有限群の分類（位数1から100）

$g\neq e$ を取る。Lagrange の定理により $g$ の位数は $p$ の $1$ でない約数、したがって $p$ である。ゆえに $G=\langle g\rangle\cong C_p$ である。

$G/Z(G)=\langle gZ(G)\rangle$ とする。任意の $x,y\in G$ は $x=g^az$、$y=g^bw$（$z,w\in Z(G)$）と書ける。中心の元は全ての元と可換するので
$$ xy=g^{a+b}zw=g^{b+a}wz=yx $$
である。したがって $G$ はアーベル群である。

群の中心 により $Z(G)$ は自明でない。$|Z(G)|$ は $p$ または $p^2$ である。前者なら $G/Z(G)$ は位数 $p$ だから prop-fgc-order-p により巡回群となり、lem-B247-cyclic-central-quotient によって $G$ はアーベル群となる。これは非中心元があるという $|Z(G)|=p$ に矛盾する。したがって $Z(G)=G$ で、$G$ はアーベル群である。
有限アーベル群の基本定理を位数 $p^2$ に適用すると、標準形は $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ の二つである。前者は位数 $p^2$ の元をもつ。後者の全非単位元の位数は $p$ である。したがって両者は同型でない。

Sylow の定理より、Sylow $p$ 部分群（Sylow p部分群）$P$ の個数は $p$ を法として $1$ で $2$ を割るから $1$ であり、$P$ は 正規部分群 である。prop-fgc-order-p により $P\cong C_p$ である。Cauchy の定理で位数 $2$ の元 $t$ が取れ、$\langle t\rangle\cap P=\{e\}$ かつ $|P\langle t\rangle|=2p$ なので $G=P\rtimes\langle t\rangle$（半直積）となる。
$P=\langle a\rangle$ とする。$t$ の共役作用は $C_p$ の位数 $2$ 以下の自己同型である。自明なら $G\cong C_p\times C_2\cong C_{2p}$。非自明なら、自己同型群 $\operatorname{Aut}(C_p)\cong C_{p-1}$ の唯一の位数 $2$ の元である反転 $a\mapsto a^{-1}$ が作用する。このとき $G$ は関係式 $a^p=t^2=e$、$tat^{-1}=a^{-1}$ を満たす元 $a,t$ で生成され位数 $2p$ だから、二面体群 の記事の命題（表示と位数）により $G\cong\operatorname{Dih}_p$ である。前者はアーベル群で、後者は $p\geq3$ のとき 非アーベル群 なので同型でない。$p=3$ の固有な位数 $6$ の分類は 3次の対称群 が所有する。

Sylow $s$ 部分群の個数 $n_s$ は $s$ を法として $1$ で $r$ を割る。$r< s$ より $n_s=1$ だから、Sylow $s$ 部分群 $S\cong C_s$ は正規である。Cauchy の定理で位数 $r$ の部分群 $R\cong C_r$ が存在し、$S\cap R=\{e\}$、$|SR|=rs$ より $G=S\rtimes R$ である。
作用準同型 $R\to\operatorname{Aut}(S)\cong C_{s-1}$ の像の位数は $1$ または $r$ である。$r\nmid(s-1)$ なら像は自明で、$G\cong C_s\times C_r\cong C_{rs}$ となる。$r\mid(s-1)$ なら、自明作用は同じ巡回群を与え、非自明作用は単射で非可換半直積を与える。巡回群 $C_{s-1}$ は位数 $r$ の部分群をただ一つもつので、非自明作用の像は一意である。$R$ の生成元を変えることはこの像の生成元を変えるだけであり、得られる半直積は互いに同型である。したがって非可換同型類は一つだけである。この分類の標準的な定式化は DF04 も参照した。