$\delta$-関手

概要

短完全列に加法関手を作用させても、完全性が保たれるとは限らない。
δ-関手は、次数ごとの関手を連結射でつなぎ、短完全列から長完全列を作る構造である。
導来関手はその供給源だが、δ-関手の定義自体には分解を用いない。

定義

以下、$\mathcal A,\mathcal B$ はアーベル圏とし、全ての関手は共変とする。

コホモロジー的δ-関手

コホモロジー的δ-関手（cohomological delta-functor）は、加法関手 $T^n:\mathcal A\to\mathcal B$ $(n\geq0)$ と、各短完全列 $e:0\to A'\xrightarrow{i}A\xrightarrow{p}A''\to0$ に対する射 $\delta_e^n:T^n(A'')\to T^{n+1}(A')$ $(n\geq0)$ の組で、次の完全性と自然性を満たすものをいう。
誘導される列
$$ T^0(A')\xrightarrow{T^0(i)}T^0(A)\xrightarrow{T^0(p)}T^0(A'') \xrightarrow{\delta_e^0}T^1(A')\longrightarrow T^1(A)\longrightarrow T^1(A'')\longrightarrow\cdots $$
は、両隣の矢印がある各項で完全である。
短完全列の射は、次の全図式を可換にする三つの射 $a,b,c$ である。
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&A'\ar[r]^i\ar[d]_a&A\ar[r]^p\ar[d]_b&A''\ar[r]\ar[d]_c&0\\ 0\ar[r]&B'\ar[r]_j&B\ar[r]_q&B''\ar[r]&0 } $$
下段を $f$ と書くと、自然性の条件は
$$ T^{n+1}(a)\delta_e^n=\delta_f^n T^n(c):T^n(A'')\longrightarrow T^{n+1}(B') $$
である。

連結射の手前で持ち上がらなかった情報を、隣の次数に送ると考えるとよい。
例えば $T^0$ が左完全なら、$T^0(A'')$ の像が $T^1(A')$ に入るところから先の完全性を連結射が補う。
ここでは長完全列の先頭に $0$ を要求しない。
Stacks Projectの定義は先頭に $0\to T^0(A')$ を置き、$T^0$ の左完全性も要求する（StacksDelta）。

ホモロジー的δ-関手

ホモロジー的δ-関手（homological delta-functor）は、加法関手 $T_n:\mathcal A\to\mathcal B$ $(n\geq0)$ と、各短完全列 $e$ に対する射 $\partial_{e,n}:T_n(A'')\to T_{n-1}(A')$ $(n\geq1)$ の組で、列
$$ \cdots\longrightarrow T_1(A'')\xrightarrow{\partial_{e,1}} T_0(A')\longrightarrow T_0(A)\longrightarrow T_0(A'') $$
が両隣の矢印のある各項で完全であり、短完全列の射 $(a,b,c):e\to f$ について
$$ T_{n-1}(a)\partial_{e,n}=\partial_{f,n}T_n(c) $$
を満たすものをいう。
ここでも最後に $T_0(A'')\to0$ を要求しない。

上付き添字の連結射は次数を上げ、下付き添字の連結射は次数を下げる。
次数を全整数に取る場合には、添字 $n$ と $-n$ を対応させて両者を読み替えられる。

有限次数に切る場合

整数 $0\leq a\leq b$ に対し、次数 $a,\ldots,b$ の関手だけを残した構造も扱える。
コホモロジー型では $\delta^i$ を $a\leq i< b$ に限り、列を $T^a(A')$ から $T^b(A'')$ までで切る。
ホモロジー型では $\partial_i$ を $a< i\leq b$ に限り、列を $T_b(A')$ から $T_a(A'')$ までで切る。
いずれも両隣の矢印が残る項でだけ完全性を要求する。
$a=b$ なら連結射はなく、$T^a(A')\to T^a(A)\to T^a(A'')$ の中央での完全性だけが残る（下付き添字でも同様）。
切断の端に、新しい単射性や全射性を追加するわけではない。

