開被覆
概要
開被覆（open cover）とは、位相空間 $X$ の開集合の族であって、その合併が $X$ 全体になるもののことであり、開被覆の部分族で再び被覆になるものを部分被覆という。開被覆には、有限、可算、点有限（各点を含む成員が有限個）、局所有限（各点のある近傍と交わる成員が有限個）、星状有限（各成員と交わる成員が有限個）の条件があり、有限 ⇒ 星状有限 ⇒ 局所有限 ⇒ 点有限 が成り立つが逆は成り立たない。任意の開被覆が有限部分被覆・可算部分被覆を持つ空間がコンパクト・Lindelöf 空間、星状有限・局所有限・点有限な開細分を持つ空間が強パラコンパクト・パラコンパクト・メタコンパクト空間であり、コンパクト ⇒ 強パラコンパクト ⇒ パラコンパクト ⇒ メタコンパクト が成り立つ。第二可算空間は Lindelöf であり、局所有限な族の合併の閉包は閉包の合併に等しい。
定義
位相空間 $X$ の部分集合の族（部分集合の集合）$\mathcal{U}$ が $X$ の被覆であるとは、$\bigcup\mathcal{U}=X$、すなわち $X$ の各点がある $U\in\mathcal{U}$ に属することをいう。成員がすべて開集合である被覆を $X$ の開被覆（open cover）といい、成員がすべて閉集合である被覆を閉被覆という。添字づけて $\mathcal{U}=\{U_i\mid i\in I\}$ と書くとき、開被覆であることは各 $U_i$ が開集合で $X=\bigcup_{i\in I}U_i$ となることである。
$X$ の部分集合 $A$ に対し、$X$ の開集合の族 $\mathcal{U}$ で $A\subset\bigcup\mathcal{U}$ となるものを、$A$ の（$X$ における）開被覆という。
$X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、次の用語を用いる。
- $\mathcal{U}$ の部分族 $\mathcal{V}\subset\mathcal{U}$ が $X$ の被覆であるとき、$\mathcal{V}$ を $\mathcal{U}$ の部分被覆という。
- $\mathcal{U}$ が有限（または可算）であるとは、成員が有限個（または高々可算個）であることをいう。
- $\mathcal{U}$ が点有限（point-finite）であるとは、$X$ の各点 $x$ について、$x$ を含む成員 $U\in\mathcal{U}$ が有限個しかないことをいう。
- $\mathcal{U}$ が局所有限（locally finite）であるとは、$X$ の各点 $x$ について、$x$ のある近傍 $V$ で、$V\cap U\neq\emptyset$ となる成員 $U\in\mathcal{U}$ が有限個しかないものが存在することをいう。
- $\mathcal{U}$ が星状有限（star-finite）であるとは、各成員 $U\in\mathcal{U}$ について、$U\cap U'\neq\emptyset$ となる成員 $U'\in\mathcal{U}$ が有限個しかないことをいう。
点有限・局所有限・星状有限は、被覆に限らず $X$ の部分集合の族一般について同じ言葉で定義する。また、$X$ の被覆 $\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の細分であるとは、$\mathcal{V}$ の各成員がある $U\in\mathcal{U}$ に含まれることをいい、成員が開集合の細分を開細分という。任意の開被覆が有限な部分被覆を持つ位相空間をコンパクトという。
直感
開被覆は、空間を「各点の近くを見るための開集合の集まり」で覆ったものである。位相空間の多くの性質は、「どんな開被覆をとっても、それを有限個・可算個・点有限・局所有限・星状有限の開被覆で置き換えられるか」という形で述べられる。コンパクト性は有限部分被覆の存在、Lindelöf 性は可算部分被覆の存在であり、パラコンパクト性やメタコンパクト性は局所有限・点有限な開細分の存在である。有限性の条件の間には「有限 ⇒ 星状有限 ⇒ 局所有限 ⇒ 点有限」という含意があり、対応する空間のクラスの間にも同じ向きの含意がある。
例と反例
$X=\mathbb{R}$ とする。
