Frobenius–Schurの指示子

群の指標 の命題「双対・テンソル積・逆元での値」の 3 により、$\rho(g)$ は対角化できる。固有ベクトルの基底 $v_1,\dots,v_d$、$gv_i=\lambda_iv_i$ をとる。$w_{ij}:=v_i\otimes v_j+v_j\otimes v_i$（$i\le j$）は $\mathrm{S}^2V$ の基底、$w'_{ij}:=v_i\otimes v_j-v_j\otimes v_i$（$i< j$）は $\Lambda^2V$ の基底であり（$v_i\otimes v_j$ が $V\otimes V$ の基底なので、$\tau$ の固有値 $\pm1$ の固有空間はこれらで張られる）、$g$ は $w_{ij}$、$w'_{ij}$ にそれぞれ $\lambda_i\lambda_j$ 倍で作用する。よって
$$ \chi_{\mathrm{S}^2V}(g)=\sum_{i\le j}\lambda_i\lambda_j,\qquad\chi_{\Lambda^2V}(g)=\sum_{i< j}\lambda_i\lambda_j $$
である。差は $\sum_i\lambda_i^2=\operatorname{tr}\rho(g^2)=\chi_V(g^2)$、和は $\bigl(\sum_i\lambda_i\bigr)^2=\chi_V(g)^2$ である。$\square$

有限次元の表現 $W$ について、$W$ 上の $G$ 不変な線形形式とは自明表現 $\mathbf 1$ への射のことであり、群の指標 の補題「射の空間の次元」により、その空間の次元は $\langle\mathbf 1,\chi_W\rangle=\overline{\langle\chi_W,\mathbf 1\rangle}=\overline{\dim W^G}=\dim W^G$ である。直前の段落の同一視を $W=\mathrm{S}^2V$、$\Lambda^2V$ に当てると前半の 2 式を得る。同じ補題の後半と lem-fs-square から
$$ a_+(V)-a_-(V)=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}\bigl(\chi_{\mathrm{S}^2V}(g)-\chi_{\Lambda^2V}(g)\bigr)=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}\chi_V(g^2)=\nu(V) $$
である。$\square$

1。 $G$ 不変な双線形形式 $B$ に、線形写像 $\beta_B\colon V\to V^*$、$\beta_B(u):=B(u,\cdot)$ を対応させる。$B$ が $G$ 不変であることは、$\beta_B(gu)=B(gu,\cdot)=B(u,g^{-1}\cdot)=g\cdot\beta_B(u)$、すなわち $\beta_B$ が双対表現 $V^*$（$g$ が $\lambda\mapsto\lambda\circ\rho(g)^{-1}$ で作用する）への $G$ 射であることと同値であり、$B\mapsto\beta_B$ は $G$ 不変な双線形形式の空間から $\operatorname{Hom}_G(V,V^*)$ への同型である。
$\chi_{V^*}(g)=\chi(g^{-1})=\overline{\chi(g)}$ である（群の指標 の命題「双対・テンソル積・逆元での値」の 2・3）。$V^*$ も既約なので（不変部分空間 $U\subset V^*$ の零化空間は $V$ の不変部分空間である）、群の指標 の定理「第一直交関係」により $\dim\operatorname{Hom}_G(V,V^*)=\langle\chi_{V^*},\chi\rangle$ は、$\overline\chi=\chi$ なら $1$、そうでなければ $0$ である。同じ記事の系「重複度・同値の判定・既約性の判定」の 2 により、$\overline\chi=\chi$ は $V\cong V^*$ と同値である。
$B\neq0$ なら $\beta_B$ は既約表現の間の $0$ でない射なので、Schur の補題（群の表現 の定理「Schur の補題」）により同型であり、$B$ は非退化である。空間が 1 次元なので $B$ は定数倍を除いて一意である。$B_\pm(u,v):=\frac12\bigl(B(u,v)\pm B(v,u)\bigr)$ はどちらも $G$ 不変で、$B=B_++B_-$ であり、$B_+$ は対称、$B_-$ は交代である。一意性から $B_+$、$B_-$ はどちらも $B$ の定数倍で、対称かつ交代な形式は $0$ なので、どちらか一方が $0$ である。
2。 prop-fs-count の記号で、1 により $a_+(V)+a_-(V)$ は $\chi$ が実数値なら $1$、そうでなければ $0$ である（$G$ 不変な双線形形式は対称部分と交代部分の和にただ一通りに書けるので、その空間の次元は $a_++a_-$ である）。$\chi$ が実数でない値をとれば $a_+=a_-=0$ で、$\nu(V)=0$ であり、実型でも四元数型でもない。$\chi$ が実数値なら $(a_+,a_-)$ は $(1,0)$ か $(0,1)$ で、それぞれ実型で $\nu(V)=1$、四元数型で $\nu(V)=-1$ である。$\square$

要点：実行列で表せれば実の不変内積が不変な対称形式になる。逆は、不変な形式 $B$ と不変な Hermite 内積を比べて共役線形な $J$ を作り、Schur の補題で $J^2$ をスカラーにして $J^2=\pm\mathrm{id}$ と正規化する。

$x\mapsto yxy^{-1}$ は $g$ の平方根と $ygy^{-1}$ の平方根の間の全単射なので、$r$ は類関数である。群の指標 の定理「既約指標は類関数の正規直交基底」により $r=\sum_k\langle r,\chi_{V_k}\rangle\chi_{V_k}$ である。各 $x\in G$ はちょうど 1 つの $g=x^2$ の平方根として数えられるので
$$ \langle r,\chi_{V_k}\rangle=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}r(g)\overline{\chi_{V_k}(g)}=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{x\in G}\overline{\chi_{V_k}(x^2)}=\overline{\nu(V_k)}=\nu(V_k) $$
である（prop-fs-count により $\nu(V_k)$ は整数）。$g=1$ では $\chi_{V_k}(1)=\dim V_k$ である。$\square$

$m:=\lvert G\rvert$ は奇数で $x^m=1$ なので、$(x^2)^{(m+1)/2}=x^{m+1}=x$ であり、$x\mapsto x^2$ は $G$ の全単射である。よって自明でない既約表現 $V$ について $\nu(V)=\frac{1}{m}\sum_x\chi_V(x^2)=\frac1m\sum_x\chi_V(x)=\langle\chi_V,\mathbf 1\rangle=0$ であり（群の指標 の定理「第一直交関係」）、thm-fs-main により $V$ は複素型である。$\square$