局所体のBrauer群

Tateコホモロジー の記事の定理「巡回群のTateコホモロジーの周期性」（とその証明）により、$k\ge1$ について $H^{2k}(G,A)\cong A^G/N_GA$、$H^{2k-1}(G,A)\cong\ker N_G/(\varphi-1)A$ である。$A=U_M$ なら $N_G=N_{M/K}$、$U_M^G=U_K$ なので、$H^2(G,U_M)\cong U_K/N_{M/K}(U_M)$ であり、これは 局所類体論 の記事の命題「不分岐拡大のノルム」の (a) により自明である。また $H^3(G,U_M)\cong H^1(G,U_M)$ である。
$H^1(G,U_M)=0$ を示す。短完全列 $1\to U_M\to M^\times\xrightarrow{v_M}\mathbb{Z}\to0$（$\mathbb{Z}$ への作用は自明）の長完全列（群コホモロジー の記事の定理「群コホモロジーの長完全列」）の一部
$$ H^0(G,M^\times)\xrightarrow{\ v_M\ }H^0(G,\mathbb{Z})\to H^1(G,U_M)\to H^1(G,M^\times) $$
において、$H^0(G,M^\times)=K^\times\ni\pi$ で $v_M(\pi)=1$ なので左の写像は全射であり、$H^1(G,M^\times)=0$ である（Galoisコホモロジー の記事の定理「乗法群の1次コホモロジーの消滅」、Hilbert の定理 90）。よって $H^1(G,U_M)=0$ である。$\square$

同じ短完全列の長完全列の一部 $H^2(G,U_M)\to H^2(G,M^\times)\xrightarrow{(v_M)_*}H^2(G,\mathbb{Z})\to H^3(G,U_M)$ と lem-lbr-units から、$(v_M)_*$ は同型である。$\delta$ は同型である（def-lbr-invariant）。$G$ は $\varphi$ で生成される位数 $n$ の巡回群なので、準同型 $\chi\colon G\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は $\chi(\varphi)\in\tfrac1n\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ で決まり、その値は任意にとれる。よって $\chi\mapsto\chi(\varphi)$ は同型 $\operatorname{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong\tfrac1n\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ である。3 つの同型の合成なので $\operatorname{inv}_{K_n/K}$ は同型である。後半は (B1) による。$\square$

(B2) により、包含は制限写像 $\rho\colon G_{n'}\to G_n$ と包含 $K_n^\times\subseteq K_{n'}^\times$ からなる両立する対が引き起こすインフレーションに対応する。$v_{K_{n'}}$ は $K_n^\times$ の上で $v_{K_n}$ に一致する（$\pi$ は両方の素元）ので、$(v_{K_{n'}})_*\circ\inf=\inf\circ(v_{K_n})_*$ である（(B3) の合成との両立）。(B3) によりインフレーションは $\delta$ と可換で、$H^1$ ではインフレーションは $\chi\mapsto\chi\circ\rho$ である。$\rho(\varphi_{n'})=\varphi_n$ なので $(\chi\circ\rho)(\varphi_{n'})=\chi(\varphi_n)$ である。以上から前半が従う。
$\alpha\in\mathrm{Br}(K_n/K)$ と $\beta\in\mathrm{Br}(K_{n''}/K)$ はともに $\mathrm{Br}(K_{nn''}/K)$ に入り（$K_n,K_{n''}\subseteq K_{nn''}$）、前半によりそこでの不変量はもとの不変量に等しいので、$\operatorname{inv}_K$ は矛盾なく定まる準同型で、各 $\operatorname{inv}_{K_n/K}$ の単射性から単射である。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}=\bigcup_n\tfrac1n\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ と prop-lbr-unramified から全射である。$\square$

