離散付値環

1：$x\neq0$、$v(x)=0$ なら $v(x^{-1})=0$ なので $x^{-1}\in R$ である。逆に $xy=1$（$x,y\in R$）なら $v(x)+v(y)=0$ で $v(x),v(y)\ge0$ なので $v(x)=0$ である。
2：$n:=v(x)$、$u:=x\pi^{-n}$ とおくと $v(u)=v(x)-n=0$ なので、1 により $u\in R^\times$ で $x=\pi^nu$ である。$\pi^nu=\pi^mu'$（$u,u'\in R^\times$）なら両辺の $v$ をとって $n=m$、したがって $u=u'$ である。$x\in R$ は $v(x)=n\ge0$ と同値である。
3：$I\neq0$ をイデアルとし、$n:=\min\{v(x)\mid x\in I,\ x\neq0\}$ とおき、$v(x_0)=n$ となる $x_0\in I$ をとる。2 により $x_0=\pi^nu$ で $u$ は単元なので $\pi^n\in I$、よって $(\pi^n)\subset I$ である。逆に $0\neq y\in I$ なら $v(y)\ge n$ なので $y=\pi^n\cdot(y\pi^{-n})$、$y\pi^{-n}\in R$ で $y\in(\pi^n)$ である。よって $I=(\pi^n)$ である。$v(\pi^n)=n$ なので、$n$ が違えば $(\pi^n)$ も違う。$\mathfrak{m}=\{x\mid v(x)\ge1\}\cup\{0\}=(\pi)$ であり、$(\pi)^n=(\pi^n)$ なので $\mathfrak{m}^n=(\pi^n)$ である。すべてのイデアルが単項なので $R$ は単項イデアル整域である。真のイデアルは $n\ge1$ の $(\pi^n)$ と $0$ で、すべて $\mathfrak{m}$ に含まれるので、$\mathfrak{m}$ がただ 1 つの極大イデアルである。$n\ge2$ なら $\pi\cdot\pi^{n-1}\in(\pi^n)$ だが $\pi,\pi^{n-1}\notin(\pi^n)$（$v$ の値が $n$ 未満）なので $(\pi^n)$ は素イデアルでない。$R$ は整域なので $0$ は素イデアルであり、$\mathfrak{m}$ は極大イデアルなので素イデアルである。素イデアルの鎖は $0\subsetneq\mathfrak{m}$ が最長である。
4：3 の証明から、$0\neq x\in R$ について $x\in\mathfrak{m}^n=(\pi^n)$ は $v(x)\ge n$ と同値である。よって $x\in\mathfrak{m}^n$ となる $n$ の最大値は $v(x)$ であり、$x\notin\mathfrak{m}^{v(x)+1}$ なので $x\notin\bigcap_n\mathfrak{m}^n$ である。右辺 $\max\{n\mid x\in\mathfrak{m}^n\}$ は環 $R$ とそのイデアル $\mathfrak{m}$ だけで決まり、$K^\times$ 上の $v$ は $v(x/y)=v(x)-v(y)$ で決まるので、$v$ は $R$ から一意に定まる。最後に、$\varpi\in R$ について $v(\varpi)=1$ と $(\varpi)=\mathfrak{m}$ が同値であることを示す。$v(\varpi)=1$ なら、$y\in\mathfrak{m}$ は $y=\varpi\cdot(y\varpi^{-1})$、$v(y\varpi^{-1})\ge0$ と書けるので $(\varpi)=\mathfrak{m}$ である。逆に $(\varpi)=\mathfrak{m}$ なら、3 の証明により $(\varpi)=(\pi^{v(\varpi)})$ で、これが $\mathfrak{m}=(\pi)$ に等しいので $v(\varpi)=1$ である。$\square$

