Northcottの定理
概要
Northcottの定理（Northcott's theorem）とは、整数 $D\ge1$ と実数 $B$ について、次数 $[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}]$ が $D$ 以下で Weil 高さ $h(x)$ が $B$ 以下の代数的数 $x$ は有限個しかないという定理であり、射影空間 $\mathbb{P}^n(\overline{\mathbb{Q}})$ の点についても同じことが成り立つ。とくに代数体 $K$ を固定すると、高さが有界な $\mathbb{P}^n(K)$ の点は有限個である。高さを原始的な最小多項式の最高次の係数と根の大きさで表す式から、係数が有界な整数係数多項式は有限個であることに帰着して示せる。次数の上界は外せず、$2^{1/m}$ は高さが $\log 2$ 以下で無限個ある。
Northcottの定理（Northcott's theorem）とは、次数と Weil高さ がともに有界な代数的数は有限個しかない、という定理である。正確には、整数 $D\ge1$ と実数 $B$ について、$[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}]\le D$ かつ $h(x)\le B$ をみたす代数的数 $x$ は有限個であり、射影空間の点についても同じことが成り立つ。とくに、代数体 $K$ を固定すれば、高さが有界な $K$ の元、$\mathbb{P}^n(K)$ の点は有限個である。D. G. Northcott による。
有理数 $a/b$（既約）の高さは $\log\max(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert)$ なので、有理数の場合は「分子と分母の絶対値が有界な分数は有限個」という当たり前のことである。代数的数では、高さが実数・複素数としての大きさだけでなく分母の大きさも測っていることが効いて、同じ有限性が次数ごとに成り立つ。次数の上界は外せない。$2^{1/m}$（$m=1,2,\dots$）は高さがすべて $\log2$ 以下だが、無限個ある。
この性質は、有理点の有限性を示す議論の出発点になる。点の集合の高さが有界であることを示せば、有限性が従うからである。この記事では、高さを最小多項式の係数と根で表す公式を Gauss の補題から導き、それを使って定理を証明し、個数の具体的な上界を与える。応用として、写像の前周期点の有限性を述べる。
高さの復習
$K$ を 代数体、$M_K$ をその素点全体とし、$\|\cdot\|_v$ を Weil高さ の節「素点と正規化された絶対値」の正規化された絶対値とする。すなわち、素イデアル $\mathfrak{p}$（ノルムを $N(\mathfrak{p}):=\lvert\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}\rvert$ と書く）に対応する有限素点では $\|x\|_v=N(\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$、実埋め込み $\sigma$ に対応する素点では $\|x\|_v=\lvert\sigma(x)\rvert$、複素埋め込みの組 $\{\sigma,\bar\sigma\}$ に対応する素点では $\|x\|_v=\lvert\sigma(x)\rvert^2$ である。無限素点 $v$ について、実なら $N_v:=1$、複素なら $N_v:=2$ とおくと、$\sum_{v\mid\infty}N_v=[K:\mathbb{Q}]$ である。
$x\in K$ について
$$
h(x):=\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\sum_{v\in M_K}\log\max\{1,\|x\|_v\}
$$
とおく。$P=[x_0:\dots:x_n]\in\mathbb{P}^n(K)$ については $h(P):=\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\sum_v\log\max_i\|x_i\|_v$ とする。代数的数 $x$ や $\mathbb{P}^n(\overline{\mathbb{Q}})$ の点については、座標を含む任意の代数体 $K$ で計算する。代数的数 $x$ の 次数 は $[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}]$、点 $P$ の次数は定義体 $\mathbb{Q}(P)$ の次数 $[\mathbb{Q}(P):\mathbb{Q}]$ である。
この定義が座標と $K$ のとり方によらないこと、$h\ge0$ であること、$x$ とその共役が同じ高さをもつことは、Weil高さ の命題「定義がよいこと」と命題「高さの基本性質」の 4 にある。この記事ではこれらを使う。有限素点の $\|\cdot\|_v$ はそれ自身が非 Archimedes 的な絶対値である（$\|x+y\|_v\le\max\{\|x\|_v,\|y\|_v\}$、$\|xy\|_v=\|x\|_v\|y\|_v$）。
