正則基数
概要
正則基数（regular cardinal）とは、共終数が自分自身に等しい無限基数 $\kappa$、つまり $\operatorname{cf}\kappa=\kappa$ となる基数である。これは $\kappa$ 未満の個数の、濃度 $\kappa$ 未満の集合の合併がなお濃度 $\kappa$ 未満であることと同値で、$\omega$ や無限後続基数が例になる。$\aleph_\omega$ のように共終数が自身より小さい基数は特異基数という。非可算で正則な強極限基数を到達不能基数という。
正則基数とは
正則基数（regular cardinal）とは、それより小さい個数の順序数を並べても、その基数の全体へ共終にはならない無限基数である。基数を初期順序数とみると、無限基数 $\kappa$ が正則であるための式は
$$
\operatorname{cf}(\kappa)=\kappa
$$
となる。反対に $\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ なら特異基数という。$\omega$ と、その後のすべての無限後続基数は正則である。一方、$\aleph_\omega$ は特異である（Jec03 Chapter 3；Sta000E）。
正則性は、単に「長い増大列が必要」というだけではない。$\kappa$ 未満の個数の、各々濃度が $\kappa$ 未満である集合を合併しても、なお濃度は $\kappa$ 未満にとどまる。この性質は帰納構成で各段階の大きさを抑えたり、定常集合を扱うときに極限段階の上限を $\kappa$ の内側に保ったりするための基礎になる。この記事ではこれらの言い換えを証明し、具体例、巨大基数、強制法への接続を整理する。
共終数による定義
基数は同じ濃度の順序数のうち最小のもの、すなわち初期順序数として扱う。無限基数 $\kappa$ は極限順序数である。$\kappa$ の部分集合 $C$ が共終であるとは、任意の $\alpha<\kappa$ に対し、それ以上の元 $\beta\in C$ が存在することをいう。言い換えると $\sup C=\kappa$ である。
共終数 $\operatorname{cf}(\kappa)$ は、$\kappa$ に共終な真に増加する列を作るのに必要な最小の長さである。同値に、$\kappa$ の共終部分集合の濃度の最小値としても定義できる（Sta000E）。共終部分集合を増加順に並べたときの順序型が、その集合の濃度と必ず等しいという意味ではない。$\kappa$ 自身をそのまま列にできるため、常に $\operatorname{cf}(\kappa)\leq\kappa$ である。
無限基数 $\kappa$ が正則であるとは、$\operatorname{cf}(\kappa)=\kappa$ であることをいう。$\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ のときは特異である。
したがって、正則な $\kappa$ へ共終な列を作るには、少なくとも $\kappa$ 個の段階が要る。「$\kappa$ 未満の各段階で何かを選び続けると、途中で $\kappa$ の外へ出てしまうのではないか」という心配は、順序数の上限を取る場面では正則性によって解消される。
ここで後続順序数と後続基数は区別する。後続順序数 $\alpha+1$ は最大元 $\alpha$ をもつので共終数が $1$ である。これに対して無限基数 $\lambda$ の後続基数 $\lambda^+$ は初期順序数として極限順序数であり、共終数は $\lambda^+$ である。「後続」の二つの意味を混ぜると正則性を誤って判定する。
有限基数を正則・特異に含める慣習は文献によって異なる。以下では標準的に無限基数だけを対象とする。また、後続基数の正則性や集合の合併に関する議論は、選択公理を含む ZFC の下で述べる。
判定法：小さな集合の合併
正則性は、$\kappa$ の部分集合がどこまで伸びるかで判断できる。
無限基数 $\kappa$ について次は同値である。
- $\kappa$ は正則である。
- $A\subseteq\kappa$ かつ $|A|<\kappa$ なら、ある $\gamma<\kappa$ が存在して $A\subseteq\gamma$ となる。
- $\mu<\kappa$ と $\alpha_i<\kappa$（$i<\mu$）を任意に取ると、$\sup_{i<\mu}\alpha_i<\kappa$ である。
1 なら、もし 2 に反する $A$ があれば、$A$ は $\kappa$ に共終である。共終数は共終部分集合の濃度の最小値にも等しいので、$\operatorname{cf}(\kappa)\leq|A|<\kappa$ となり正則性に反する。2 から 3 へは、列の値の集合 $A=\{\alpha_i\mid i<\mu\}$ に 2 を適用すればよい。3 が成り立つのに 1 が成り立たないなら、$\operatorname{cf}(\kappa)=\mu<\kappa$ の共終列を取れる。その列の上限は $\kappa$ なので 3 に反する。従って三条件は同値である。$\square$
