定数変化法

$\lvert t\rvert< \pi/2$ で $y''+y=\tan t$、$y(0)=y'(0)=0$ を解く。$y_1=\cos t$、$y_2=\sin t$、$W=1$、$g=\tan t$ なので
$$ u_1'=-\sin t\tan t=\cos t-\frac1{\cos t},\qquad u_2'=\cos t\tan t=\sin t $$
である。$t_0=0$ から積分すると、$\int_0^t\frac{ds}{\cos s}=\log\Bigl(\frac1{\cos t}+\tan t\Bigr)$（$\lvert t\rvert< \pi/2$ で真数は正）から
$$ \boxed{\,y=\sin t-\cos t\,\log\Bigl(\frac{1}{\cos t}+\tan t\Bigr)\,} $$
を得る。$y(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}\bigl(1-\log(1+\sqrt2)\bigr)\approx0.083882$ である。

$t>0$ で $y''-2y'+y=e^t/t$、$y(1)=y'(1)=0$ を解く。特性方程式 $(\lambda-1)^2=0$ から $y_1=e^t$、$y_2=te^t$、$W=e^{2t}$ である。
$$ u_1'=-\frac{te^t\cdot e^t/t}{e^{2t}}=-1,\qquad u_2'=\frac{e^t\cdot e^t/t}{e^{2t}}=\frac1t $$
なので、$t_0=1$ から積分して $u_1=-(t-1)$、$u_2=\log t$ であり、
$$ \boxed{\,y=e^t\,(t\log t-t+1)\,} $$
である。$y(2)=e^2(2\log2-1)\approx2.854351$ である。右辺 $e^t/t$ は微分を繰り返すと $e^t/t^2$、$e^t/t^3$、… が次々に現れて有限個の関数の 1 次結合で書けないので、解の形を予想する方法では扱えない（解には $\log t$ が現れる）。

$t>0$ で $t^2y''-2ty'+2y=t^3$ を考える。斉次方程式は $y_1=t$、$y_2=t^2$ を解にもち、$W=t\cdot2t-t^2=t^2$ である。まず正規形にする：$t^2$ で割って $y''-\frac2ty'+\frac2{t^2}y=t$、すなわち $g=t$ である。$u_1'=-\frac{t^2\cdot t}{t^2}=-t$、$u_2'=\frac{t\cdot t}{t^2}=1$ から $u_1=-\frac{t^2}2$、$u_2=t$ で、$y_p=-\frac{t^3}{2}+t^3=\frac{t^3}{2}$ である（代入すると $3t^3-3t^3+t^3=t^3$）。正規形にせずに $g=t^3$ のまま計算すると $\frac{t^5}{12}$ となり、これは解でない（代入すると $t^5$）。

$x'=Ax+b(t)$、$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$、$b(t)=\begin{pmatrix}0\\e^t\end{pmatrix}$、$x(0)=0$ を解く。$A=I+N$（$N^2=0$、$IN=NI$）なので $e^{tA}=e^te^{tN}=e^t\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ である。表の定数係数の行から
$$ x(t)=\int_0^te^{t-s}\begin{pmatrix}1&t-s\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\e^s\end{pmatrix}ds=e^t\int_0^t\begin{pmatrix}t-s\\1\end{pmatrix}ds=\boxed{\,e^t\begin{pmatrix}t^2/2\\t\end{pmatrix}\,} $$
である。$x(1)=(e/2,\,e)\approx(1.359141,\,2.718282)$ である。右辺の $e^t$ が $A$ の固有値 $1$ と重なるので、$t^2e^t$ の項が現れる。

$y'''=\cos t$、$y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ の解は、表の最後の行（$n=3$）から
$$ y=\int_0^t\frac{(t-s)^2}{2}\cos s\,ds=t-\sin t $$
である。