高さと最小多項式
Gauss の補題
$L$ を体、$\lvert\cdot\rvert$ を $L$ の非 Archimedes 的な絶対値とする。多項式 $f=\sum_ia_iT^i\in L[T]$ について $\lvert f\rvert:=\max_i\lvert a_i\rvert$ とおく。このとき $f,g\in L[T]$ について $\lvert fg\rvert=\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ である。
$f$ または $g$ が $0$ なら明らか。$f=\sum a_iT^i$、$g=\sum b_jT^j$ とし、$\lvert a_i\rvert=\lvert f\rvert$ となる最小の $i$ を $i_0$、$\lvert b_j\rvert=\lvert g\rvert$ となる最小の $j$ を $j_0$ とする。$fg$ の係数はどれも $\lvert a_ib_j\rvert\le\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ の項の和なので、$\lvert fg\rvert\le\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ である。$T^{i_0+j_0}$ の係数 $c=\sum_{i+j=i_0+j_0}a_ib_j$ を見る。項 $a_{i_0}b_{j_0}$ は絶対値 $\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ をもつ。ほかの項では $i< i_0$ か $j< j_0$ なので、$\lvert a_i\rvert< \lvert f\rvert$ または $\lvert b_j\rvert< \lvert g\rvert$ であり、絶対値は $\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ より小さい。非 Archimedes 的な絶対値では、最大の項がただ 1 つなら和の絶対値はその項の絶対値に等しいので、$\lvert c\rvert=\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ である。よって $\lvert fg\rvert\ge\lvert f\rvert\,\lvert g\rvert$ である。$\square$
最後の事実は次のとおりである。$\lvert y\rvert< \lvert x\rvert$ なら $\lvert x+y\rvert\le\max\{\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\}=\lvert x\rvert$ であり、$\lvert x\rvert=\lvert(x+y)-y\rvert\le\max\{\lvert x+y\rvert,\lvert y\rvert\}$ から $\lvert x+y\rvert\ge\lvert x\rvert$ が従う。
1 次式 $T-\alpha$ では $\lvert T-\alpha\rvert=\max\{1,\lvert\alpha\rvert\}$ なので、補題を繰り返し使うと
$$
\Bigl\lvert a\prod_{i=1}^d(T-\alpha_i)\Bigr\rvert=\lvert a\rvert\prod_{i=1}^d\max\{1,\lvert\alpha_i\rvert\}
$$
である。この式が、有限素点での高さの寄与を係数で書き直す鍵になる。
高さの公式
代数的数 $x$ の次数を $d$ とする。$x$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式に分母の公倍数を掛け、係数の最大公約数で割ると、係数が互いに素な整数で最高次の係数が正の多項式
$$
f(T)=a_dT^d+a_{d-1}T^{d-1}+\dots+a_0=a_d\prod_{i=1}^d(T-x_i)\in\mathbb{Z}[T]
$$
が一意に定まる。これを $x$ の 原始的な最小多項式 という。$x_1,\dots,x_d$ は $x$ の共役（$f$ の複素数の根）である。
上の記号で
$$
d\,h(x)=\log a_d+\sum_{i=1}^d\log\max\{1,\lvert x_i\rvert\}
$$
が成り立つ。ここで $\lvert x_i\rvert$ は複素数としての絶対値である。
右辺の $a_d\prod_i\max\{1,\lvert x_i\rvert\}$ を $f$ の Mahler 測度 という。
$L:=\mathbb{Q}(x_1,\dots,x_d)\subset\mathbb{C}$ とする。共役は同じ高さをもつので $d\,h(x)=\sum_ih(x_i)$ であり、$L$ で計算して
$$
[L:\mathbb{Q}]\,d\,h(x)=\sum_{w\in M_L}\sum_{i=1}^d\log\max\{1,\|x_i\|_w\}