制限の記述。 $\alpha$ は $K_m\subseteq L_m$ で分裂するので $\mathrm{res}_{L/K}(\alpha)$ は $L_m$ で分裂する。$L_m$ を含む $K$ の有限次 Galois 拡大 $N$ をとる。(B2) により、$\alpha$ は $H^2(\operatorname{Gal}(N/K),N^\times)$ ではインフレーションで表され、$\mathrm{res}_{L/K}(\alpha)$ はそれを $\operatorname{Gal}(N/L)$ に制限したものである。この合成は、両立する対「$\operatorname{Gal}(N/L)\to\operatorname{Gal}(K_m/K)$（$K_m$ への制限）、$K_m^\times\subseteq N^\times$」が引き起こす写像であり、それは対 $\rho\colon\operatorname{Gal}(L_m/L)\to\operatorname{Gal}(K_m/K)$（$K_m$ への制限）、$\iota\colon K_m^\times\subseteq L_m^\times$ が引き起こす写像 $(\rho,\iota)_*$ と、$\operatorname{Gal}(L_m/L)$ から $\operatorname{Gal}(N/L)$ へのインフレーションの合成に等しい（(B3) の合成との両立）。(B2) を $L$ に使うと、$\mathrm{Br}(L_m/L)$ の元として $\mathrm{res}_{L/K}(\alpha)=(\rho,\iota)_*(\alpha)$ である。
付値と Frobenius 元。 $v_{L_m}$ は $L$ の上で $v_L$ に（$L_m/L$ は不分岐）、$v_L$ は $K$ の上で $e\,v_K$ に一致する。$v_{L_m}$ の $K_m$ への制限は $v_{K_m}$ の正の整数倍 $e'v_{K_m}$ で（局所体 の記事の定理「標数0の局所体と有限次拡大」の 1）、$K$ の上で比べると $e'v_K=e\,v_K$ なので $e'=e$、すなわち $v_{L_m}\circ\iota=e\cdot v_{K_m}$ である。また $\varphi_L:=\varphi_{L_m/L}$ は剰余体に $x\mapsto x^{q^f}$ を引き起こし、その $K_m$ への制限も剰余体に $x\mapsto x^{q^f}$ を引き起こすので、$\rho(\varphi_L)=\varphi_m^{\,f}$ である（$\operatorname{Gal}(K_m/K)$ の元は剰余体への作用で決まる。不分岐拡大と完全分岐拡大 の記事の定理「不分岐拡大の存在と一意性」の 3）。
図式。 両立する対 $(\rho,e)$（$e$ は $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上の $e$ 倍写像）を考えると、次の図式は可換である。
$$ \xymatrix{ H^2(G_m,K_m^\times) \ar[r]^-{(v_{K_m})_*} \ar[d]_{(\rho,\iota)_*} & H^2(G_m,\mathbb{Z}) \ar[d]^{(\rho,e)_*} & \operatorname{Hom}(G_m,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \ar[l]_-{\delta} \ar[d]^{(\rho,e)_*} \\ H^2(G',L_m^\times) \ar[r]^-{(v_{L_m})_*} & H^2(G',\mathbb{Z}) & \operatorname{Hom}(G',\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \ar[l]_-{\delta} } $$
ここで $G'=\operatorname{Gal}(L_m/L)$ である。左の四角は $v_{L_m}\circ\iota=e\cdot v_{K_m}$ と (B3) の合成との両立から、右の四角は $e$ 倍写像が短完全列 $0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0$ の自己準同型であることと (B3) から可換である。右の縦の写像は $\chi\mapsto e\cdot(\chi\circ\rho)$ である。$\chi:=\delta^{-1}(v_{K_m})_*(\alpha)$ とすると $\operatorname{inv}_K(\alpha)=\chi(\varphi_m)$ で、
$$ \operatorname{inv}_L(\mathrm{res}_{L/K}\alpha)=e\cdot\chi(\rho(\varphi_L))=e\cdot\chi(\varphi_m^{\,f})=ef\cdot\chi(\varphi_m)=d\cdot\operatorname{inv}_K(\alpha) $$
である。$\square$