$y''+y=\cos t$、$y(0)=y'(0)=0$ の解は、表の $\omega=1$ の行から $y=\int_0^t\sin(t-s)\cos s\,ds=\frac{t\sin t}{2}$ である（積和の公式 $\sin(t-s)\cos s=\frac12\bigl(\sin t+\sin(t-2s)\bigr)$ を積分する）。振幅が $t$ に比例して大きくなる共振の解を、解の形を予想せずに得られる（線形微分方程式 の例「強制振動と共振」と同じ解）。

$\mathbb{R}$ 上で $y''=\operatorname{sgn}t$（$t>0$ で $1$、$t< 0$ で $-1$、$t=0$ で $0$）を考える。係数は連続だが右辺は $t=0$ で連続でない。表の $y^{(n)}=g$ の行（$n=2$、$t_0=0$）を形式的に使うと $y_p=\int_0^t(t-s)\operatorname{sgn}s\,ds=\frac{t\lvert t\rvert}{2}$ で、$y_p'=\lvert t\rvert$ は $t=0$ で微分できない。
実は 2 回微分可能な解は存在しない。$y''=\operatorname{sgn}t$ とすると、$t>0$ で $y'=t+\alpha$、$t< 0$ で $y'=-t+\beta$ であり、$y'$ は微分可能なので連続で $\alpha=\beta=y'(0)$ である。すると $\frac{y'(h)-y'(0)}{h}=\frac{\lvert h\rvert}{h}$ は $h\to0$ で収束せず、$y''(0)$ が存在しない。満たす性質は「正規形・係数が連続」、満たさない性質は「右辺が連続」である。

$\mathbb{R}$ 上で $t^2y''-2ty'+2y=2t^2$ を考える。係数と右辺は多項式で連続だが、最高階の係数 $t^2$ は $t=0$ で $0$ になる。$t>0$ で正規形にすると $g=2$、$y_1=t$、$y_2=t^2$、$W=t^2$ で、$u_2'=\frac{t\cdot2}{t^2}=\frac2t$ である。$t_0=0$ から積分すると $\int_\varepsilon^1\frac2s\,ds=-2\log\varepsilon\to\infty$（$\varepsilon\to+0$）で、公式が意味をもたない。また $t=0$ を代入すると方程式は $2y(0)=0$ を要求するので、$y(0)=1$ の初期値問題には解がない。$t>0$ だけで考えれば $y_p=2t^2(\log t-1)$ は解である。満たす性質は「係数と右辺が連続」、満たさない性質は「最高階の係数が $0$ にならない（正規形の係数が連続）」である。

$y''+y=g$ で $y_1=\cos t$、$y_2=2\cos t$ をとると、どちらも斉次方程式の解だが 1 次従属で、$W=\cos t\cdot(-2\sin t)-(-\sin t)\cdot2\cos t=0$ である。補助条件と方程式は $(u_1'+2u_2')\cos t=0$、$-(u_1'+2u_2')\sin t=g$ となり、$\cos t\ne0$ の点では第 1 式から $u_1'+2u_2'=0$、第 2 式から $g(t)=0$ が必要になる。よって $g$ が $0$ でない点の近くでは $u_1',u_2'$ が存在しない。満たす性質は「$y_j$ は斉次方程式の解」、満たさない性質は「1 次独立（基本解系）」である。

$y'=y^2+1$ は $\lvert t\rvert< \pi/2$ で $y=\tan t$ を解にもち、右辺の $1$ を除いた $y'=y^2$ は $y=\frac1{2-t}$ を解にもつ。しかし $z=\tan t+\frac1{2-t}$ を代入すると
$$ z'-z^2-1=-\frac{2\tan t}{2-t} $$
で、$t\ne0$ では $0$ でない（$t=1$ で $\approx-3.114815$）。線形方程式では「1 つの解 ＋ 斉次方程式の解」が一般解になり（線形微分方程式 の定理「解の存在と解空間」）、定数変化法はこの構造の上に立っている。満たす性質は「係数が連続」、満たさない性質は「線形」である。