Fourier級数の項別微分
概要
Fourier級数の項別微分（termwise differentiation and integration of Fourier series）とは、周期的な関数を表す級数の各項を微分する操作である。導関数の係数と収束先を区別して正当化し、項別積分では平均による直線項を分ける。原始関数の展開や級数の和、偏微分方程式の解の計算に使われる。
前提知識: Fourier級数, 一様収束, 部分積分, Parsevalの等式
Fourier級数を積分すると各周波数の係数を振動数で割り、微分すると振動数を掛ける。この二つの操作は見た目には対称だが、収束に対する働きは反対である。積分は高い周波数の係数を小さくし、微分は大きくする。元の級数が一様に収束しているだけでは、微分した級数の収束は保証されない。
また、周期関数の原始関数は必ずしも周期関数ではない。平均が零でない入力を積分すると、一周期ごとに同じ量が積み重なり、直線的に増える項が生じる。この直線項を分けてから、残りを周期的な級数として扱う。本記事では積分の定理を区分的に連続な関数まで示し、微分については係数の等式と級数の各点収束を別々の条件で扱う。
規約と操作の意味
$f$ は $2\pi$ 周期とし、$c_n=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$ と書く。周期 $2L$ なら $n$ を $n\pi/L$ に置き換える。係数の規約は Fourier級数 の定義「Fourier 係数と Fourier 級数」と注意「周期が $2\pi$ でない場合」による。積分の始点は $0$ に固定する。定積分の始点を固定しておくと、項ごとの積分定数を集める問題を避けられる。
$S_N(x)=\sum_{n=-N}^Nc_ne^{inx}$ に対して、積分した部分和と微分した部分和を
$$
I_N(x)=\int_0^xS_N(t)\,dt
=c_0x+\sum_{0<|n|\le N}c_n\frac{e^{inx}-1}{in},
\qquad D_N(x)=\sum_{n=-N}^Nin c_ne^{inx}
$$
と定める。項別積分・項別微分の正当化とは、これらの極限がそれぞれ元の関数の積分・導関数に一致することを示すことである。
有限和に対する微積分はいつでもできる。難しいのは、微積分と $N\to\infty$ の極限を交換する段である。元の関数を級数で表した時点では、その交換まで示したことにはならない。特に、$f$ が連続でも、その導関数が存在するとは限らないし、存在しても導関数の級数の収束には別の検討が必要となる。
項別積分の定理
$f$ が $2\pi$ 周期で区分的に連続なら、任意の有界区間で $I_N$ は
$$
I(x)=\int_0^xf(t)\,dt
$$
に一様収束する。周期的な部分 $I(x)-c_0x$ の級数は絶対一様収束する。$I$ が周期的であるための必要十分条件は $c_0=0$ である。
区分的に連続な $f$ は一周期で有界で二乗積分可能である。Fourier級数 の定理「Bessel の不等式」から $\sum_n|c_n|^2$ は有限である。Cauchy–Schwarzの不等式を有限和に使い、極限をとると
$$
\sum_{n\ne0}\frac{|c_n|}{|n|}
\le\left(\sum_{n\ne0}|c_n|^2\right)^{1/2}
\left(\sum_{n\ne0}\frac1{n^2}\right)^{1/2}<\infty.