「有界」はここでは順序数として $\kappa$ のある点より下に収まることを指す。単に集合として濃度が小さいことと、この順序上の有界性とが一致するのは、まさに正則性があるからである。特異基数では、濃度の小さい共終部分集合が存在する。
もう一つの判定法は、日常の証明でより使いやすい。添字の個数も各集合の濃度も $\kappa$ より小さければ、合併の濃度も $\kappa$ より小さいという性質である。
無限基数 $\kappa$ について、次の条件は正則性と同値である。
任意の $\mu<\kappa$ と集合族 $(A_i)_{i<\mu}$ に対し、すべての $i<\mu$ で $|A_i|<\kappa$ なら
$$
\left|\bigcup_{i<\mu}A_i\right|<\kappa
$$
が成り立つ。
$\kappa$ が正則とする。まず $\kappa=\omega$ なら、$\mu$ と各 $A_i$ は有限であり、有限個の有限集合の合併も有限だからよい。$\kappa$ が非可算の場合、各濃度 $\lambda_i=|A_i|$ は $\kappa$ 未満である。前の命題を $(\lambda_i)_{i<\mu}$ に適用すると、それらを一様に上から抑える基数 $\lambda<\kappa$ が取れる。選択公理を用いて各 $A_i$ を $\lambda$ の部分集合へ単射で写せば、合併は $\mu\times\lambda$ の像として数えられる。無限基数の積の計算より $|\mu\times\lambda|=\max(\mu,\lambda)$、一方が有限の場合もこの積は $\kappa$ 未満なので、合併の濃度は $\kappa$ 未満である。
逆に $\kappa$ が特異なら、$\mu=\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ とし、$\kappa$ に共終な増加列 $(\alpha_i)_{i<\mu}$ を取る。各 $A_i=\{\xi\mid\xi<\alpha_i\}$ は濃度が $\kappa$ 未満なのに、$\bigcup_{i<\mu}A_i=\kappa$ となる。従って合併条件は失敗する。$\square$
この命題で「個数が小さい」を抜くと結論は成り立たない。正則な $\kappa$ でも、$\kappa$ 個の単元集合 $\{\alpha\}$ を $\alpha<\kappa$ にわたり合併すれば $\kappa$ になる。また、各集合の濃度だけが $\kappa$ 未満でも添字が $\kappa$ 個なら同じ反例になる。二つの不等式 $\mu<\kappa$ と $|A_i|<\kappa$ がそろって初めて適用できる。
この形は帰納構成で役立つ。たとえば非可算正則 $\kappa$ のもとで、各段階 $\alpha<\mu<\kappa$ にそれまでの対象を追加し、毎回追加される点の個数が $\kappa$ 未満なら、$\mu$ 段階後の全体も $\kappa$ 未満である。個々の段階が小さいだけでは、極限段階の全体が小さいとは限らないが、正則性がその隙間を埋める。
基本例と反例
$\omega$ の有限部分集合は自然数の最大値より下に収まる。ゆえに $\operatorname{cf}(\omega)=\omega$ であり、$\omega$ は正則である。
$\omega_1$ は最初の非可算基数である。可算個の可算順序数の上限は可算順序数だから、$\omega_1$ への可算共終列は存在しない。したがって $\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega_1$ である。より一般には次の命題が後続基数すべてに当てはまる。
任意の無限基数 $\lambda$ について、$\lambda^+$ は正則である。
$\lambda^+$ に長さ $\mu<\lambda^+$ の共終列 $(\alpha_i)_{i<\mu}$ があると仮定する。$\lambda^+$ は $\lambda$ の次の基数だから $|\mu|\leq\lambda$、また $\alpha_i<\lambda^+$ より各 $\alpha_i$ の濃度も $\lambda$ 以下である。選択公理の下で
$$
\left|\bigcup_{i<\mu}\alpha_i\right|
\leq |\mu|\cdot\lambda
\leq\lambda\cdot\lambda
=\lambda.
$$
しかし列が共終なら、その合併は $\lambda^+$ 全体であり、濃度は $\lambda^+>\lambda$ である。矛盾する。$\square$
従って $\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ はどれも正則である。ただし「正則なら後続基数」という逆は主張できない。正則な極限基数の存在は別の問題であり、非可算な強極限性まで備えるものが到達不能基数である。
極限添字における定義から
$$
\aleph_\omega=\sup_{n<\omega}\aleph_n.
