和集合

同義語：union

概要

和集合（union）とは、集合族の少なくとも一つに属する元をすべて集めて得られる集合であり、二集合 $A,B$ について $A\cup B$ と書く。
和集合は、複数の集合のいずれか一つにでも属する元を集める操作である。論理和に対応し、包含関係に関する最小上界を与える。

定義

和集合

集合 $A,B$ の和集合（union）とは、$A$ または $B$ の少なくとも一方に属する元全体の集合
$$ A\cup B:=\{x\mid x\in A\text{ または }x\in B\} $$
である。集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対しては
$$ \bigcup_{i\in I}A_i:=\{x\mid \text{ある }i\in I\text{ について }x\in A_i\} $$
と定める。空の集合族の和集合は空集合である。

例と反例

有限集合と区間の和集合

$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$ なら $A\cup B=\{1,2,3\}$ であり、共通する元 $2$ を二度数えることはない。また実数の区間について
$$ [0,1]\cup[1,2]=[0,2],\qquad [0,1]\cup[2,3] $$
はそれぞれ一つの区間と、二つに分かれた集合を与える。和集合が区間になるとは限らない。

重なりのある被覆

実数全体は、有界開区間の族によって
$$ \mathbb R=\bigcup_{n\geq1}(-n,n) $$
と表せる。各区間は他の区間と重なり、同じ実数は多数の区間に属し得るが、和集合では元を重複して数えない。このように、和集合は集合族が空間を覆うという被覆の記述に使われる。

性質と証明

包含と演算の言い換え

次の三つは同値である。

$A\subseteq B$。
$A\cap B=A$。
$A\cup B=B$。

（1 ⇒ 2）$A\cap B\subseteq A$ は定義から明らかである。$x\in A$ とすると、$A\subseteq B$ より $x\in B$ でもあるので $x\in A\cap B$ である。よって $A\subseteq A\cap B$ であり、$A\cap B=A$ を得る。
（2 ⇒ 1）$x\in A$ とすると $x\in A\cap B$ なので $x\in B$ である。よって $A\subseteq B$ である。
（1 ⇒ 3）$B\subseteq A\cup B$ は定義から明らかである。$x\in A\cup B$ とすると、$x\in A$ の場合は $A\subseteq B$ より $x\in B$、$x\in B$ の場合はそのまま $x\in B$ である。よって $A\cup B\subseteq B$ であり、$A\cup B=B$ を得る。
（3 ⇒ 1）$x\in A$ とすると $x\in A\cup B=B$ である。よって $A\subseteq B$ である。$\square$

共通部分と合併の分配律

$$ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),\qquad A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). $$

前半を示す。$x\in A\cap(B\cup C)$ とすると、$x\in A$ かつ「$x\in B$ または $x\in C$」である。$x\in B$ の場合は $x\in A\cap B$、$x\in C$ の場合は $x\in A\cap C$ であり、いずれにせよ $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ である。逆に $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ とすると、$x\in A\cap B$ または $x\in A\cap C$ である。どちらの場合も $x\in A$ であり、かつ $x\in B$ または $x\in C$ であるから、$x\in A\cap(B\cup C)$ である。
後半を示す。$x\in A\cup(B\cap C)$ とする。$x\in A$ ならば $x\in A\cup B$ かつ $x\in A\cup C$ である。$x\in B\cap C$ ならば $x\in B$ かつ $x\in C$ なので、やはり $x\in A\cup B$ かつ $x\in A\cup C$ である。よって $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$ である。逆に $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$ とする。$x\in A$ ならば $x\in A\cup(B\cap C)$ である。$x\notin A$ ならば、$x\in A\cup B$ より $x\in B$、$x\in A\cup C$ より $x\in C$ であるから $x\in B\cap C$ であり、やはり $x\in A\cup(B\cap C)$ である。$\square$

共通部分と合併の順序による特徴づけ

$U$ を集合、$A,B$ を $U$ の部分集合とし、$U$ の部分集合の全体 $\mathcal{P}(U)$ を包含関係 $\subseteq$ で順序づけて考える。このとき次が成り立つ。

$A\cap B\subseteq A$ かつ $A\cap B\subseteq B$ であり、さらに $D\subseteq A$ かつ $D\subseteq B$ を満たす任意の $D\subseteq U$ について $D\subseteq A\cap B$ が成り立つ。すなわち $A\cap B$ は $\mathcal{P}(U)$ における $\{A,B\}$ の下限である。
$A\subseteq A\cup B$ かつ $B\subseteq A\cup B$ であり、さらに $A\subseteq D$ かつ $B\subseteq D$ を満たす任意の $D\subseteq U$ について $A\cup B\subseteq D$ が成り立つ。すなわち $A\cup B$ は $\mathcal{P}(U)$ における $\{A,B\}$ の上限である。
さらに、1 の二つの条件をともに満たす $U$ の部分集合は $A\cap B$ に限り、2 の二つの条件をともに満たす $U$ の部分集合は $A\cup B$ に限る。上界・上限・下界・下限の語は順序集合の記事による。

def-union-operations により、$x\in A\cap B$ は「$x\in A$ かつ $x\in B$」と同値、$x\in A\cup B$ は「$x\in A$ または $x\in B$」と同値である。