$$
従って $G(x)=\sum_{n\ne0}c_n(e^{inx}-1)/(in)$ はWeierstrassの優級数判定法により全直線で絶対一様収束し、連続かつ周期的で $G(0)=0$ となる。これで積分した級数の収束が分かったが、まだ積分そのものとの一致は示していない。
$P(x)=I(x)-c_0x$ とおく。一周期の積分は $2\pi c_0$ だから $P$ は周期的で、区分ごとに $P'=f-c_0$ となる。$P$ は連続で区分的に $C^1$ 級なので、部分積分を各区間に行うと、内部の境界項は連続性により消え、周期の端の項も消える。$n\ne0$ に対し
$$
\widehat P(n)=\frac{c_n}{in}
$$
である。一方、$G$ は一様収束する級数なので積分を項と交換でき、同じ非零周波数の係数を持つ。$P-G$ は連続な周期関数で、非零周波数の係数はすべて零である。
Parsevalの等式 の定理「Riemann 積分可能な関数の Parseval の等式」を $P-G$ からその平均を引いた関数に使う。その関数の全係数が零なので二乗積分は零となる。連続性から各点で零であり、$P-G$ は定数である。$P(0)=G(0)=0$ だから定数も零である。従って $I=c_0x+G$ を得る。有限部分和の直線項は同じ $c_0x$ なので、$G$ の一様収束から $I_N\to I$ も従う。
最後に $I(x+2\pi)-I(x)=2\pi c_0$ である。この差が零になることと $c_0=0$ は同値なので、周期性の必要十分条件を得る。$\square$
積分の定理では、元の部分和 $S_N$ の一様収束を仮定していない。元の関数に跳びがあっても、積分した関数は連続になる。点で変えた値は積分に影響しないので、元の級数が跳びの平均へ収束することとも矛盾しない。一方、積分した級数から元の関数を微分で取り戻すときは、$f$ の連続点での微分として読む。跳びの点で $I'$ が存在するとは限らない。
項別微分の条件
$f$ が連続な周期関数で区分的に $C^1$ 級なら、区間ごとの導関数 $g=f'_{\rm pw}$ の係数は
$$
\widehat g(n)=in c_n\quad(n\in\mathbb Z)
$$
である。さらに $g$ が区分的に $C^1$ 級なら、$D_N(x)$ は $(g(x+)+g(x-))/2$ に収束する。特に $f$ がその点の近傍で $C^2$ 級なら、極限は $f'(x)$ に等しい。
各区間で $f'e^{-inx}$ を積分すると
$$
\int f'e^{-inx}\,dx
=f e^{-inx}\Big|_{\rm left}^{\rm right}
+in\int f e^{-inx}\,dx
$$
となる。内部の区分点の境界項は $f(x_j-)-f(x_j+)$ を含むが、$f$ が連続なので零である。周期の端でも $f(-\pi)=f(\pi)$、$e^{in\pi}=e^{-in\pi}$ により零となる。$2\pi$ で割れば $\widehat g(n)=in c_n$ を得る。$n=0$ でも、一周期の導関数の積分が零なので同じ式が成り立つ。
従って $D_N$ は $g$ のFourier級数の部分和そのものである。$g$ が区分的に $C^1$ 級なら、Fourier級数 の系「区分的に $C^1$ 級の関数の各点収束」により左右極限の平均へ収束する。$f$ が近傍で $C^2$ 級なら $g$ はそこで連続で、二つの極限は $f'(x)$ に等しい。以上により、係数の等式と、微分した部分和の点での極限をそれぞれ示した。$\square$
この定理は、角のある点で導関数が存在すると述べていない。その点で微分した級数が有限値へ収束しても、それは左右の傾きの平均であり、元の関数の導関数ではない。左右の傾きが違えば、通常の微分係数は存在しない。図で滑らかに見える部分和が角を丸めても、極限の関数に角が消えるわけではない。
また、$f$ が連続で区分的に $C^1$ 級なら元の級数は一様収束する。この事実は Fourier級数 の定理「連続で区分的に $C^1$ 級の関数の一様収束」による。しかし一様収束の定理だけから微分を交換することはできない。微分した係数が $g$ の係数であることを確かめ、さらに $g$ の収束条件を用いるという二段階が必要である。
公式の表
| 操作 | 係数・答え | 条件 | 根拠 |
|---|---|---|---|
