ad=1$ から $a=d=1$ で、$\gamma\tau=\tau+b$ である。$\tau$ と $\tau+b$ の実部がともに $[-\frac12,\frac12]$ に入るので、$b=0$ か、$b=\pm1$ で $\operatorname{Re}\tau=\mp\frac12$ である。

(b) $c=1$ のとき。$\lvert\tau+d\rvert^2=\lvert\tau\rvert^2+2d\operatorname{Re}\tau+d^2\ge1-\lvert d\rvert+d^2$ で、右辺は $d\neq0$ なら $1$ 以上、等号は $\lvert d\rvert=1$ のときに限る。これが $1$ 以下なので、$d=0$ かつ $\lvert\tau\rvert=1$ であるか、$\lvert d\rvert=1$ かつ $\lvert\tau\rvert=1$、$d\operatorname{Re}\tau=-\frac12$ である。後者は $(d,\tau)=(1,\rho)$ または $(-1,-\bar\rho)$ を意味する。

• $d=0$ なら $\det\gamma=-b=1$ で $\gamma\tau=a-1/\tau=a-\bar\tau$（$\lvert\tau\rvert=1$ による）である。実部 $a-\operatorname{Re}\tau$ が $[-\frac12,\frac12]$ に入るので、$a=0$（$\gamma\tau=-1/\tau$）か、$a=\pm1$ で $\operatorname{Re}\tau=\pm\frac12$ である。後者では $\tau\in\{\rho,-\bar\rho\}$ で、$\gamma\tau=\pm1-\bar\tau\in\{\rho,-\bar\rho\}$ となる。
• $(d,\tau)=(1,\rho)$ なら $b=a-1$ で、$1/(\rho+1)=-\rho$（$\rho^2+\rho+1=0$ による）から $\gamma\rho=a-1/(\rho+1)=a+\rho$ である。これが $\mathcal{F}$ に入るのは $a\in\{0,1\}$ で、$\gamma\rho\in\{\rho,\rho+1\}$ となる。$(d,\tau)=(-1,-\bar\rho)$ も同様で、$\gamma\tau\in\{-\bar\rho,\rho\}$ となる。

以上から、$\gamma\tau\neq\tau$ となるのは、(a) の $b=\pm1$（$\tau'=\tau\pm1$、$\operatorname{Re}\tau=\mp\frac12$）か、(b) の $\lvert\tau\rvert=1$ の場合で、後者の $\gamma\tau$ は $-1/\tau=-\bar\tau$ か、$\rho$ と $\rho+1=-1/\rho$ の入れ替えである。いずれも 2 の形をしており、2 が示された。

$\gamma\tau=\tau$ となる $\gamma$ を同じ場合分けから拾う（このときは $\operatorname{Im}(\gamma\tau)=\operatorname{Im}\tau$ なので入れ替えは要らない）。(a) では $b=0$、$\gamma=\pm I$。(b) の $d=0$ では $a-\bar\tau=\tau$、すなわち $a=2\operatorname{Re}\tau$ で、$a=0$ なら $\tau=i$、$\gamma=\pm S$。$a=-1$ なら $\tau=\rho$、$\gamma=\pm\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\pm(ST)^2$。$a=1$ なら $\tau=-\bar\rho$、$\gamma=\pm\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\pm TS$。(b) の $(1,\rho)$ では $a=0$、$\gamma=\pm\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}=\pm ST$。$(-1,-\bar\rho)$ では $\det\gamma=-a-b=1$ と $\gamma\tau=a-1/(\tau-1)=a-\rho^2$ の計算（$\tau-1=\rho$、$1/\rho=\rho^2$）から $\gamma\tau=a+1+\rho=a+\tau$ なので $a=0$、$b=-1$ で、$\gamma=\pm\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}=\pm(TS)^2$。$S^2=-I$、$(ST)^3=-I$、$(TS)^3=-I$ を行列の積で確かめれば、$\Gamma_i=\langle S\rangle$ は位数 $4$、$\Gamma_\rho=\langle ST\rangle$ と $\Gamma_{-\bar\rho}=\langle TS\rangle$ は位数 $6$ であり、それ以外の $\tau\in\mathcal{F}$ では $\Gamma_\tau=\{\pm I\}$ である。$\square$