(B1) と Tateコホモロジー の記事の定理「巡回群のTateコホモロジーの周期性」により、$\mathrm{Br}(L/K)\cong H^2(\operatorname{Gal}(L/K),L^\times)\cong K^\times/N_{L/K}(L^\times)$ である。この位数は $n$ である（局所体のノルム群 の記事の定理「巡回拡大のノルム群の指数」）。$\square$

要点：$p$ 群なら指数 $p$ の正規部分群で巡回拡大の塔に分け、lem-lbr-cyclic を繰り返す。一般の場合は Sylow 部分群への制限が $p$ 準素部分で単射であることを使う。

(i)。 $\alpha\in\mathrm{Br}(K)$ とする。(B1) により、ある有限次 Galois 拡大 $L/K$ について $\alpha\in\mathrm{Br}(L/K)$ である。$n:=[L:K]$ とし、$\beta\in\mathrm{Br}(K_n/K)$ を任意にとる。prop-lbr-restriction により $\mathrm{res}_{L/K}(\beta)\in\mathrm{Br}(L_n/L)$ で、$\operatorname{inv}_L(\mathrm{res}_{L/K}\beta)=n\cdot\operatorname{inv}_K(\beta)=0$ である（prop-lbr-unramified により $\operatorname{inv}_K(\beta)\in\tfrac1n\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$）。$L$ についての prop-lbr-unramified により $\operatorname{inv}_{L_n/L}$ は単射なので $\mathrm{res}_{L/K}(\beta)=0$、すなわち $\beta\in\mathrm{Br}(L/K)$ である。よって $\mathrm{Br}(K_n/K)\subseteq\mathrm{Br}(L/K)$ であり、prop-lbr-unramified と prop-lbr-bound から
$$ n=|\mathrm{Br}(K_n/K)|\le|\mathrm{Br}(L/K)|\le n $$
なので $\mathrm{Br}(L/K)=\mathrm{Br}(K_n/K)$ である。とくに $\alpha\in\mathrm{Br}(K_n/K)\subseteq\mathrm{Br}(K^{\mathrm{ur}}/K)$ である。
(ii)。 (i) と prop-lbr-inflation による。
(iii)。 (i) により $\alpha\in\mathrm{Br}(K_m/K)$ となる $m$ があるので、prop-lbr-restriction による。
(iv)。 $\alpha\in\mathrm{Br}(L/K)$ は $\mathrm{res}_{L/K}(\alpha)=0$ と同値で、(ii) を $L$ に使うと $\operatorname{inv}_L$ は単射なので、(iii) により $n\cdot\operatorname{inv}_K(\alpha)=0$ と同値である。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ で $n$ 倍して $0$ になる元の全体は $\tfrac1n\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ である。$\square$

$r$ を $[D]$ の位数とする。次数 $d$ の中心単純環の類は $d$ 倍で $0$ になるので $r\mid d$ である（Brauer群 の記事の系「捩れ群であること」の後半。この記事では証明しない）。逆に、主定理の (ii) により $\operatorname{inv}_K([D])\in\tfrac1r\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ なので $[D]\in\mathrm{Br}(K_r/K)$ である。$\mathrm{Br}(K_r/K)$ の各類は、次元 $r^2$ の交叉積 $C(K_r,G_r,c)$ で代表される（NSW20 Proposition (6.3.3) (iv) と、その直後の同型の構成, pp. 350–351）。$C\cong M_s(D')$（$D'$ は中心斜体）と書くと、Brauer群 の記事の命題「斜体による代表」により $D'\cong D$ で、$r^2=s^2d^2$ から $d\mid r$ である。よって $r=d$ である。
後半：Brauer群 の記事の命題「斜体による代表」により、$\mathrm{Br}(K)$ の元と中心斜体の同型類は 1 対 1 に対応し、いま示したことから位数 $d$ の元は $d^2$ 次元の斜体に対応する。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の位数 $2$ の元は $1/2$ だけである。$\square$