Weierstrassの優級数判定法

$s(x):=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\sin kx}{k^3}$ は $\mathbb R$ 上で連続微分可能で、$s'(x)=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\cos kx}{k^2}$ である。$\bigl|\frac{\sin kx}{k^3}\bigr|\le\frac1{k^3}$、$\bigl|\frac{\cos kx}{k^2}\bigr|\le\frac1{k^2}$ で、$\sum\frac1{k^2}$ は収束する（級数 の記事の例「平方数の逆数の級数」）ので $\sum\frac1{k^3}$ も収束する。各区間 $(-R,R)$（$R>0$）で cor-wm-calculus の 2（$c=0$ で $\sum u_k(0)=0$）を使えば $s'=\sum\frac{\cos kx}{k^2}$ を得て、右辺は cor-wm-continuity により連続である。もう一度微分した $-\sum\frac{\sin kx}k$ では $\sup_{\mathbb R}\bigl|\frac{\sin kx}k\bigr|=\frac1k$ の和が発散するので、判定法は使えない。

$R>0$ とし、$n$ 次正方行列 $A$ に作用素ノルム $\|A\|$ を入れる。$\|t^kA^k/k!\|\le R^k\|A\|^k/k!$（$|t|\le R$）であり、$\sum_kR^k\|A\|^k/k!$ は実数の指数級数として収束する（指数関数 の記事）。行列の空間は有限次元なので完備であり、thm-wm-main により $e^{tA}:=\sum_{k\ge0}t^kA^k/k!$ は $|t|\le R$ で一様収束し、$t$ について連続である（行列の指数関数）。ここでは $\|A^k\|\le\|A\|^k$（作用素ノルムの劣乗法性）を使った。$n=1$ なら実数の指数級数 $\sum t^k/k!$ の $[-R,R]$ 上での一様収束である。

$\zeta(s):=\sum_{n\ge1}n^{-s}$（$s>1$）を考える。$1<\sigma_0<\sigma_1$ とすると、$s\in(\sigma_0,\sigma_1)$ で $0< n^{-s}\le n^{-\sigma_0}$、$\bigl|\frac{d}{ds}n^{-s}\bigr|=(\log n)\,n^{-s}\le(\log n)\,n^{-\sigma_0}$ である。$\varepsilon:=(\sigma_0-1)/2$ とおくと $\log n\le n^\varepsilon/\varepsilon$（$\log y\le y-1< y$ を $y=n^\varepsilon$ に使う）なので $(\log n)n^{-\sigma_0}\le\varepsilon^{-1}n^{-(1+\varepsilon)}$ であり、$\sum n^{-(1+\varepsilon)}$ も $\sum n^{-\sigma_0}$ も収束する（Riemannゼータ関数）。よって cor-wm-calculus の 2 により、$\zeta$ は $(1,\infty)$ 上で微分可能で $\zeta'(s)=-\sum_{n\ge1}(\log n)\,n^{-s}$ である。

$0< a< 1$、$b>1$ について $W(x):=\sum_{k\ge0}a^k\cos(b^k\pi x)$ は、$|a^k\cos(b^k\pi x)|\le a^k$ と等比級数 $\sum a^k$ の収束により $\mathbb R$ 上で一様収束し、cor-wm-continuity により連続である。項別に微分した級数の項の上限は $\pi(ab)^k$ なので、$ab\ge1$ なら判定法は導関数には使えない。実際、$b$ が奇数の整数で $ab>1+\frac32\pi$ なら、この関数はどの点でも微分可能でない（Weierstrass関数）。

実数列 $(a_k)_{k\ge0}$、$(b_k)_{k\ge1}$ について $\sum_k(|a_k|+|b_k|)$ が収束するとし、$f(x):=a_0+\sum_{k\ge1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ とおく。$|a_k\cos kx+b_k\sin kx|\le|a_k|+|b_k|$ なので級数は $\mathbb R$ 上で一様収束し、$f$ は連続である。さらに $m\ge1$ について $f(x)\cos mx$ の級数も同じ優級数をもつので、cor-wm-calculus の 1 により項別に積分でき、$\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos mx\,dx$ などの直交関係から $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,dx=a_m$ を得る（$\sin mx$ と $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f=a_0$ も同様）。したがって係数は $f$ の Fourier 係数であり、級数は $f$ の Fourier級数 である。

$\mathbb R$ 上で $u_k(x):=\frac1k\max\{0,1-|x-3k|\}$ とおく。$u_k$ は $[3k-1,3k+1]$ の外で $0$ で、これらの区間は互いに交わらないので、各 $x$ で $0$ でない項は高々一つである。よって $\sum_ku_k(x)$ は各点で絶対収束し、和と部分和の差は $\sup_x\bigl|\sum_{k>n}u_k(x)\bigr|=\sup_{k>n}\frac1k=\frac1{n+1}\to0$ なので一様収束する。$\sum_k|u_k|$ も同じ理由で一様収束する。しかし $\sup_{\mathbb R}|u_k|=\frac1k$ で、$\sum\frac1k$ は発散する（級数 の記事の例「反例：項が0に近づくが発散する級数」）ので、仮定 1・2 を満たす $M_k$ はない。この例は「一様収束し、各点で絶対収束する関数項級数には優級数がある」という含意を破る。

空でない集合 $S$ 上の定数関数 $u_k(x):=(-1)^{k-1}/k$ を考える。交代調和級数は収束するので（Leibnizの判定法 の定理「Leibnizの判定法」）、部分和は和に一様収束する（定数関数なので、各点での収束がそのまま一様収束である）。しかし各点で $\sum|u_k(x)|=\sum\frac1k$ は発散するので、判定法の結論の一つである絶対収束が成り立たず、優級数はない。
$x$ に依存する例もある。$0<\delta<\pi$ とすると $\sum_{k\ge1}\frac{\sin kx}k$ は $[\delta,2\pi-\delta]$ 上で一様収束する。$2\sin\frac x2\sum_{k=1}^N\sin kx=\cos\frac x2-\cos\bigl(N+\frac12\bigr)x$ から $\bigl|\sum_{k=1}^N\sin kx\bigr|\le1/\sin\frac\delta2$ がこの区間で成り立ち、Abelの級数変形法とその応用 の定理「Dirichlet の判定法とその評価」により、$M\ge0$ について尾部 $\sum_{k>M}\frac{\sin kx}k$ の絶対値は $2/(\sin\frac\delta2\,(M+1))$ 以下で $x$ によらないからである。一方、区間の長さ $2\pi-2\delta$ の $k$ 倍が $\pi$ 以上になる $k$ では、$kx$ が長さ $\pi$ 以上の区間を動くので $\sup|\sin kx|=1$ となり、$\sum_k\sup\frac{|\sin kx|}k$ は発散する。このように、条件収束する級数の一様収束には、絶対値で押さえる優級数判定法ではなく、Abel・Dirichlet 型の判定法を使う。

1・2 行目は既存の例に帰着し、3 行目は極限の成分を調べる。