$$
である。素点を有限と無限に分けて計算する。
有限素点．$w$ を有限素点とし、$p$ を $w$ の下にある素数とする。$\|\cdot\|_w$ は非 Archimedes 的な絶対値なので、lem-nc-gauss とその後の式により $\|f\|_w=\|a_d\|_w\prod_i\max\{1,\|x_i\|_w\}$ である。$f$ の係数は整数なので $\|a_j\|_w\le1$ であり、係数は互いに素なので $p$ で割り切れない係数 $a_j$ があって $\|a_j\|_w=1$ である。よって $\|f\|_w=1$ で、
$$
\sum_{i=1}^d\log\max\{1,\|x_i\|_w\}=-\log\|a_d\|_w
$$
である。積公式（アデール環 の定理「積公式」）により $\sum_{w\in M_L}\log\|a_d\|_w=0$ なので、有限素点について足すと
$$
\sum_{w\nmid\infty}\bigl(-\log\|a_d\|_w\bigr)=\sum_{w\mid\infty}\log\|a_d\|_w=\sum_{w\mid\infty}N_w\log a_d=[L:\mathbb{Q}]\log a_d
$$
である。
無限素点．無限素点 $w$ は埋め込み $\sigma\colon L\to\mathbb{C}$ で与えられ、$\|x_i\|_w=\lvert\sigma(x_i)\rvert^{N_w}$ である。$\sigma$ は $f$ の根を $f$ の根に移す単射なので、$\{x_1,\dots,x_d\}$ の置換を引き起こす。よって $\sum_i\log\max\{1,\|x_i\|_w\}=N_w\sum_i\log\max\{1,\lvert x_i\rvert\}$ であり、無限素点について足すと $[L:\mathbb{Q}]\sum_i\log\max\{1,\lvert x_i\rvert\}$ になる。
2 つを合わせて $[L:\mathbb{Q}]$ で割れば主張を得る。$\square$
上の記号で、すべての $j$ について
$$
\lvert a_j\rvert\le\binom{d}{j}\exp\bigl(d\,h(x)\bigr)\le2^d\exp\bigl(d\,h(x)\bigr)
$$
が成り立つ。
根と係数の関係により $a_j=(-1)^{d-j}a_d\,s_{d-j}$ で、$s_k$ は $x_1,\dots,x_d$ の $k$ 次の基本対称式である。$s_k$ は $\binom{d}{k}$ 個の項の和で、各項は $k$ 個の $x_i$ の積なので絶対値は $\prod_i\max\{1,\lvert x_i\rvert\}$ 以下である。よって $\lvert a_j\rvert\le\binom{d}{d-j}a_d\prod_i\max\{1,\lvert x_i\rvert\}=\binom{d}{j}\exp\bigl(d\,h(x)\bigr)$ であり（prop-nc-mahler）、$\binom{d}{j}\le2^d$ である。$\square$
- 既約分数 $x=a/b$（$b\ge1$）では $f=bT-a$ なので、$h(x)=\log\bigl(b\max\{1,\lvert a\rvert/b\}\bigr)=\log\max\{\lvert a\rvert,b\}$ であり、Weil高さ の命題「定義がよいこと」の 4 と一致する。
- 黄金比 $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ では $f=T^2-T-1$、根は $\varphi\approx1.618$ と $-1/\varphi\approx-0.618$ なので、$2h(\varphi)=\log\varphi$、$h(\varphi)=\tfrac12\log\varphi\approx0.2406$ である。
- $z=(3+4i)/5$ では $f=5T^2-6T+5$、根 $(3\pm4i)/5$ はともに絶対値 $1$ なので $2h(z)=\log5$ である。根が単位円上にあっても、最高次の係数が高さに現れる。
- $m\ge1$ について $2^{1/m}$ の最小多項式は $T^m-2$（Eisenstein の判定法で既約）で、根はすべて絶対値 $2^{1/m}$ なので、$m\,h(2^{1/m})=m\cdot\tfrac1m\log2$、すなわち $h(2^{1/m})=\tfrac1m\log2$ である。
2 と 3 の値は Weil高さ の例「黄金比」「絶対値が 1 の代数的数」で素点ごとに計算した値と一致する。
主定理
整数 $n\ge0$、$D\ge1$ と実数 $B$ について、集合
$$
\{P\in\mathbb{P}^n(\overline{\mathbb{Q}})\mid[\mathbb{Q}(P):\mathbb{Q}]\le D,\ h(P)\le B\}
$$
は有限集合である。とくに、次数が $D$ 以下で高さが $B$ 以下の代数的数は有限個であり、その個数は
$$
