Bromwich積分

段 1（Fourier 型の積分に直す）．$u\in\mathbb{R}$ について $g(u):=e^{-cu}f(u)$（$u>0$）、$g(u):=0$（$u\le0$）とおく。(i) から $g$ は $\mathbb{R}$ 上で積分可能であり、$F(c+i\omega)=\int_{\mathbb{R}}g(u)e^{-i\omega u}\,du$ である。$\omega$ の範囲 $[-R,R]$ は有界で $\lvert g\rvert$ は積分可能なので、Fubini の定理により積分の順序を替えられて
$$ I_R(t)=\frac{e^{ct}}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}g(u)\Bigl(\int_{-R}^{R}e^{i\omega(t-u)}\,d\omega\Bigr)du=e^{ct}\int_{\mathbb{R}}g(u)\frac{\sin R(t-u)}{\pi(t-u)}\,du $$
である。$v=t-u$ と置き、$v<0$ の部分を $v\mapsto-v$ で折り返すと
$$ I_R(t)=e^{ct}\int_0^\infty G(v)\frac{\sin Rv}{\pi v}\,dv,\qquad G(v):=g(t+v)+g(t-v) $$
となる。
段 2（局所の条件を $g$ に移す）．$L:=g(t+)+g(t-)$ とおく。$t>0$ なら $g(t\pm)=e^{-ct}f(t\pm)$ であり、$e^{-cu}$ は $u$ について滑らかなので、(ii) から $0< v<\delta'$（$\delta'\le\delta$、$\delta'< t$）で $\lvert G(v)-L\rvert\le K'v$ となる定数 $K'$ がある。$t=0$ では $g(0-)=0$、$g(-v)=0$ なので同じことが右側の (ii) から従う。$t<0$ なら $0< v<\lvert t\rvert$ で $t\pm v<0$ より $G(v)=0$、$L=0$ である。どの場合も、ある $\delta'>0$ と $K'$ について $0< v<\delta'$ で $\lvert G(v)-L\rvert\le K'v$ が成り立つ。
段 3（三つに分ける）．
$$ \int_0^\infty G(v)\frac{\sin Rv}{\pi v}\,dv=\underbrace{\int_0^{\delta'}\frac{G(v)-L}{\pi v}\sin Rv\,dv}_{A_R}+\underbrace{\frac L\pi\int_0^{\delta'}\frac{\sin Rv}v\,dv}_{B_R}+\underbrace{\int_{\delta'}^\infty\frac{G(v)}{\pi v}\sin Rv\,dv}_{C_R} $$
と分ける。$A_R$ の被積分関数の $\sin Rv$ 以外の因子は $\lvert\cdot\rvert\le K'/\pi$ で有界なので $(0,\delta')$ 上で積分可能であり、$C_R$ の因子は $\lvert G(v)\rvert/(\pi\delta')$ 以下なので $(\delta',\infty)$ 上で積分可能である。積分可能な関数 $\psi$ について $\int\psi(v)\sin Rv\,dv=\frac1{2i}\int\psi(v)(e^{iRv}-e^{-iRv})\,dv$ は、Fourier変換 の命題「有界性・連続性・無限遠での減衰」（Riemann–Lebesgue の補題）により $R\to\infty$ で $0$ に近づく（$\psi$ を積分の範囲の外で $0$ と延ばし、同命題の規格化 $e^{-2\pi ix\xi}$ では $\xi=\mp R/(2\pi)$ での値として当てる）。よって $A_R\to0$、$C_R\to0$ である。$B_R$ は $x=Rv$ と置いて $\frac L\pi\int_0^{R\delta'}\frac{\sin x}x\,dx$ であり、特性関数(確率論) の補題「Dirichlet 積分」により $\frac L\pi\cdot\frac\pi2=\frac L2$ に近づく。
段 4（まとめ）．以上から $\lim_RI_R(t)=e^{ct}L/2$ である。$t>0$ なら $e^{ct}L=f(t+)+f(t-)$、$t=0$ なら $L=f(0+)$、$t<0$ なら $L=0$ で、1・2・3 を得る。右辺は $c$ を含まないので、値は $c$ によらない。$\square$

$\deg P<\deg Q$ なので、ある $M,R_0$ について $\lvert s\rvert\ge R_0$ で $\lvert F(s)\rvert\le M/\lvert s\rvert$ である。
$t>0$ とする。$R$ を $R>\lvert c\rvert+R_0$ かつ $R>\max_j\lvert a_j-c\rvert$ にとる。$z$ が上半円 $C_R=\{Re^{i\theta}:0\le\theta\le\pi\}$ を動くとき、$s=c+iz$ は中心 $c$、半径 $R$ の左半円 $\Gamma_R$ を $c+iR$ から $c-iR$ へ動く。Bromwich 線の線分と $\Gamma_R$ をつないだ閉曲線は、左半円板 $\{\lvert s-c\rvert< R,\ \operatorname{Re}s< c\}$ の境界を反時計回りに 1 周し、すべての極 $a_j$ はこの半円板の内部にある。留数定理 の定理「単連結領域における留数定理」により
$$ I_R(t)+\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_R}e^{st}F(s)\,ds=\sum_{j=1}^m\operatorname{Res}_{s=a_j}\bigl(e^{st}F(s)\bigr) $$
である。$ds=i\,dz$、$e^{st}=e^{ct}e^{itz}$ なので、円弧の積分は
$$ \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_R}e^{st}F(s)\,ds=\frac{e^{ct}}{2\pi}\int_{C_R}F(c+iz)\,e^{itz}\,dz $$
となる。$C_R$ の上で $\lvert c+iz\rvert\ge R-\lvert c\rvert\ge R_0$ なので $\lvert F(c+iz)\rvert\le M/(R-\lvert c\rvert)$ であり、これは $R\to\infty$ で $0$ に近づく。Jordanの補題 の補題「Jordan の補題」（周波数 $\omega=t>0$）により、円弧の積分は $0$ に近づく。よって $I_R(t)$ は留数の和に収束する。
$t<0$ なら、$s=c-iz$ で右半円に閉じる。$e^{st}=e^{ct}e^{i\lvert t\rvert z}$ なので同じく Jordan の補題が使え、右半円板の中に極はないので Cauchy の積分定理（留数の和が $0$ の場合）から $I_R(t)\to0$ である。$\square$