- $\mathcal{U}_1=\{(n-1,n+1)\mid n\in\mathbb{Z}\}$ は開被覆である（$x\in\mathbb{R}$ に対し $n=\lfloor x\rfloor$ とすると $x\in(n-1,n+1)$）。$(n-1,n+1)$ と $(m-1,m+1)$ が交わるのは $|n-m|<2$、すなわち $m\in\{n-1,n,n+1\}$ のときに限るので、$\mathcal{U}_1$ は星状有限である。成員は無限個なので有限ではない。
- $\mathcal{U}_2=\{(-n,n)\mid n\in\mathbb{N},\ n\ge1\}$ は開被覆である。点 $0$ はすべての成員に属するので、$\mathcal{U}_2$ は点有限でない。有限個の成員 $(-n_1,n_1),\dots,(-n_k,n_k)$ の合併は $(-N,N)$（$N=\max n_i$）であり $\mathbb{R}$ でないので、$\mathcal{U}_2$ は有限部分被覆を持たない。
$A=[0,1]\subset\mathbb{R}$ とする。$\mathbb{R}$ の開集合の族 $\{(-1,1/2),\ (1/4,2)\}$ は $A$ の $\mathbb{R}$ における開被覆である。各成員と $A$ の共通部分 $[0,1/2)$、$(1/4,1]$ は相対位相に関する $A$ の開集合であり、$A$ の（部分空間としての）開被覆をなす（prop-open-cover-subspace）。
次の例は、prop-open-cover-chain の含意「有限 ⇒ 星状有限 ⇒ 局所有限 ⇒ 点有限」のどれも逆が成り立たないこと、および「開被覆 ⇒ 点有限」が成り立たないことを示す。すべて $X=\mathbb{R}$ とする。
- 星状有限だが有限でない：ex-open-cover-real-line の $\mathcal{U}_1$。
- 局所有限だが星状有限でない：$\mathcal{U}_4=\{\mathbb{R}\}\cup\{(n-1,n+1)\mid n\in\mathbb{Z}\}$。各 $x$ について近傍 $(x-1/2,x+1/2)$ と交わる成員は $\mathbb{R}$ と、$|n-x|<3/2$ を満たす高々三つの $n$ に対する $(n-1,n+1)$ だけなので局所有限である。一方、成員 $\mathbb{R}$ は無限個の成員と交わるので星状有限でない。
- 点有限だが局所有限でない：$\mathcal{U}_3=\{(-\infty,0),\ (0,\infty),\ (-1,1)\}\cup\{(1/(n+2),1/n)\mid n\in\mathbb{N},\ n\ge1\}$。これは開被覆である。点 $x<0$ を含む成員は $(-\infty,0)$ と（$x>-1$ なら）$(-1,1)$、点 $0$ を含む成員は $(-1,1)$ のみ、点 $x>0$ を含む成員は $(0,\infty)$、（$x<1$ なら）$(-1,1)$、および $1/(n+2)< x<1/n$ を満たす $n$（$n<1/x$ なので有限個）に対する $(1/(n+2),1/n)$ である。よって点有限である。しかし $0$ の任意の近傍はある $(-\varepsilon,\varepsilon)$ を含み、$1/n<\varepsilon$ なる無限個の $n$ について $(1/(n+2),1/n)\subset(0,\varepsilon)$ と交わるので、局所有限でない。
- 点有限でない開被覆：ex-open-cover-real-line の $\mathcal{U}_2$。
開被覆は集合の族であり、被覆空間（covering space）とは別の概念である。被覆写像とは、連続写像 $p\colon E\to B$ であって、$B$ の各点が次の開近傍 $U$（被覆近傍）を持つものをいい、このとき $E$ を $B$ の被覆空間という：$p^{-1}(U)$ は $E$ の開集合の非交和であり、その各片は $p$ により $U$ に同相に写される。被覆写像の定義に現れる被覆近傍の全体は $B$ の開被覆であるが、開被覆自体は写像を伴わない。
性質
$X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、有限ならば星状有限、星状有限ならば局所有限、局所有限ならば点有限である。