1 ⇒ 2：prop-discrete-valuation-ring-structure の 3 である。
2 ⇒ 3：単項イデアル整域ではすべてのイデアルが有限生成なので Noether 環である。
3 ⇒ 1：$\mathfrak{m}=(\pi)$ とする。$R$ は体でないので $\mathfrak{m}\neq0$、すなわち $\pi\neq0$ であり、$\pi$ は単元でない。
(a) $\bigcap_{n\ge0}(\pi^n)=0$ を示す。$0\neq x\in\bigcap_n(\pi^n)$ とし、$x=\pi^ny_n$（$y_n\in R$）と書く。$\pi^ny_n=\pi^{n+1}y_{n+1}$ で $R$ は整域なので $y_n=\pi y_{n+1}$ であり、イデアルの増大列 $(y_0)\subset(y_1)\subset\cdots$ が得られる。Noether 性によりある $n$ で $(y_n)=(y_{n+1})$ となり、$y_{n+1}=cy_n=c\pi y_{n+1}$ である。$y_{n+1}\neq0$ なので $c\pi=1$ となり、$\pi$ が単元になって矛盾する。
(b) $0\neq x\in R$ について、(a) により $x\in(\pi^n)$ となる $n\ge0$ の最大値 $n(x)$ が存在する。$x=\pi^{n(x)}u$ と書くと $u\notin(\pi)=\mathfrak{m}$ であり（さもなければ $x\in(\pi^{n(x)+1})$）、$R$ は局所環なので $\mathfrak{m}$ に属さない元は単元である（局所環 の記事の命題「局所環の特徴づけ」）。表示 $x=\pi^nu$（$u$ 単元）の $n$ は $n(x)$ に限る。$\pi^nu=\pi^mu'$、$n< m$ なら約分して $u=\pi^{m-n}u'\in\mathfrak{m}$ となり矛盾するからである。
(c) $K$ を $R$ の商体とする。$0\neq x,y\in R$ について $x=\pi^{n(x)}u$、$y=\pi^{n(y)}u'$ なので $xy=\pi^{n(x)+n(y)}uu'$ で、(b) の一意性から $n(xy)=n(x)+n(y)$ である。$v(x/y):=n(x)-n(y)$ と定めると、$x/y=x'/y'$ なら $xy'=x'y$ から $n(x)+n(y')=n(x')+n(y)$ なので、$v$ は $K^\times$ 上で well-defined であり、$v(ab)=v(a)+v(b)$ を満たす。$a=x/y$、$b=x'/y$ と分母を揃えると $a+b=(x+x')/y$ で、$x=\pi^{n(x)}u$、$x'=\pi^{n(x')}u'$、$n(x)\le n(x')$ なら $x+x'=\pi^{n(x)}(u+\pi^{n(x')-n(x)}u')\in(\pi^{n(x)})$ なので $n(x+x')\ge n(x)$、すなわち $v(a+b)\ge\min\{v(a),v(b)\}$ である。$v(\pi)=1$ なので $v$ は全射で、離散付値である。$K^\times$ の元は $\pi^ku$（$k\in\mathbb{Z}$、$u\in R^\times$）と書け、$v(\pi^ku)=k$ なので、$R_v=\{\pi^ku\mid k\ge0\}\cup\{0\}=R$ である。
1 ⇒ 4：prop-discrete-valuation-ring-structure の 3 により $R$ は Noether 局所環で Krull 次元は $1$、$\mathfrak{m}=(\pi)$ である。$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $\pi$ の類で張られ（$\pi c\equiv\bar c\,\pi$ を法 $\mathfrak{m}^2$ で）、$\pi\notin\mathfrak{m}^2=(\pi^2)$（$v(\pi)=1<2$）なので、次元はちょうど $1$ である。
4 ⇒ 3：剰余ベクトル空間の基底の代表 $\pi$ を選ぶと $\mathfrak m=(\pi)+\mathfrak m^2$ である。有限加群 $Q=\mathfrak m/(\pi)$ に対して $Q=\mathfrak mQ$ となる。有限生成系を用いて $q_i=\sum_jc_{ij}q_j$、$c_{ij}\in\mathfrak m$ と書き、行列 $I-C$ の余因子行列を掛ける。その行列式は $1+\mathfrak m$ に属する単元で全生成元を殺すので $Q=0$ である。従って $\mathfrak m=(\pi)$ となる。これは有限性を明示した中山の補題の証明でもある。
1 ⇒ 5：Krull 次元は上に示した。$x\in K$ が $R$ 上整、すなわち $x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0$（$a_i\in R$、$n\ge1$）を満たすとし、$x\notin R$、つまり $x\neq0$ かつ $v(x)<0$ と仮定する。$1\le i\le n$ について $a_ix^{n-i}\neq0$ なら $v(a_ix^{n-i})=v(a_i)+(n-i)v(x)\ge(n-i)v(x)>nv(x)=v(x^n)$ である。よって $x^n$ の付値は他のどの項よりも真に小さく、$v(x)\neq v(y)$ のとき $v(x+y)=\min$ となる性質（定義の直後の段落）を繰り返し用いると、左辺の和の付値は $nv(x)$ であり、特に和は $0$ でない。これは矛盾である。よって $x\in R$ であり、$R$ は整閉である。$\square$

