弧・弦・中心角

半径 $5$ の円の中心を $O$ とし、円周上の 2 点 $A$、$B$ に対して $\angle AOB=\theta$ とする。$OA=OB=5$ なので、三角形 $OAB$ は二等辺三角形である。
(1) $\theta=60^\circ$ のとき。二等辺三角形の底角は等しく、内角の和は $180^\circ$ なので、底角は $\dfrac{180^\circ-60^\circ}2=60^\circ$ である。3 つの角がすべて $60^\circ$ なので三角形 $OAB$ は正三角形で、$AB=5$ である。
(2) $\theta=90^\circ$ のとき。三角形 $OAB$ は直角二等辺三角形なので、三平方の定理より $AB^2=5^2+5^2=50$、$AB=5\sqrt2$ である。
(3) $\theta=120^\circ$ のとき。$O$ から $AB$ に垂線 $OM$ を下ろす。二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺に垂直で底辺を 2 等分する（下の lem-acc-perp で確かめる）ので、$\angle AOM=60^\circ$、$AM=MB$ である。直角三角形 $OAM$ で $AM=OA\sin60^\circ=5\cdot\dfrac{\sqrt3}2$ なので
$$ AB=2AM=5\sqrt3 $$
である。
中心角 $60^\circ$、$90^\circ$、$120^\circ$ に対して、弦の長さは $5$、$5\sqrt2\fallingdotseq7.07$、$5\sqrt3\fallingdotseq8.66$ と長くなる。ただし中心角が 2 倍の $120^\circ$ になっても、弦は 2 倍の $10$ にはならない。

原点 $O$ を中心とする半径 $5$ の円 $x^2+y^2=25$ の上に、4 点 $P(4,3)$、$Q(4,-3)$、$R(5,0)$、$S\left(\dfrac75,\dfrac{24}5\right)$ をとる。どれも $x^2+y^2=25$ を満たす（$S$ は $\dfrac{49}{25}+\dfrac{576}{25}=\dfrac{625}{25}=25$）。
(1) 弦の長さ。$PQ^2=0^2+6^2=36$、$RS^2=\left(5-\dfrac75\right)^2+\left(\dfrac{24}5\right)^2=\dfrac{324}{25}+\dfrac{576}{25}=\dfrac{900}{25}=36$ なので、$PQ=RS=6$ である。
(2) 中心角。ベクトルの内積で余弦を求める（ベクトルの内積（高校数学））。
$$ \cos\angle POQ=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{5\cdot5}=\frac{4\cdot4+3\cdot(-3)}{25}=\frac7{25},\qquad \cos\angle ROS=\frac{5\cdot\frac75+0\cdot\frac{24}5}{25}=\frac7{25} $$
余弦が等しく、どちらの角も $0^\circ$ と $180^\circ$ の間にあるので、$\angle POQ=\angle ROS$ である（約 $73.7^\circ$）。
(3) 中心から弦までの距離。弦 $PQ$ の中点は $M(4,0)$、弦 $RS$ の中点は $N\left(\dfrac{16}5,\dfrac{12}5\right)$ で、$OM=4$、$ON=\sqrt{\dfrac{256}{25}+\dfrac{144}{25}}=\sqrt{16}=4$ である。長さの等しい弦は、中心から同じ距離にある。

半径 $r=1$ の円で、中心角が $60^\circ$、$90^\circ$、$120^\circ$、$180^\circ$ の劣弧（最後は半円）を考える。弧の長さは $r\theta=\theta$ なので、順に $\dfrac\pi3\fallingdotseq1.047$、$\dfrac\pi2\fallingdotseq1.571$、$\dfrac{2\pi}3\fallingdotseq2.094$、$\pi\fallingdotseq3.142$ である。弦の長さは ex-acc-start と同じ計算を半径 $1$ で行うと、$1$、$\sqrt2\fallingdotseq1.414$、$\sqrt3\fallingdotseq1.732$、$2$ である（中心角 $180^\circ$ の弦は直径）。
どの場合も、弦の長さは弧の長さより短い。弦は 2 点を結ぶ線分で、弧は同じ 2 点を結ぶ曲がった道だからである。

ex-acc-two-chords の弦 $PQ$ と $RS$ は長さがどちらも $6$ で、中心角は $\cos\theta=\dfrac7{25}$ を満たす同じ角 $\theta\fallingdotseq73.7^\circ$ だった。これは条件 (iii) から (i) が出ることの例である。
弧の長さも確かめる。$\theta$ を弧度法で表すと約 $1.287$ なので、劣弧 $PQ$、$RS$ の長さはどちらも約 $5\times1.287=6.435$ で等しい（条件 (ii)）。弧の長さ $6.435$ は弦の長さ $6$ より長い。
さらに、原点のまわりに角 $\alpha$（$\cos\alpha=\dfrac45$、$\sin\alpha=\dfrac35$）だけ回転すると、$Q$ は $R$ に、$P$ は $S$ に移る。弦 $QP$ が回転でそのまま弦 $RS$ に重なるので、弦・弧・中心角がまとめて等しい。