$$
右辺は可算個の $\aleph_\omega$ 未満の順序数で $\aleph_\omega$ に到達する。有限個では上限に届かないので $\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\omega<\aleph_\omega$ である。これは最初に現れる特異基数の例である。
集合の合併による反例も見える。$A_n=\aleph_n$ を順序数の集合とみれば、各 $|A_n|=\aleph_n<\aleph_\omega$ なのに $\bigcup_{n<\omega}A_n=\aleph_\omega$ である。
$\aleph_\omega$ が特異であることと、連続体の濃度が何であるかは別の問題である。$\aleph_\omega$ の共終数の計算には連続体仮説を使わない。さらに、極限基数がすべて特異というわけでもない。正則な極限基数が存在する場合もあり、その存在を当然のものとして扱うことはできない。
順序数の例との違い. $\omega_1+\omega$ という順序数は共終数 $\omega$ を持つが、基数ではない。同じ濃度を持つ初期順序数は $\omega_1$ で、その共終数は $\omega_1$ である。正則・特異を判定するときは、対象を初期順序数としての基数に固定しなければならない。
共終数自体は正則
特異基数の共終数は、それ自体は正則である。このため「$\kappa$ は特異で、$\operatorname{cf}(\kappa)$ も特異」ということは起こらない。
任意の $0$ でない極限順序数 $\delta$ について、$\operatorname{cf}(\delta)$ は正則な無限基数である。
$\mu=\operatorname{cf}(\delta)$ とし、長さ $\mu$ の増加共終列 $(\delta_i)_{i<\mu}$ を取る。もし $\mu$ が特異なら、長さ $\nu=\operatorname{cf}(\mu)<\mu$ の増加共終列 $(i_j)_{j<\nu}$ がある。すると $(\delta_{i_j})_{j<\nu}$ も $\delta$ に共終になる。実際、任意の $\gamma<\delta$ を超える $\delta_i$ があり、その $i$ 以上の $i_j$ を選べるからである。これは $\mu$ が $\delta$ への共終列の最小長であることに反する。従って $\mu$ は正則である。$\square$
この証明は「共終列をさらに間引けるか」という操作そのものに基づく。$\delta$ の共終数が特異なら、いったん $\delta$ への列を作り、その添字の共終部分だけを残して、さらに短い共終列を作れてしまう。従って共終数は短縮の余地がない。
なお、ここで $\delta$ を「極限順序数」としたのは重要である。後続順序数は最大元を持ち、共終数が $1$ になる。この $1$ は、この記事で扱う無限正則基数の範囲外である。
定常集合と大きな基数での役割
非可算正則基数 $\kappa$ 上では、$\kappa$ の中に閉じた非有界集合を考え、それと必ず交わる集合を定常集合という。正則性によって、長さが $\kappa$ 未満の上昇列の上限は $\kappa$ 未満に残る。そのため、閉非有界集合を段階的に構成するとき、途中の極限点を $\kappa$ の外へ逃がさずに済む（Jec03 Chapter 8）。
具体的には、$\kappa$ が非可算正則で、$C,D\subseteq\kappa$ がそれぞれ閉非有界なら、$C\cap D$ も非有界である。任意の出発点 $\alpha<\kappa$ より上に、交互に $C$ と $D$ の点を選んで
$$
c_0< d_0< c_1< d_1<\cdots
$$
とする。$\kappa$ は非可算正則なので可算列の上限 $\gamma$ は $\kappa$ 未満である。両集合の閉性から $\gamma\in C\cap D$ となる。出発点を任意に上げられるため、共通部分は非有界である。この議論をさらに一般化すると、$\kappa$ 未満の個数の閉非有界集合の共通部分を扱える。詳しい定常性や Fodor の押し下げ補題は定常集合で扱う。
大きな基数の定義でも、正則性は明示的な条件になる。非可算基数 $\kappa$ が強極限であるとは、すべての $\lambda<\kappa$ について $2^\lambda<\kappa$ となることである。非可算・正則・強極限の三条件を備える基数が、強到達不能基数である（到達不能基数）。強極限性だけでは正則性は出ない。
$\beth_0=\aleph_0$、$\beth_{n+1}=2^{\beth_n}$、$\beth_\omega=\sup_{n<\omega}\beth_n$ とする。$\beth_\omega$ は長さ $\omega$ の増加列の上限なので共終数は $\omega$ であり、特異である。他方、任意の $\lambda<\beth_\omega$ に対し $\lambda<\beth_n$ となる $n$ を取れば