有限 ⇒ 星状有限：成員が有限個なので、各成員と交わる成員も有限個である。星状有限 ⇒ 局所有限：$x\in X$ に対し、$x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ をとる。$U$ は開集合なので $x$ の近傍であり、$U$ と交わる成員は星状有限性により有限個である。局所有限 ⇒ 点有限：$x$ の近傍 $V$ で有限個の成員としか交わらないものをとると、$x$ を含む成員は $V$ と交わる（$x\in V\cap U$）ので有限個である。$\square$
$A$ を位相空間 $X$ の部分集合とし、相対位相を入れる。
- $X$ の開集合の族 $\mathcal{U}$ が $A$ の $X$ における開被覆ならば、$\mathcal{U}|_A:=\{U\cap A\mid U\in\mathcal{U}\}$ は部分空間 $A$ の開被覆である。逆に、部分空間 $A$ の任意の開被覆 $\mathcal{V}$ に対し、$X$ の開集合の族 $\mathcal{U}$ で $\mathcal{U}|_A=\mathcal{V}$ となるものが存在する。
- $A$ が（部分空間として）コンパクトであることと、$A$ の $X$ における任意の開被覆 $\mathcal{U}$ が、$A$ を覆う有限部分族 $\{U_1,\dots,U_k\}\subset\mathcal{U}$ を持つこととは同値である。
- $U\cap A$ は相対位相の定義により $A$ の開集合であり、$A\subset\bigcup\mathcal{U}$ より $\bigcup_{U\in\mathcal{U}}(U\cap A)=A$ である。逆に、$\mathcal{V}$ を $A$ の開被覆とし、$\mathcal{U}:=\{U\mid U\text{ は }X\text{ の開集合で }U\cap A\in\mathcal{V}\}$ とおく。相対位相の定義により $\mathcal{V}$ の各成員は $X$ のある開集合 $U$ により $U\cap A$ と書けるので $\mathcal{U}|_A=\mathcal{V}$ であり、$\bigcup\mathcal{U}\supset\bigcup\mathcal{V}=A$ である。
- $A$ がコンパクトで $\mathcal{U}$ が $A$ の $X$ における開被覆なら、$\mathcal{U}|_A$ は $A$ の開被覆なので有限部分被覆 $\{U_1\cap A,\dots,U_k\cap A\}$ を持ち、$U_1,\dots,U_k$ が $A$ を覆う。逆に、$\mathcal{V}$ を部分空間 $A$ の開被覆とし、(1) の $\mathcal{U}$ をとる。仮定により $A$ を覆う有限個の $U_1,\dots,U_k\in\mathcal{U}$ があり、$U_i\cap A\in\mathcal{V}$ が $A$ の有限部分被覆をなす。$\square$
$\mathcal{A}$ を位相空間 $X$ の部分集合の局所有限な族とする。このとき閉包の族 $\{\overline{A}\mid A\in\mathcal{A}\}$ も局所有限であり、$\overline{\bigcup\mathcal{A}}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}\overline{A}$ が成り立つ。特に、局所有限な閉集合の族の合併は閉集合である。
$x\in X$ に対し、$x$ の近傍 $V$ で有限個の $A\in\mathcal{A}$ としか交わらないものをとり、$V$ に含まれる $x$ の開近傍 $W$ をとる。開集合 $W$ が $\overline{A}$ と交わるなら $W$ は $A$ とも交わる（$W\cap\overline{A}$ の点の近傍 $W$ は $A$ と交わる）ので、$W$ と交わる $\overline{A}$ は有限個であり、閉包の族は局所有限である。