$x\in A\cap B$ ならば $x\in A$ なので $A\cap B\subseteq A$ であり、同様に $A\cap B\subseteq B$ である。$D\subseteq A$ かつ $D\subseteq B$ とする。$x\in D$ とすると $x\in A$ かつ $x\in B$ なので $x\in A\cap B$ である。よって $D\subseteq A\cap B$ である。
$x\in A$ ならば「$x\in A$ または $x\in B$」が成り立つので $A\subseteq A\cup B$ であり、同様に $B\subseteq A\cup B$ である。$A\subseteq D$ かつ $B\subseteq D$ とする。$x\in A\cup B$ とすると、$x\in A$ の場合も $x\in B$ の場合も $x\in D$ である。よって $A\cup B\subseteq D$ である。
一意性を示す。$C\subseteq U$ が 1 の二つの条件をともに満たすとする。$A\cap B$ は $A$ にも $B$ にも含まれるので、$C$ についての後半の条件を $D=A\cap B$ として使うと $A\cap B\subseteq C$ を得る。逆に $C$ は $A$ にも $B$ にも含まれるので、$A\cap B$ について 1 の後半をすでに示したことを $D=C$ として使うと $C\subseteq A\cap B$ を得る。反対称律（集合）により $C=A\cap B$ である。2 についても、包含の向きをすべて逆にすれば同じ論法で $C=A\cup B$ を得る。$\square$

基本法則

和集合は交換律、結合律、冪等律を満たす。
$$ A\cup B=B\cup A, \qquad (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C), \qquad A\cup A=A. $$
また空集合は単位元であり、$A\cup\emptyset=A$ である。これらはいずれも、任意の $x$ について両辺への所属条件を論理式へ直せば確認できる。結合律により有限個の和集合では括弧を省略できるが、添数集合が空になり得る場合は $\bigcup_{i\in\emptyset}A_i=\emptyset$ という規約が必要である。

任意和の最小上界性

集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対して、$\bigcup_{i\in I}A_i$ は包含順序における族の最小上界である。すなわち
$$ A_i\subseteq\bigcup_{j\in I}A_j\quad(i\in I) $$
であり、すべての $i\in I$ について $A_i\subseteq D$ なら
$$ \bigcup_{i\in I}A_i\subseteq D $$
である。

任意和の最小上界性の証明

$i\in I$ を固定し、$x\in A_i$ とする。「ある $j\in I$ について $x\in A_j$」が $j=i$ により成り立つので、$x\in\bigcup_{j\in I}A_j$ である。
次にすべての $i$ について $A_i\subseteq D$ とする。$x\in\bigcup_{i\in I}A_i$ なら、ある $i\in I$ が存在して $x\in A_i$ である。仮定から $x\in D$ なので、求める包含を得る。

有限集合の和の濃度では、重なりを補正する必要がある。

二集合の包除原理

$A,B$ が有限集合なら
$$ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| $$
である。

二集合の包除原理の証明

$A\cup B$ は互いに素な三つの集合
$$ A\setminus B,\qquad A\cap B,\qquad B\setminus A $$
の和集合である。また $A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)$、$B=(B\setminus A)\cup(A\cap B)$ も互いに素な分解である。従って
$$ \begin{aligned} |A|+|B| &=|A\setminus B|+2|A\cap B|+|B\setminus A|\\ &=|A\cup B|+|A\cap B|, \end{aligned} $$
となり、移項すれば主張を得る。

写像との関係

写像 $f\colon X\to Y$ は和集合とよく両立する。像と逆像の双方が任意和を保存する。

像と逆像は任意和を保存する

部分集合族 $(A_i)_{i\in I}$、$(B_j)_{j\in J}$ に対して
$$ f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right) =\bigcup_{i\in I}f(A_i), $$
$$ f^{-1}\left(\bigcup_{j\in J}B_j\right) =\bigcup_{j\in J}f^{-1}(B_j) $$
が成り立つ。

像と逆像が任意和を保存することの証明

$y\in f(\bigcup_iA_i)$ であることは、ある $x\in\bigcup_iA_i$ が存在して $y=f(x)$ となることと同値である。これは、ある $i$ と $x\in A_i$ が存在して $y=f(x)$ となること、すなわち $y\in\bigcup_i f(A_i)$ と同値である。
また $x\in f^{-1}(\bigcup_jB_j)$ であることは、$f(x)$ がある $B_j$ に属することと同値である。これは、ある $j$ について $x\in f^{-1}(B_j)$ となること、すなわち $x\in\bigcup_jf^{-1}(B_j)$ と同値である。

反例：像は共通部分を一般には保存しない

$f\colon\{1,2\}\to\{0\}$ を定値写像とし、$A=\{1\}$、$B=\{2\}$ とする。このとき
$$ f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset $$
だが、$f(A)\cap f(B)=\{0\}$ である。従って、像が和集合を保存することから共通部分の保存は従わない。失敗の原因は、異なる元 $1,2$ が同じ値へ写ることである。$f$ が単射なら二集合の共通部分について等号が成り立つ。

位相と代数における和集合

位相空間の開集合は任意和について閉じている。この条件によって、各点の近くで選んだ開集合をすべて合わせても開集合が得られる。閉集合は有限和については閉じるが、無限和については一般に閉じない。たとえば実数直線で各一点集合 $\{1/n\}$ は閉じているが、和集合 $\{1/n:n\geq1\}$ は極限点 $0$ を含まないため閉じていない。
包含順序で見れば、和集合は冪集合という完備束の上限である。和集合の法則を単なる記号計算としてではなく、最小上界の普遍性として捉えると、束、Boolean代数、フレーム(順序論)に同じ構造が一般化される。
定義、集合演算、写像との両立については Hara20（第1章 §1.3、第3章 §3.1）、Matsusaka68（第1章 §§2--4, pp. 12--41）を参照した。