ex-acc-two-chords の弦 $RS$（$R(5,0)$、$S\left(\dfrac75,\dfrac{24}5\right)$）の中点は $N_0\left(\dfrac{16}5,\dfrac{12}5\right)$ で、$ON_0=4$ である。半直線 $ON_0$ の上で原点からの距離が $5$ の点は
$$ \frac54\left(\frac{16}5,\frac{12}5\right)=(4,3) $$
で、これは ex-acc-two-chords の点 $P$ である。cor-acc-bisect の (2) より、$P$ は劣弧 $RS$ の中点である。実際、$RP^2=(5-4)^2+(0-3)^2=10$、$PS^2=\left(4-\dfrac75\right)^2+\left(3-\dfrac{24}5\right)^2=\dfrac{169}{25}+\dfrac{81}{25}=10$ で、弦 $RP$ と $PS$ の長さは等しい。
中心から弦までの距離は、(3) の式で $\sqrt{25-3^2}=4$ で、ex-acc-two-chords の (3) と一致する。

3 点 $A(4,6)$、$B(-2,6)$、$C(5,-1)$ を通る円の中心を求める。cor-acc-bisect の (1) より、中心は弦 $AB$ の垂直二等分線と弦 $AC$ の垂直二等分線の交点である。計算すると、中心は $(1,2)$、半径は $5$ である。

半径 $r$ の円周を $n$ 等分する点を順に結ぶと、正 $n$ 角形ができる。隣り合う 2 点の間の弧の中心角は $\dfrac{360^\circ}n$ なので、thm-acc-main により $n$ 本の辺はすべて等しく、thm-acc-length によりその長さは $2r\sin\dfrac{180^\circ}n$ である。

$n$ が大きいほど中心角が小さくなり、thm-acc-length のとおり 1 辺は短くなる。周の長さ $2nr\sin\dfrac{180^\circ}n$ を円周 $2\pi r$ と比べると円周率の評価になる。これは 正多角形で円周率を挟む で扱う。

1. 半径 $1$ の円と半径 $2$ の円で、中心角 $60^\circ$ の弧をとる（図 3）。どちらも中心と弦の両端でできる三角形は、2 辺が等しく頂角が $60^\circ$ なので正三角形である。弦の長さは半径と同じで、$1$ と $2$ である。中心角は等しいが、弦は等しくない。弧の長さも $\dfrac\pi3$ と $\dfrac{2\pi}3$ で等しくない。
2. 逆向きの反例は、半径 $5$ と $3$ の円の長さ $6$ の弦である（表の 2 行目）。
   (2) の確認を開く

   半径 $5$ の円では ex-acc-two-chords のとおり中心角は約 $73.7^\circ$ である。半径 $3$ の円では $6=2\cdot3$ なので弦は直径で、中心角は $180^\circ$ である。弦は等しいが、中心角は等しくない。

   どちらも、prf-acc-main の段 3・段 4 で使った「$OA=O'A'$」が成り立たないため、三角形が合同にならない。

半径 $1$ の円で $\angle AOB=60^\circ$ となる 2 点 $A$、$B$ をとる（図 4）。弦 $AB$ は 1 本で、長さは $1$ である。この弦に対する弧は、中心角 $60^\circ$ の劣弧と、中心角 $300^\circ$ の優弧の 2 つある。弧の長さは $\dfrac\pi3\fallingdotseq1.05$ と $\dfrac{5\pi}3\fallingdotseq5.24$ である。
つまり「弦が等しい」から「弧が等しい」を言うには、比べる弧を劣弧どうし（または優弧どうし）にそろえる必要がある。thm-acc-main の「どちらも劣弧か半円」という仮定は、このためにある。

弧の長さは中心角に比例する（一般角と弧度法）が、弦の長さは比例しない。半径 $1$ の円で、中心角 $60^\circ$ の弦は $1$、中心角 $120^\circ$ の弦は $\sqrt3\fallingdotseq1.732$ である。中心角を 2 倍にしても、弦は 2 倍の $2$ にならず、それより短い。
一般に、$0^\circ<\theta\le90^\circ$ のとき、2 倍角の公式より
$$ 2r\sin\frac{2\theta}2=2r\sin\theta=2r\cdot2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=\underbrace{2\cdot2r\sin\frac\theta2}_{\text{中心角 }\theta\text{ の弦の 2 倍}}\cdot\cos\frac\theta2 $$
である。$0^\circ<\dfrac\theta2\le45^\circ$ なので $0<\cos\dfrac\theta2<1$ で、中心角 $2\theta$ の弦は、中心角 $\theta$ の弦の 2 倍より短い。