$$
2^\lambda\leq 2^{\beth_n}=\beth_{n+1}<\beth_\omega
$$
である。従って $\beth_\omega$ は強極限でもある。この例は、強極限性と正則性が異なる条件だと示す。
可測基数は、非自明な $\kappa$ 完備超フィルターを持つ基数として定義され、正則性を満たす。その理由の骨格は合併判定法と似ている。$\kappa$ が特異なら、$\kappa$ 全体を $\kappa$ 未満の個数の小さな集合の合併として書ける。超フィルターが非単項的かつ $\kappa$ 完備なら、各小集合は測度零であり、その $\kappa$ 未満の個数の合併も零であるはずだが、全体は零でない。矛盾する。可測性の定義と強極限性を含む詳しい議論は可測基数に譲る（Jec03 Chapter 10）。
強制法で何を保存するか
強制法では、基礎モデルに新しい集合を加えた後も、どの基数と共終数が残るかを検討する。条件の順序や一般フィルターの定義は強制概念と強制法に譲り、ここでは閉性と正則性の一つの関係だけを述べる（Jec03 Chapter 15）。
強制概念 $\mathbb P$ が$<\kappa$ 閉であるとは、長さ $\mu<\kappa$ の任意の下降列 $(p_i)_{i<\mu}$ に、それらすべてより強い下界があることをいう。ここで「下降」は条件をより強くしていく向きである。正則な $\kappa$ を固定し、この閉性があるとする。
$\kappa$ が基礎モデルで無限正則基数で、$\mathbb P$ が $<\kappa$ 閉なら、$\mathbb P$ は長さ $\mu<\kappa$ の順序数列を新たに加えない。したがって $\kappa$ は強制拡大でも基数であり、正則である。
$\mu<\kappa$ と、順序数列の名前 $\dot f$、それが長さ $\mu$ であると強制する条件 $p$ を取る。各 $i<\mu$ で、現在の条件より強くして $\dot f(i)$ の値を決定できる。極限段階 $j<\mu$ では、それまでの下降列の長さが $j<\kappa$ なので、閉性により下界を取る。こうして $\mu$ 個の値を順に決め、最後にも長さ $\mu<\kappa$ の下降列の下界 $q$ を取る。$q$ は $\dot f$ 全体を基礎モデルにある列 $(\alpha_i)_{i<\mu}$ と等しいと強制する。よって新しい長さ $\mu$ の順序数列は存在しない。
もし拡大で $\kappa$ が濃度 $\mu<\kappa$ に縮めば、$\mu$ から $\kappa$ への全射という新しい順序数列が必要になる。もし $\kappa$ の共終数が $\mu<\kappa$ に下がれば、$\kappa$ への新しい共終順序数列が必要になる。どちらも前段に反するので、$\kappa$ は基数かつ正則のままである。$\square$
この命題では「$<\kappa$ 閉」という十分条件を使った。任意の強制法が正則基数を保存するという主張ではない。また、閉性の添字を $\kappa$ と書くか $<\kappa$ と書くかは文献の慣習に差があるため、適用時には「どの長さの下降列に下界を要求するか」を確認する。
よくある混同
- 正則と強極限. 正則性は共終列の長さ、強極限性は冪集合の濃度を制御する。$\aleph_1$ は正則だが、$2^{\aleph_0}\geq\aleph_1$ なので強極限ではない。一方、上で見た $\beth_\omega$ は強極限だが特異である。
- 正則と後続. すべての無限後続基数は正則だが、正則性の定義に後続であることは含まれない。正則な極限基数の議論には別の仮定が現れる。
- 小さい集合と有界集合. 特異な $\kappa$ では、濃度が $\kappa$ より小さくても $\kappa$ に共終な部分集合がある。正則な $\kappa$ では、そのような部分集合はすべて有界である。
- 基数と一般の順序数. 一般の順序数の共終数も定義できるが、正則基数かどうかを問う際は初期順序数としての無限基数を対象にする。
参照箇所
- Jec03 Chapter 3, pp. 27–35：共終数、正則・特異基数、後続基数。
- Jec03 Chapter 8, pp. 91–105：非可算正則基数上の閉非有界集合と定常集合。
- Jec03 Chapter 10, pp. 125–138：可測基数と正則性。
- Jec03 Chapter 15, pp. 201–224：強制法と共終数の保存。
- Sta000E Section 3.7：順序数の共終数の基本定義。
関連項目
参考文献
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