鈴木群

要点：シンプレクティック性は列ベクトルどうしの $\gamma$ の値を確かめる。2・3 は点 $P(x,y)$ の代表元の像を計算し、$\sigma$ の加法性と $\sigma(\sigma(a))=a^2$ を使って、像の第 1 成分が $f$ の値に一致することを見る。5 は行列の成分の比較である。

$\sigma(z)=\sigma(x)\sigma(y)+y^2+x^2\sigma(x)^2$ である（$\sigma(\sigma(y))=y^2$、$\sigma(x^2\sigma(x))=\sigma(x)^2x^2$）。$z+xy=\sigma(y)+x^2\sigma(x)$ なので、左辺は
$$ (\sigma(y)+x^2\sigma(x))(\sigma(x)\sigma(y)+y^2+x^2\sigma(x)^2)=\sigma(x)\sigma(y)^2+y^2\sigma(y)+x^2y^2\sigma(x)+x^4\sigma(x)^3 $$
となる（$x^2\sigma(x)^2\sigma(y)$ が 2 回現れて消える）。右辺の $\sigma(x)z^2=\sigma(x)(x^2y^2+\sigma(y)^2+x^4\sigma(x)^2)$ に $y^2\sigma(y)$ を足したものと一致する。
$z=0$ なら卵形の等式から $y^2\sigma(y)=0$、よって $y=0$ で、$0=f(x,0)=x^2\sigma(x)$ から $x=0$ である。
$w$ は座標を逆順にする。$w\infty=P(0,0)$、$wP(0,0)=\infty$ である。$(x,y)\ne(0,0)$ なら $z\ne0$ で、$wP(x,y)=\langle{}^t(1,x,y,z)\rangle=\langle{}^t(z^{-1},\,x/z,\,y/z,\,1)\rangle$ である。これが $P(y/z,\,x/z)$ であること、すなわち $z^{-1}=f(y/z,x/z)$ を示せばよい。両辺に $z^2\sigma(z)$ を掛けると $z\sigma(z)=xy\sigma(z)+\sigma(x)z^2+y^2\sigma(y)$ となり、これは卵形の等式そのものである。よって $w(\mathcal O)\subset\mathcal O$ で、$w$ は可逆なので $w(\mathcal O)=\mathcal O$ である。$\square$

要点：$A$ は $\langle e_1,e_4\rangle$ とその直交補空間 $\langle e_2,e_3\rangle$ を保つので、ブロック対角の形に書ける。卵形の点 $P(0,y)$、$P(x,0)$ の像が再び卵形の点であるという条件を、$y\mapsto\sigma(y),\,y^2,\,y^2\sigma(y)$ の線形関係として書き、Dedekindの独立性定理 の定理「Dedekindの独立性定理」で係数を $0$ にして成分を決める。

lem-sz-elements の 2 により $T(a,b)P(0,0)=P(a,b)$ なので、$T$ は $\mathcal O\setminus\{\infty\}$ に推移的で、$|T|=q^2=|\mathcal O\setminus\{\infty\}|$ だから正則である。$A\in\mathrm{Sz}(q)$ が $\infty$ を固定するとき、$AP(0,0)=P(a,b)$ となる $(a,b)$ をとると $T(a,b)^{-1}A$ は $\infty$ と $P(0,0)$ を固定するので、lem-sz-two-point により $H$ に属する。逆に $TH$ の元は $\infty$ を固定する。$H$ は $P(0,0)$ を固定し $T$ は正則なので $T\cap H=1$ であり、lem-sz-elements の 5 から $T$ は $TH$ の正規部分群である。これで 2 が示された。
$w$ は $\infty$ を $P(0,0)$ に移すので、$\infty$ の軌道は $\mathcal O$ 全体である。$\infty$ の固定部分群が残りの点に推移的なので、作用は 2 重推移的である。$A\in\mathrm{Sz}(q)$ について $A\infty=\infty$ なら $A\in TH$、そうでなければ $A\infty=P(a,b)=T(a,b)w\infty$ となる $(a,b)$ があり $(T(a,b)w)^{-1}A\in TH$ なので、$\mathrm{Sz}(q)=\langle T,H,w\rangle$ である。軌道と固定部分群の関係から $|\mathrm{Sz}(q)|=(q^2+1)\,|TH|=(q^2+1)q^2(q-1)$ である。
3 を示す。$A\ne1$ が $3$ 点を固定するとする。2 重推移性により、その 2 点を $\infty$ と $P(0,0)$ としてよく（$A$ の共役をとる）、lem-sz-two-point により $A=H(k)$、$k\ne1$ である。3 点目 $P(x,y)\ne P(0,0)$ について、lem-sz-elements の 3 から $\sigma(k)x=x$、$k^2\sigma(k)y=y$ である。$x\ne0$ なら $\sigma(k)=1$ で $k=1$ となり矛盾する。$x=0$ なら $y\ne0$ で $k^2\sigma(k)=1$ である。これに $\sigma$ を施すと $\sigma(k)^2k^2=1$、すなわち $(k\sigma(k))^2=1$ なので $k\sigma(k)=1$ であり、$1=k^2\sigma(k)=k$ となってやはり矛盾する。行列 $A$ が $\mathcal O$ のすべての点を固定するなら $A=1$ なので、作用は忠実である。$\square$