\sum_{d=1}^{D}d\,\bigl(2^{d+1}e^{dB}+1\bigr)^{d+1}
$$
以下である。
代数的数の場合．$x$ を次数 $d\le D$、$h(x)\le B$ の代数的数とし、$f=\sum_ja_jT^j$ をその原始的な最小多項式とする。cor-nc-coefficients により、すべての $j$ で $\lvert a_j\rvert\le2^de^{dB}=:R_d$ である。絶対値が $R_d$ 以下の整数は $2\lfloor R_d\rfloor+1\le2^{d+1}e^{dB}+1$ 個なので、$d+1$ 個の係数の組、したがって $f$ の候補は $(2^{d+1}e^{dB}+1)^{d+1}$ 個以下である。$x$ は $f$ の根で、$f$ の根は $d$ 個なので、次数がちょうど $d$ の $x$ は $d(2^{d+1}e^{dB}+1)^{d+1}$ 個以下である。$d=1,\dots,D$ について足せば個数の評価を得る。
射影空間の点の場合．$P=[x_0:\dots:x_n]$ が条件をみたすとする。$x_j\ne0$ となる $j$ をとって $y_i:=x_i/x_j$ とおくと、$y_i\in\mathbb{Q}(P)$ なので $y_i$ の次数は $D$ 以下である。各素点で $y_j=1$ により $\max\{1,\|y_i\|_v\}\le\max_k\|y_k\|_v$ なので、$h(y_i)\le h(P)\le B$ である。前段により、各 $y_i$ は有限集合に属する。$P$ は $j$ と $(y_0,\dots,y_n)$ で決まり、$j$ は $n+1$ 通りなので、$P$ は有限個である。$\square$
ここで $e^{dB}$ の $e$ は自然対数の底である。最小多項式の係数を有理数体上の射影空間の点とみなし、その高さを評価して Diophantus幾何学 の命題「Northcott の性質（有理数体の場合）」に帰着する証明もある。上の証明は同じ方針で、係数を整数に正規化して有限素点の寄与を prop-nc-mahler にまとめている。定理は Voj11 Theorem 2.7（p. 119）と Sil09 Theorem VIII.5.11（p. 233）にある。Sil09 は係数の高さと根の高さの比較 Theorem VIII.5.9（pp. 230–231）を使う。
代数体 $K$ と実数 $B$ について、$\{P\in\mathbb{P}^n(K)\mid h(P)\le B\}$ と $\{x\in K\mid h(x)\le B\}$ は有限集合である。
$P\in\mathbb{P}^n(K)$ なら $\mathbb{Q}(P)\subset K$ なので $[\mathbb{Q}(P):\mathbb{Q}]\le[K:\mathbb{Q}]$ であり、thm-nc-main を $D=[K:\mathbb{Q}]$ で使えばよい。$x\in K$ は $[x:1]$ に当てる。$\square$
高さ $B$ 以下の点の個数が $B\to\infty$ でどう増えるかについては、Schanuel による漸近式がある（Sil09 Remark VIII.5.12、p. 234）。
$0$ でない代数的数で、次数が $2$ 以下、高さが $0$ のものは
$$
\pm1,\quad \pm i,\quad \frac{\pm1\pm\sqrt{-3}}{2}
$$
の 8 個（複号は任意）で、どれも $1$ の冪根である。
prop-nc-mahler により、$h(x)=0$ であることは $a_d=1$ かつすべての共役が $\lvert x_i\rvert\le1$ をみたすことと同値である（右辺の各項は $0$ 以上）。このとき cor-nc-coefficients の証明から $\lvert a_j\rvert\le\binom{d}{j}$ である。
$d=1$ なら $f=T-a_0$、$\lvert a_0\rvert\le1$ で、$x\ne0$ から $x=\pm1$ である。$d=2$ なら $f=T^2+bT+c$、$\lvert b\rvert\le2$、$\lvert c\rvert\le1$ である。$c=0$ なら $f$ は $T$ で割れて既約でない。$c=-1$ なら判別式 $b^2+4>0$ で 2 根は実数、積は $-1$ で絶対値はともに $1$ 以下なので $\pm1$ となり、$f$ は既約でない。$c=1$ なら、$b=\pm2$ では $f=(T\pm1)^2$ で既約でなく、$b=0,1,-1$ では $T^2+1$、$T^2+T+1$、$T^2-T+1$ で、根はそれぞれ $\pm i$、$(-1\pm\sqrt{-3})/2$、$(1\pm\sqrt{-3})/2$ である。これらは $x^4=1$、$x^3=1$、$x^6=1$ をみたし、根の絶対値は $1$ である。$\square$
一般に、高さが $0$ の $0$ でない代数的数はちょうど $1$ の冪根である（Kronecker の定理。Weil高さ の定理「Kronecker の定理」）。その証明は、$x$ の冪 $x^m$ がすべて次数 $[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}]$ 以下で高さ $0$ なので、この定理により有限個しかないことを使う。