δ-関手の射

コホモロジー的δ-関手 $T$ から $U$ への射は、各次数の自然変換 $\eta^n:T^n\to U^n$ で、全ての短完全列 $e$ に対し
$$ \eta_{A'}^{n+1}\delta_{T,e}^n=\delta_{U,e}^n\eta_{A''}^n $$
を満たすものである。
ホモロジー型の射は、自然変換 $\eta_n:T_n\to U_n$ が
$$ \eta_{n-1,A'}\partial_{T,e,n}=\partial_{U,e,n}\eta_{n,A''} $$
を満たすものとする。

各次数で自然であることに加えて、隣の次数へ渡る連結射とも可換しなければならない。

例

短完全列のホモロジー

アーベル圏の全整数次数の鎖複体の圏で、次数ごとの短完全列 $0\to C'_\bullet\to C_\bullet\to C''_\bullet\to0$ から自然な長完全列
$$ \cdots\to H_n(C')\to H_n(C)\to H_n(C'')\xrightarrow{\partial_n}H_{n-1}(C')\to\cdots $$
が得られる。
この全整数の列を非負次数で切れば、$(H_n)_{n\geq0}$ は上のホモロジー的δ-関手になる。
複体自体を非負次数に限る場合は $H_{-1}(C')=0$ なので、さらに $H_0(C)\to H_0(C'')$ がエピ射になる。
連結射と完全性の構成は後の導来δ構造の証明で示す。

ExtとTor

単位的環 $R$ と右 $R$-加群 $M$ を固定すると、右 $R$-加群の変数に関する $\operatorname{Ext}_R^n(M,-)$ は、左完全関手である加法関手 $\operatorname{Hom}_R(M,-)$ の右導来関手としてコホモロジー的δ-関手になる。
左 $R$-加群 $N$ を固定すると、右 $R$-加群の変数に関する $\operatorname{Tor}_n^R(-,N)$ は、右完全関手である加法関手 $-\otimes_RN$ の左導来関手としてホモロジー的δ-関手になる。
加群圏には十分な単射対象があり、自由加群からの全射によって十分な射影対象も得られる。
単射対象の存在は、アーベル群を単射群へ埋め込む構成から左右の加群に移せる（StacksModules）。
非可換環でもテンソル積の順序は「右加群 $\otimes_R$ 左加群」であり、$N\otimes_RM$ に入れ替えない。

アーベル群層の例

位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の圏 $\operatorname{Ab}(X)$ で、大域切断 $\Gamma(X,-)$ は左完全加法関手である。
この圏には十分な単射対象がある（StacksSheaves）。
従って $H^n(X,-)=R^n\Gamma(X,-)$ はコホモロジー的δ-関手をなす。
層の短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ に対し、大域切断 $s\in\Gamma(X,\mathcal F'')$ が $\Gamma(X,\mathcal F)$ から持ち上がることと、$\delta^0(s)=0$ は同値である。
層のエピ射は局所的な持ち上げを与えるので、この連結類は局所的な持ち上げを一つの大域切断にできるかを測る。

端に0を課す流儀との違い

アーベル群上で $T^0=-\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z/2\mathbb Z$、$T^n=0$ $(n>0)$ とし、連結射を零にする。
テンソル積の右完全性から、これは本記事のコホモロジー的δ-関手である。
しかし $2\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Z$ に $T^0$ を作用させると、$\mathbb Z/2\mathbb Z$ から $\mathbb Z/2\mathbb Z$ への零射になる。
従って $T^0$ は左完全でなく、先頭0を課す流儀のδ-関手ではない。

導来関手からの構成

短完全な複体の列から長完全列

一般のアーベル圏における短完全な余鎖複体列 $0\to K'\xrightarrow{i}K\xrightarrow{p}K''\to0$ に対し、自然な連結射 $\delta^n:H^n(K'')\to H^{n+1}(K')$ が存在し、コホモロジー長完全列
$$ \cdots\to H^n(K')\to H^n(K)\to H^n(K'')\xrightarrow{\delta^n}H^{n+1}(K')\to H^{n+1}(K)\to\cdots $$
を与える。