1．$|\mathrm{Sz}(q)|/|T|=(q-1)(q^2+1)$ は奇数である。
2．積の公式で $c=a$、$d=b$ とおけばよい。$T(a,b)^2=1$ は $a\sigma(a)=0$、すなわち $a=0$ と同値で、$T(0,b)^2=T(0,0)=1$ である。$a\ne0$ なら $T(a,b)^2=T(0,a\sigma(a))\ne1$ は対合なので、$T(a,b)$ の位数は $4$ である。
3．積の公式から $T(a,b)T(c,d)$ と $T(c,d)T(a,b)$ の違いは第 2 成分の $c\sigma(a)$ と $a\sigma(c)$ だけなので、$T(a,b)$ が中心にあることは、すべての $c$ で $a\sigma(c)=c\sigma(a)$ となることと同値である。$a\ne0$ のとき $c=at$ とおくとこれは $a\sigma(a)(\sigma(t)+t)=0$ となるが、$\sigma(t)=t$ となる $t$ は $t^{r}=t$ を満たし、$\mathbb F_{2^{m+1}}\cap\mathbb F_{2^{2m+1}}=\mathbb F_{2^{\gcd(m+1,2m+1)}}=\mathbb F_2$ に属するので、$t\notin\mathbb F_2$ をとれば成り立たない。よって中心は $Z$ である。$b\mapsto T(0,b)$ は $(F,+)$ から $Z$ への同型で、$T(a,b)\mapsto a$ は $T$ から $(F,+)$ への全射準同型で核が $Z$ である。$Z\ne T$ なので $T$ は可換でない。
4．$H(k)T(0,b)H(k)^{-1}=T(0,k^2\sigma(k)b)$ である。$k\mapsto k^2\sigma(k)$ は $F^\times$ の自己準同型で、prf-sz-two-transitive で見たとおり核は $\{1\}$ なので全単射である。よって $b\ne0$ を任意の $b'\ne0$ に移す $k$ がある。$\square$

生成． $wH(k)w^{-1}=H(k)^{-1}$ と $w^2=1$ から $(H(k)w)^2=H(k)\,wH(k)w^{-1}=1$ なので、$H(k)=(H(k)w)\,w$ は対合 2 個の積である。次に、lem-sz-elements の 5 から交換子 $[H(k),T(a,b)]:=H(k)T(a,b)H(k)^{-1}T(a,b)^{-1}$ を計算すると
$$ [H(k),T(a,b)]=T\bigl((1+\sigma(k))a,\ (1+k^2\sigma(k))b+(1+k^2)a\sigma(a)\bigr) $$
である。$k\ne0,1$ を 1 つ固定すると、$\sigma(k)\ne1$、$k^2\sigma(k)\ne1$（prf-sz-two-transitive）なので、任意の $(\alpha,\beta)$ について $a:=\alpha/(1+\sigma(k))$ とし、$b$ を $(1+k^2\sigma(k))b=\beta+(1+k^2)a\sigma(a)$ で定めれば $[H(k),T(a,b)]=T(\alpha,\beta)$ となる。この交換子は $H(k)$ と、$H(k)^{-1}$ の共役 $T(a,b)H(k)^{-1}T(a,b)^{-1}$ の積なので、対合の積である。よって $T$、$H$、$w$ は対合の生成する部分群に含まれ、thm-sz-two-transitive の 4 によりそれは $\mathrm{Sz}(q)$ 全体である。
共役． 対合 $u$ を考える。$u$ の軌道の大きさは $1$ か $2$ で、$|\mathcal O|=q^2+1$ は奇数なので固定点が奇数個あり、thm-sz-two-transitive の 3 によりちょうど $1$ 個である。$q^2\ge2$ なので $u$ は 2 点を入れ替え、2 重推移性によりそれを $\infty$ と $P(0,0)$ としてよい（共役をとる）。$uw$ は $\infty$ と $P(0,0)$ を固定するので、lem-sz-two-point により $uw=H(k)$、$u=H(k)w$ と書ける。$k=l^2$ となる $l$ をとると、$H(l)wH(l)^{-1}=H(l)H(l)w=H(k)w=u$ である。よってどの対合も $w$ と共役である。$\square$

岩澤の単純性判定法 の系「2 重推移的な作用の場合」を、$\mathcal O$ への作用（thm-sz-two-transitive により 2 重推移的で忠実）と $x=\infty$、$A:=Z$ に当てはめる。
$Z$ は可換で、prop-sz-sylow の 3 により $T$ の中心なので $T$ で正規化され、$H(k)T(0,b)H(k)^{-1}=T(0,k^2\sigma(k)b)$ なので $H$ でも正規化される。よって $Z$ は $\infty$ の固定部分群 $TH$ の正規部分群である。$Z$ は対合を含み、lem-sz-involutions により $Z$ の共役全体はすべての対合を含むので、$\mathrm{Sz}(q)$ を生成する。
完全性を示す。積の公式から $[T(a,b),T(c,d)]=T(0,\ a\sigma(c)+c\sigma(a))$ であり、prf-sz-sylow の 3 で見たように $a=1$、$c=t\notin\mathbb F_2$ とすれば $\sigma(t)+t\ne0$ なので、交換子群 $[\mathrm{Sz}(q),\mathrm{Sz}(q)]$ は対合 $T(0,\sigma(t)+t)$ を含む。交換子群は正規部分群なので、lem-sz-involutions によりすべての対合を含み、したがって $\mathrm{Sz}(q)$ に等しい。
判定法の仮定がすべて満たされ、作用の核は自明なので、$\mathrm{Sz}(q)$ は単純群である。$\square$

$r^2=2q$ なので $(q+1)^2-r^2=q^2+1$ である。$q=2^{2m+1}\equiv2\pmod 3$ なので、$q^2\equiv1$、$q-1\equiv1$、$q^2+1\equiv2\pmod 3$ であり、積 $q^2(q-1)(q^2+1)$ は $3$ で割り切れない。$\square$