応用：前周期点の有限性
写像 $\phi\colon\mathbb{P}^n\to\mathbb{P}^n$ について、点 $P$ の軌道 $\{P,\phi(P),\phi(\phi(P)),\dots\}$ が有限集合であるとき、$P$ を $\phi$ の 前周期点 という。この有限性も Northcott の定理と呼ばれる（BIJ19 Theorem 4.1）。
$K$ を代数体、$\phi\colon\mathbb{P}^n\to\mathbb{P}^n$ を $K$ 上定義された次数 $d\ge2$ の射とする。$\phi$ の前周期点で $\mathbb{P}^n(K)$ に属するものは有限個である。
Weil高さ の節「高さ機械」の帰結により、定数 $C\ge0$ があってすべての $Q\in\mathbb{P}^n(\overline{\mathbb{Q}})$ について $h(\phi(Q))\ge d\,h(Q)-C$ である。$P\in\mathbb{P}^n(K)$ で $h(P)>C/(d-1)$ とすると
$$
h\bigl(\phi(P)\bigr)-h(P)\ge(d-1)h(P)-C>0
$$
なので $h(\phi(P))>h(P)>C/(d-1)$ である。$\phi(P)$ も $\mathbb{P}^n(K)$ の点なので、同じ議論を繰り返すと軌道の点の高さは狭義単調に増加し、軌道の点は互いに異なり、$P$ は前周期点でない。よって前周期点はすべて $h(P)\le C/(d-1)$ をみたし、cor-nc-number-field により有限個である。$\square$
有理数体の場合は、定数 $C$ を具体的に評価する証明が Diophantus幾何学 の定理「Northcott の定理（有理数体の場合）」にある。
反例と注意
定理の仮定を 1 つずつ外すと、結論は成り立たなくなる。確かめは表の下にある。
| 外す・替える条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 次数の上界 | $2^{1/m}$（$m=1,2,\dots$） | 高さ $\log2$ 以下の点は有限個 |
| 高さの上界 | 整数 $1,2,3,\dots$ | 次数 $1$ の点は有限個 |
| 高さ（複素数の絶対値に替える） | $1/m$（$m=1,2,\dots$） | $\lvert x\rvert\le1$ の次数 $1$ の点は有限個 |
| 代数体（無限体 $k$ 上の $k(t)$ に替える） | 定数 $c\in k$ | 高さ $0$ の元は有限個 |
各行の確かめを開く
1 行目：ex-nc-formula の 4 により $h(2^{1/m})=\tfrac1m\log2\le\log2$ で、次数は $m$ なので次数は有界でない。$2^{1/m}$ は互いに異なるので無限個ある。
2 行目：整数 $m$ の次数は $1$ だが $h(m)=\log\lvert m\rvert$ は有界でない。
3 行目：$1/m$ は複素数として絶対値 $1$ 以下で次数 $1$ だが、高さは $\log m$ である。高さが分母を測るので、高さで区切れば有限になる。
4 行目：$k(t)$ の元 $u=g/h$（$g,h\in k[t]$ は互いに素、$h\ne0$）の高さを $\max\{\deg g,\deg h\}$ と定めるのが、$a/b\mapsto\log\max\{\lvert a\rvert,\lvert b\rvert\}$ の類似である。定数 $c\in k$ は高さ $0$ で、$k$ が無限体なら無限個ある。$k$ が有限体なら、次数が $B$ 以下の多項式は有限個なので、高さ $B$ 以下の元は有限個である。
注意を 2 つ挙げる。
- 正の下界は次数による．Kronecker の定理により、$1$ の冪根でない $0$ でない代数的数の高さは正だが、$h(2^{1/m})=\tfrac1m\log2$ のように次数を上げればいくらでも $0$ に近い。次数を固定すると、定理により正の高さの最小値が存在する（高さ $1$ 以下の点は有限個なので、そのうちの正の値の最小をとればよい）。
- 豊富な直線束の高さ．射影多様体 $X$ と豊富な直線束 $\mathcal{L}$ の高さ $h_{\mathcal{L}}$ についても、次数と $h_{\mathcal{L}}$ が有界な点は有限個である（Weil高さ の定理「Weil の高さ機械」の 5）。$\mathcal{L}$ の冪で $X$ を射影空間に埋め込み、高さ機械の正規化・関手性・加法性を使うと、この記事の定理に帰着される。
関連項目
- 前提: Weil高さ, 代数体, 代数的数, 最小多項式
- 比較: Diophantus幾何学, Gaussの補題(多項式)
- 直後に読む: Siegelの定理(整数点), Mordell–Weilの定理
- 発展: Néron–Tate高さ, Vojta予想
参考文献
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