| $\int_0^xf$ | $c_0x+\sum_{n\ne0}c_n(e^{inx}-1)/(in)$ | $f$ は区分的連続 | thm-tfi-integration |
| 周期的原始関数 | 非零係数 $c_n/(in)$ | 平均零 | thm-tfi-integration |
| 導関数の係数 | $in c_n$ | $f$ は連続・周期的・区分的 $C^1$ | thm-tfi-differentiation |
| 微分した級数の各点収束 | 導関数の左右極限の平均 | 導関数が区分的 $C^1$ | thm-tfi-differentiation |
| 実数形の積分 | $a_0x/2+\sum(a_n\sin nx+b_n(1-\cos nx))/n$ | 始点 $0$ | 複素形との換算 |
同じ操作を二回行う場合も、二回目の入力を確認する。積分後の関数には直線項があるかもしれず、そのまま周期関数の係数の公式を適用してはいけない。微分後の関数は不連続になるかもしれず、二回目の部分積分には跳びの境界項が残る。Fourier級数の計算 の定理「区分的に滑らかな関数の跳び公式」は、この境界項を整理する方法である。
計算の手順
- $c_0$ を計算し、積分で直線項が必要かを判定する。
- 積分なら thm-tfi-integration の仮定を確認し、非零周波数の係数を $in$ で割る。始点で零になる定数を忘れない。
- 微分なら関数が周期の継ぎ目を含めて連続か確かめる。不連続なら単純な $in c_n$ の公式は使わない。
- 微分した級数がどの関数の級数かを定め、導関数の区分的滑らかさを確認する。
- 最後に代入点を選び、連続点なら導関数、角なら左右の傾きの平均として値を読む。
- 定積分・初期値を代入して積分定数を検証する。級数の和を作るときは、絶対収束を確かめてから二乗積分や和の交換を行う。
一周期の積分が零かを調べることは、周期的原始関数を求める前の最短の検査である。例えば入力が常に正なら平均も正なので、周期的な原始関数は存在しない。積分した関数が一周期の終わりで出発値に戻らないことを、係数の定数項だけで予測できる。負の部分と正の部分の面積がちょうど相殺する場合には、周期的な原始関数が可能となる。
例題
近似値は小数第6位までである。
Parsevalの等式 の例「2 次関数 $f(x)=x^2$ と 4 乗の逆数の和」にある係数を使う。平均を引いて $f(x)=x^2-\pi^2/3$ とすると、
$$
I(x)=\frac{x^3-\pi^2x}{3}
=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\sin nx}{n^3}
\quad(-\pi\le x\le\pi).
$$
$I(1)=(1-\pi^2)/3\approx-2.956535$ である。平均を引いたため、両端の値はともに零となり、周期的に連続な三次式を得る。単に $x^3$ だけを周期的に繰り返した場合と異なり、継ぎ目で値の跳びがないので係数は $1/n^3$ となる。
ex-tfi-cubic の実数正弦係数は $b_n=4(-1)^n/n^3$ である。Parsevalの等式 の定理「Riemann 積分可能な関数の Parseval の等式」を実数形に換算して用いると、
$$
16\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^6}
=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^3-\pi^2x}{3}\right)^2dx
=\frac{16\pi^6}{945}.
$$
従って $\sum_{n\ge1}n^{-6}=\pi^6/945\approx1.017343$ である。定理そのものの証明をここで繰り返さず、新しく得た三次式に適用する。二乗積分を計算すると、$x^6,x^4,x^2$ の三項が現れ、係数の二乗和の規格化と照合できる。
積分の整理を開く
$\pi^{-1}\int I^2=\frac{2\pi^6}{9}(\frac17-\frac25+\frac13)=16\pi^6/945$。正弦係数の二乗は$16/n^6$なので、定数$16$を両辺から除く。
$f(x)=e^x$ の周期的延長の平均は $c_0=\sinh\pi/\pi$ である。$(-\pi,\pi)$ で
$$
I(x)=e^x-1,\qquad P(x)=e^x-1-c_0x.