まず連結射を構成する。
$Z''^n=\ker d''^n$ とし、引き戻し $P=K^n\times_{K''^n}Z''^n$ の射を $v:P\to K^n$、$u:P\to Z''^n$ と書く。
$u$ はエピ射で、$\ker u$ は $K'^n$ である。
$d^nv$ の $K''^{n+1}$ への像は零なので、$i^{n+1}h=d^nv$ を満たす射 $h:P\to K'^{n+1}$ が一意に存在する。
$d'^ {n+1}h=0$ だから、$h$ は $Z'^{n+1}$ を通る。
$P$ 内の $K'^n$ 上で $h$ は $d'^n$ に一致するので、$Z'^{n+1}\to H^{n+1}(K')$ と合成すると $\ker u$ を消す。
従って余核の普遍性から $Z''^n\to H^{n+1}(K')$ が一意に得られる。
この射は境界 $\operatorname{im}d''^{n-1}$ を消す。
実際、$p^{n-1}$ がエピ射であり、$d^n d^{n-1}=0$ なので、$d''^{n-1}p^{n-1}=p^nd^{n-1}$ に沿う持ち上げでは $h=0$ となる。
よって一意な射 $\delta^n:H^n(K'')\to H^{n+1}(K')$ に降りる。
この引き戻し・核・余核の構成は短完全複体列の射に対して可換するので、$\delta^n$ は自然である。
完全性を確認する際、一般圏の射 $x:T\to Z^n$ を「サイクル」として扱う。
エピ射に沿う持ち上げが必要なときには引き戻しで始域をエピ射 $T'\to T$ に替え、有限回の操作はエピ射の合成で揃える。
この方法で像と核の一致を判定できることは、蛇の補題の補題「エピ射を介した持ち上げによる判定」とその証明による。
以下の等式は共通の始域からの射の等式であり、一般のエピ射に集合の元の全射性を仮定しない。
$H^n(K'')$ で $\delta[x'']=0$ なら、$p x=x''$ と持ち上げた後の $dx=i y'$ に対し、$y'=d'z'$ とできる始域変更を取り、$x-i z'$ はサイクルで $x''$ を持ち上げる。
$H^n(K)$ で $[px]=0$ なら、$px=d''w''$ とし、$w''$ を $w$ に持ち上げると $x-dw=i x'$ となり、$x'$ はサイクルである。
$H^{n+1}(K')$ で $[i x']=0$ なら、$i x'=dx$ とし、$px$ はサイクルで $\delta[px]=[x']$ となる。
各場合の逆包含は、$pi=0$、微分の二乗が零であること、連結射の構成から従う。
これで三種類の項における完全性が示され、次数を動かすと長完全列が得られる。

導来関手のδ-関手構造

$\mathcal A,\mathcal B$ をアーベル圏とする。
$\mathcal A$ が十分な単射対象を持ち、$F:\mathcal A\to\mathcal B$ が左完全加法関手なら、右導来関手 $(R^nF)_{n\geq0}$ はコホモロジー的δ-関手であり、$R^0F\cong F$ である。
$\mathcal A$ が十分な射影対象を持ち、$F:\mathcal A\to\mathcal B$ が右完全加法関手なら、左導来関手 $(L_nF)_{n\geq0}$ はホモロジー的δ-関手であり、$L_0F\cong F$ である。

分解への適用と比較の独立性

次に、短完全列 $e$ の各対象を単射分解で置き換える。
馬蹄補題の定理「馬蹄補題」の双対により、各次数で分裂する単射分解の短完全列 $0\to I'\to I\to I''\to0$ を取れる（Wei94 §2.2）。
加法関手は有限直和の包含・射影とその恒等式を保つので、$0\to F(I')\to F(I)\to F(I'')\to0$ も次数ごとに分裂した短完全列である。
前段の構成を適用し、$H^n(F(I))=R^nF(A)$ と読み替えると必要な長完全列を得る。
短完全列の射に対する比較を厳密に作るため、分裂した単射対象の列 $J'\to J'\oplus J''\to J''$ を考える。
ある短完全列からこの列への射は、中央対象から $J'$ への射と、右端対象から $J''$ への射の組として表される。
従って、短完全列を成分ごとにモノ射で拡大した場合も、$J',J''$ の単射性でこの射を延長できる。
分解の各段の余核列にこの延長を繰り返すと、任意の $e\to f$ を分解の短完全列の射へ持ち上げられる。
二つの持ち上げの差は増大対象上で零なので、最初の差は余核を通り、同じ延長操作で次数を一つ下げた射へ延ばせる。
その射によるホモトピーの項を差から引き、次の余核で繰り返すと、短完全列の射としての鎖ホモトピーを得る。
加法関手 $F$ はこのホモトピー等式を保つため、ホモロジー上の比較射と連結射の可換性は選択に依存しない。
特に恒等射を二つの分解の間で持ち上げれば、往復の合成は恒等とホモトピックであり、得られるδ構造は比較同型の下で一致する（Wei94 §2.4）。
$F$ の左完全性により $H^0(F(I))=\ker(F(I^0)\to F(I^1))\cong F(A)$ である。
反対圏で同じ議論を行うと、十分な射影対象と右完全加法関手の場合に、次数を下げる連結射および $L_0F\cong F$ を得る。