包含 $\supset$ は $A\subset\bigcup\mathcal{A}$ から従う。包含 $\subset$：$x\in\overline{\bigcup\mathcal{A}}$ とし、上の $W$ と交わる成員を $A_1,\dots,A_k$ とする。$x$ がどの $\overline{A_i}$ にも属さないと仮定すると、$W':=W\setminus(\overline{A_1}\cup\cdots\cup\overline{A_k})$ は $x$ の開近傍であり、$W'$ は $A_1,\dots,A_k$ と交わらず、他の成員とも（$W$ と交わらないので）交わらない。よって $W'\cap\bigcup\mathcal{A}=\emptyset$ となり、$x\in\overline{\bigcup\mathcal{A}}$ に反する。ゆえに $x\in\overline{A_i}$ となる $i$ がある。最後の主張は、閉集合 $A$ について $\overline{A}=A$ であることから従う。$\square$
位相空間 $X$ が高々可算な開基 $\mathcal{B}$ を持つならば、$X$ の任意の開被覆は高々可算な部分被覆を持つ。すなわち $X$ は Lindelöf である。また、有限部分被覆は高々可算なので、コンパクト空間は Lindelöf である。
$\mathcal{U}$ を開被覆とし、$\mathcal{B}':=\{B\in\mathcal{B}\mid B\subset U\text{ となる }U\in\mathcal{U}\text{ が存在する}\}$ とおく。$\mathcal{B}'$ は高々可算なので、可算選択公理により各 $B\in\mathcal{B}'$ に対し $B\subset U_B$ となる $U_B\in\mathcal{U}$ を選べる。$x\in X$ に対し $x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ をとると、$\mathcal{B}$ が開基なので $x\in B\subset U$ となる $B\in\mathcal{B}$ があり、$B\in\mathcal{B}'$、$x\in B\subset U_B$ である。よって $\{U_B\mid B\in\mathcal{B}'\}$ は高々可算な部分被覆である。$\square$
位相空間 $X$ について、任意の開被覆が星状有限な開細分を持つとき強パラコンパクト、局所有限な開細分を持つときパラコンパクト、点有限な開細分を持つときメタコンパクトという（本記事ではコンパクトを含めいずれも分離公理を仮定しない）。このとき、コンパクトならば強パラコンパクト、強パラコンパクトならばパラコンパクト、パラコンパクトならばメタコンパクトである。
$\mathcal{U}$ を開被覆とする。$X$ がコンパクトなら、有限部分被覆 $\mathcal{V}$ は $\mathcal{U}$ の有限な開細分（各 $V\in\mathcal{V}$ は $V\in\mathcal{U}$ に含まれる）であり、prop-open-cover-chain により星状有限である。開細分 $\mathcal{V}$ はそれ自身 $X$ の開被覆なので、prop-open-cover-chain により、星状有限な開細分は局所有限な開細分であり、局所有限な開細分は点有限な開細分である。$\square$
補足：被覆の条件と空間のクラス
| 開被覆に課す条件 | 「任意の開被覆がその条件を満たす部分被覆・開細分を持つ」空間 |
|---|---|
| 有限な部分被覆 | コンパクト空間 |
| 高々可算な部分被覆 | Lindelöf 空間 |
| 星状有限な開細分 | 強パラコンパクト空間 |
| 局所有限な開細分 | パラコンパクト空間 |
| 点有限な開細分 | メタコンパクト空間 |
パラコンパクト空間・強パラコンパクト空間・メタコンパクト空間の定義には、Hausdorff 性や正則性を含める流儀（Engelking89 §5.1・§5.3、公開記事 パラコンパクト空間）と含めない流儀（Mun00 §41）がある。四つのクラスすべてに同じ分離公理を付け加えても、prop-open-cover-space-classes の含意はそのまま成り立つ。第二可算空間が Lindelöf であることは公開記事 Lindelöf空間・第二可算公理 でも扱われるが、本記事では開被覆の操作の例として証明を与えた。局所有限な開被覆は、prop-open-cover-locally-finite-closure により閉包をとっても局所有限であり、この性質は 1 の分割の構成で用いられる。