$$
$P(\pi)=P(-\pi)$ なので $P$ は周期的に連続につながる。$P(1)=e-1-\sinh\pi/\pi\approx-1.957796$ となる。$I$ 自身は一周期で $2\sinh\pi$ 増えるため、周期的ではない。$P$ を積分した係数の級数と比べる際には、平均を引いた直線項を忘れてはいけない。
$f(x)=\cos3x+\frac12\sin2x$ は滑らかな周期関数で、微分した級数は有限和 $f'(x)=-3\sin3x+\cos2x$ になる。$x=\pi/6$ では $f'(\pi/6)=-5/2\approx-2.500000$ である。周波数 $3$ の成分は係数が3倍され、周波数 $2$ の成分は2倍される。微分で高い周波数が相対的に強くなることを、最も簡単な例で確認できる。
使える条件と反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 原始関数の平均零条件 | $f=1$ | $I=x$ は周期的でない |
| 微分での連続性 | のこぎり波 | 境界項が残り、単純な項別微分が崩れる |
| 点での微分可能性 | $f=\lvert\sin x\rvert$ の $x=0$ | 微分級数の平均値は導関数ではない |
| 二回目の微分での接続 | $x^2$ の周期的延長 | 二階の項別微分は通常の関数の級数にならない |
のこぎり波の反例は Fourier級数 の例「反例：項別微分はできない」を参照する。ここでは連続な関数の角を別に見る。$|\sin x|$ は全直線で連続で、その級数は絶対一様収束する。ところが $x=0$ の左右の傾きは $-1,1$ なので、通常の導関数は存在しない。微分した余弦級数の各項は $\sin(2nx)$ を含み、$x=0$ ではすべて零となる。この零は左右の傾きの平均であり、存在しない微分係数を与えたわけではない。
$x^2$ の周期的延長は端で連続だが、その一階導関数 $2x$ は継ぎ目で跳ぶ。一回目の微分は、内部での $2x$ と継ぎ目の平均零を表す。しかし二回目には境界項が必要になる。係数を形式的に二回微分すると $4(-1)^n/n^2$ が $-4(-1)^n$ になり、項が零へ近づかない点が現れる。微分する回数を増やすときは、必要な階数まで周期的な接続を調べる。
一様な誤差と微分の違い
積分した級数の尾部は、Cauchy–Schwarzにより
$$
\sup_x\left|\sum_{|n|>N}c_n\frac{e^{inx}-1}{in}\right|
\le2\left(\sum_{|n|>N}|c_n|^2\right)^{1/2}
\left(\sum_{|n|>N}\frac1{n^2}\right)^{1/2}
$$
と抑えられる。右辺は零へ近づくので、積分は場所によらず安定して収束する。この評価に現れる係数の二乗和は元の入力の大きさを表し、$1/n$ は積分操作による高周波の抑制を表している。
微分ではこの抑制が逆になる。係数に $n$ を掛けるため、元の係数の小さな誤差も高い周波数では増幅する。関数の値を近似するための項数と、導関数を近似するための項数は同じではない。元の部分和がよく合っている図だけを見て、微分した部分和もよく合うと判断してはいけない。
一様収束する連続関数列の極限は連続である。このため、跳びを持つ導関数へ連続な微分部分和が全区間で一様収束することはできない。各点では左右極限の平均へ収束しても、跳び付近のずれは場所を動かしながら残る。この現象は元の関数のGibbs現象と同じ構造だが、微分によって新しく生じた跳びについて起こる。
導関数も連続で区分的に $C^1$ 級なら、Fourier級数 の一様収束の定理を導関数に適用できる。この追加条件があれば微分した級数は全区間で一様に収束する。従って、各点での微分を目的にする場合と、導関数の全区間での誤差を抑える場合では、必要な仮定の強さが違う。
三次式の周期的原始関数と積分した部分和
図は ex-tfi-cubic の $I$ と部分和を示す。元の二次式の級数から平均を除き、始点零の積分をとったもので、継ぎ目でも値が零につながる。部分和の係数に $1/n^3$ があるため、数項でも形がよく合う。これは積分の定理と尾部の評価で説明される現象であり、曲線の一致を証明の代わりに用いているわけではない。