普遍$\delta$-関手

0次からの一意延長

ここではコホモロジー的δ-関手を考える。
$T$ が普遍δ-関手であるとは、任意のコホモロジー的δ-関手 $U$ と任意の自然変換 $\eta^0:T^0\to U^0$ に対し、それを0次成分に持つδ-関手の射 $\eta:T\to U$ が一意に存在することをいう。

二つの普遍δ-関手の0次が同じ関手なら、0次で恒等となる射を互いに延長できる。
二つの合成も0次の恒等を延長するから、一意性により各恒等射に等しく、比較は同型になる。
これは両者に普遍性を仮定した結論である。
任意のδ-関手が普遍的なわけではない。
例えばアーベル群上で $T^0=0,T^1=\operatorname{Id},T^n=0$ $(n\geq2)$ とし、連結射を零にすると、唯一の非零部分は元の短完全列なのでδ-関手になる。
しかし、1次の恒等変換と零変換は同じ0次の零変換を延長する異なる自己射であり、普遍性は成り立たない（普遍δ-関手の注意「非普遍的なδ-関手の例」）。
普遍性の有用な十分条件は、全ての $n>0$ と対象 $A$ に対し、$T^n(u)=0$ となるモノ射 $u:A\to M$ が存在するという消去可能性である。
モノ射は $n,A$ に依存してよく、一つのモノ射で全次数を同時に消すとは要求しない。
値域がアーベル群の場合に各元を個別に消す弱い条件と、射 $T^n(u)$ 全体が零になるこの条件も区別する。
この判定の証明は普遍δ-関手の定理「消去可能なコホモロジー的δ-関手は普遍的である」にある（Gro57 第II章§2.2、Wei94 §2.4）。
右導来関手では、対象 $A$ を単射対象 $I$ に埋め込み、$R^nF(I)=0$ $(n>0)$ を使うと消去可能性が得られる。
ここで単射対象上の消滅から任意の対象を消去するには、十分な単射対象が必要である。
衛星関手による構成と分解による構成を比較するときも、同じ0次を持つことに加えて双方の普遍性を確かめてから、先の一意な同型を使う。

古典の用語と導来圏

Grothendieckの東北論文の $\partial$-関手は、連結射でつないだ列が複体になる条件をまず課し、値域もアーベル圏の場合に完全性を別の条件として定める。
本記事のコホモロジー的δ構造は、その完全な $\partial$-構造の非負次数版に対応し、単なる記号の置換ではない（Gro57 第II章§2.1）。
原論文は全整数次数の $\partial$-関手と古典的な連結関手列の対応も説明しており、次数の範囲と完全性を揃えて比較する必要がある。
原論文の $\partial^*$-関手では次数が下がり、普遍性で延長する射の向きも $T'\to T$ に変わるので、コホモロジー側の普遍性定義をそのまま流用しない。
必要に応じて集合論的宇宙を拡大して導来圏を扱う（StacksDerived）。
その導来圏では、短完全複体列から完全三角形 $K'\to K\to K''\to K'[1]$ が得られる（StacksTriangle）。
コホモロジーを取ると長完全列になり、三角形の最後の射は次数を一つ上げる連結射を表す。
この見方は、上で行った核・余核・分解の構成を、シフトと完全三角形の言葉へ移す導線になる。