極大イデアルを $\mathfrak m$ とする。非零 $a\in\mathfrak m$ を選ぶ。次元が $1$ で整域なので、$a$ を含む素イデアルは $\mathfrak m$ だけである。従って $\sqrt{(a)}=\mathfrak m$ である。ここで $\sqrt{(a)}$ が $(a)$ を含む素イデアルすべての交叉に等しいことは直接証明できる（交叉が $\sqrt{(a)}$ を含むのは明らかなので、逆を示す）。$z$ が根基の外なら $(a)$ は $1,z,z^2,\ldots$ と交わらないので、$(a)$ を含み $1,z,z^2,\ldots$ と交わらないイデアルを Zorn の補題で極大に取る。$uv$ がこのイデアルに入り $u,v$ が入らなければ、両方を追加したイデアルがそれぞれ $z$ の冪を含む。その式を掛けると元のイデアルに $z$ の冪が入って矛盾する。従って極大に取ったイデアルは $(a)$ を含む素イデアルであり $z$ を含まない。
Noether 性により $\mathfrak m=(a_1,\ldots,a_s)$ と書ける。各 $a_i$ のある冪 $a_i^{e_i}$ は $(a)$ に入る。次数 $1+\sum_i(e_i-1)$ の単項式はどれかの $a_i^{e_i}$ を因子にもつので、ある $n\ge1$ で $\mathfrak m^n\subset(a)$ となる。最小の $n$ を選び、$b\in\mathfrak m^{n-1}\setminus(a)$ を取る。$n=1$ の場合は $b=1$ としてよい。$z=b/a$ は商体の元で $z\notin R$、かつ $z\mathfrak m\subset R$ である。
もし $z\mathfrak m\subset\mathfrak m$ なら、有限生成系 $u_1,\ldots,u_s$ を使って $zu_i=\sum_jc_{ij}u_j$ と書ける。商体内で行列 $zI-(c_{ij})$ に余因子行列を掛けると、そのモニックな行列式 $F(z)$ が各 $u_i$ を殺す。$\mathfrak m\ne0$ で整域なので非零 $u_i$ があり、$F(z)=0$ となる。よって $z$ は整元となり、整閉性と $z\notin R$ に反する。従って $z\mathfrak m$ は $\mathfrak m$ に含まれない $R$ のイデアルであり、局所性から $z\mathfrak m=R$ である。$zc=1$ を満たす $c\in\mathfrak m$ を選べば、各 $u\in\mathfrak m$ について $u=c(zu)\in cR$ だから $\mathfrak m=cR$ となる。前の特徴づけにより $R$ は DVR である。

剰余体の各元について $R$ 内の代表を一つ選び、零の代表は零とする。整合的な剰余列から順に桁を引くと、各元は一意に $\sum_{i\ge0}c_i\pi^i$ と書ける。これは各有限商で有限和を評価するという意味であり、代表の集合が体であるとは仮定しない。桁を一つずつ決められるのは、$\pi^iR/\pi^{i+1}R\cong R/\pi R$ だからである。従って射影 $\widehat R\to R/\pi^nR$ は全射で、その核は $\pi^n\widehat R$ となる。核の元は最初の $n$ 桁が零なので桁を $n$ 個ずらして除算できる。特に $\pi$ による乗法は単射である。
非零元は最初の非零桁の位置 $n$ をもち、$\pi^n u$ と書ける。$u$ の剰余は非零なので、剰余で逆元の代表 $v$ を選ぶと $uv=1-\pi w$ となる。$v\sum_{j\ge0}(\pi w)^j$ は逆極限内で定義される逆元である。従って積の位数は位数の和であり、$\widehat R$ は整域である。任意の非零イデアルで位数の最小の元を取ればそのイデアルは $\pi$ の冪で生成される。商体上へ位数の差を延ばすと離散付値を得る。$R$ の非零元は有限の位数をもつため自然写像の核は零であり、その位数は完成でも変わらない。剰余体の同定は $n=1$ の射影による。

$\pi$ 進完全性により級数の評価は定まり、有限精度で演算を比較すれば環準同型となる。任意の $a\in R$ の剰余を係数体から持ち上げて引き、$\pi$ で割る操作を反復すると $a=\sum c_i\pi^i$ を得るので全射である。非零級数の初項を $c_nT^n$ とすると、その像は $\pi^n$ と剰余 $c_n\ne0$ をもつ単元の積であり零にはならない。従って単射である。等標数完備 Noether 局所環での係数体の存在は 係数体 の定理である。ここでの表示の証明は係数体を与えられた後の議論であり、混標数の Witt 環との識別は別の構造理論に属する。