よくある誤り
| 誤り | 正しくは | 理由 |
|---|---|---|
| 平均を落として積分する | $c_0x$ を分ける | 一周期の増分 |
| 積分定数を周波数ごとに選ぶ | 始点を固定する | 全体で一つの定数 |
| 一様収束だけで微分する | 導関数の係数と収束を確認 | 微分は極限と無条件に交換できない |
| 角で零になる級数を導関数と呼ぶ | 左右の傾きの平均と読む | 微分係数は不存在 |
| 二回目も同じ条件でよいとする | 各導関数の接続を調べる | 継ぎ目で跳びが生じる |
積分と微分で異なる誤差の扱い
積分の定理は、元の級数が一様に収束することを出発点にしていない。区分的に連続な関数の係数に Bessel の不等式を使い、積分によって追加される $1/n$ と組み合わせた。元の関数に跳びがある場合にも積分した関数は連続になり、その級数は一様に扱える。この順序を逆にして、元の級数の一様収束を要求すると、定理を使える関数を不必要に狭くしてしまう。
積分後の尾部は、係数の二乗和によって直接評価できる。$2\pi$ 規約では
$$
\sup_x\left|\sum_{|n|>N}c_n\frac{e^{inx}-1}{in}\right|
\le2\left(\sum_{|n|>N}|c_n|^2\right)^{1/2}
\left(\sum_{|n|>N}\frac1{n^2}\right)^{1/2}.
$$
右辺は零に近づく。ここでは $|e^{inx}-1|\le2$ を使い、$x$ に依存しない評価にした。特定の一点で誤差が小さいことと、区間全体で誤差が小さいことを区別するために、上限を含む形で書いている。元の級数の尾部を同じ方法で評価しようとすると、$1/n$ の因子がなくなり、第2の二乗和が収束しなくなる。
微分の場合は逆に、係数が周波数倍される。したがって、元の級数の絶対収束だけから微分後の絶対収束を結論してはいけない。例えば $1/n^2$ の係数は絶対に足せるが、微分後に $1/n$ となれば絶対和は発散する。微分後の和を知るには、導関数自身の Fourier 係数を計算したことと、その関数に対する収束定理を使えることが必要である。
微分の定理の収束先が左右の導関数の平均になる場合、元の関数は連続でも傾きに角がある。平均値は角の点での通常の導関数を定義してくれるわけではない。例えば絶対正弦の角で左右の傾きが反対なら、微分した級数の和は零になるが、元の関数の導関数はその点に存在しない。級数の和が存在することと、関数が微分可能であることを分けて述べる。
周期 $2L$ の場合は、$n$ の代わりに $n\pi/L$ が現れる。積分の係数は $L/(in\pi)$ 倍、微分の係数は $in\pi/L$ 倍である。周期を長くすると同じ番号のモードの振動数は小さくなり、微分の倍率も小さくなる。単位を持つ問題でこの因子を落とすと、値の次元まで合わなくなる。積分定数と平均の直線項は、この尺度変更とは別に保持しなければならない。
偏微分方程式で級数を二回微分する場合には、この定理を二回使えるかを確かめるだけでなく、時刻の因子によって追加の収束が得られることもある。熱のモードでは正の時刻で指数減衰が働き、高い周波数のべきが掛かっても収束する。一方、弦の振動の時間因子は正弦や余弦であり、高周波を減衰させない。初期関数の滑らかさを軽く扱うことはできない。変数分離法(偏微分方程式) と 弦の振動 は、この違いに応じて無限和を正当化する。
項別微分と積分の計算上の扱いは LebDQ26 §4.3（pp. 208–214）を参照できる。平均を引いて周期的な原始関数を作り、Bessel の不等式と連続関数の一意性を用いた積分の証明は、上で条件を明示した。
関連項目
- 前提: Fourier級数, Parsevalの等式
- 直後に読む: 半区間展開, 変数分離法(偏微分方程式)
- 比較: Fourier級数の計算
- 発展: 弦の振動
参考文献
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