離散付値環

$p$ を素数とする。$0$ でない有理数 $x=p^ea/b$（$a,b\in\mathbb{Z}$、$p\nmid ab$）に対し $v_p(x):=e$ とおくと、$v_p\colon\mathbb{Q}^\times\to\mathbb{Z}$ は離散付値である（$v_p$ が表示によらず 2 条件を満たすことは 付値環 の記事の例「素数による局所化」で確かめられている。$v_p(p)=1$ なので全射）。その離散付値環は
$$ \mathbb{Z}_{(p)}=\left\{\frac ab\in\mathbb{Q}\ \middle|\ a,b\in\mathbb{Z},\ p\nmid b\right\} $$
で、$\mathbb{Z}$ の素イデアル $(p)$ における局所化である。一意化元は $p$、極大イデアルは $p\mathbb{Z}_{(p)}$、剰余体は $\mathbb{Z}_{(p)}/p\mathbb{Z}_{(p)}\cong\mathbb{F}_p$ である（剰余体 の記事の例「素数での局所化 $\mathbb{Z}_{(p)}$ の剰余体」）。より一般に、単項イデアル整域 $A$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak p$ での局所化 $A_{\mathfrak p}$ は離散付値環である（単項イデアル整域 の記事の命題「局所化と剰余環」）。たとえば Gauss整数環の Gauss 素数 $2+i$ での局所化 $\mathbb{Z}[i]_{(2+i)}$ は、剰余体 $\mathbb{F}_5$ をもつ離散付値環である。

$k$ を体、$K=k(t)$ を有理関数体とする。

1. $a\in k$ に対し、$0$ でない $f\in K$ を $f=(t-a)^eg/h$（$g,h\in k[t]$、$g(a)h(a)\neq0$）と書いて $v_a(f):=e$ とおくと、$v_a$ は離散付値で、$f$ の $a$ における零点の位数（極なら負の位数。零点の位数）を表す。$k[t]$ は単項イデアル整域なので、その離散付値環は局所化 $k[t]_{(t-a)}=\{g/h\mid h(a)\neq0\}$ であり、一意化元は $t-a$、剰余体は $k$（値 $f\mapsto f(a)$）である。
2. $0$ でない $g,h\in k[t]$ について $v_\infty(g/h):=\deg h-\deg g$ とおくと、$v_\infty$ も $K$ の離散付値である（$\deg(gh)=\deg g+\deg h$ と $\deg(g+h)\le\max\{\deg g,\deg h\}$ による。$v_\infty(1/t)=1$）。これは $s=1/t$ とおいたときの $s=0$ での零点の位数で、離散付値環は $\{g/h\mid\deg g\le\deg h\}=k[s]_{(s)}$ である。
   $k$ 上自明な（$k^\times$ で値 $0$ をとる）$K$ の離散付値には、$v_\infty$ と、モニック既約多項式 $q\in k[t]$ ごとの $v_q$（$q=t-a$ のとき $v_a$）があり、代数幾何学ではそれらが射影直線 $\mathbb{P}^1_k$ の点（$\infty$ を含む）に対応する。

$k$ を体とする。形式的冪級数環 $k[\![t]\!]$ の $0$ でない元 $f$ は、$f=t^nu$（$n\ge0$、$u$ は定数項が $0$ でない冪級数で、$k[\![t]\!]$ の単元）とただ 1 通りに書け、$n$ を $f$ の $t$ 進位数という。これを形式的Laurent級数体 $k(\!(t)\!)$ へ延ばしたものは離散付値であり、その離散付値環が $k[\![t]\!]$ である（付値環 の記事の例「形式冪級数環の付値」）。一意化元は $t$、剰余体は $k$ である。$k[\![t]\!]$ は $k[t]_{(t)}$ の完備化であり、$k[t]_{(t)}\subsetneq k[\![t]\!]$ である（たとえば $e^t=\sum t^n/n!$（$k=\mathbb{Q}$）は右辺にだけ属する。$k[t]_{(t)}$ の元 $g/h$ が多項式でなければ、冪級数として展開したとき $h$ の根で極になるので収束半径が有限だが、$e^t$ は収束半径が無限大で、しかも多項式でないから $k[t]_{(t)}$ に属さない）。

$p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$（p進数）の $0$ でない元 $x$ について、$|x|_p$ は $p$ の整数冪であり（p進数 の記事の命題「絶対値と体構造の延長」）、$|x|_p=p^{-v_p(x)}$ によって $v_p(x)\in\mathbb{Z}$ が定まる。$p$ 進絶対値の乗法性と強三角不等式 $|x+y|_p\le\max\{|x|_p,|y|_p\}$ は、それぞれ $v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$ と $v_p(x+y)\ge\min\{v_p(x),v_p(y)\}$ にほかならず、$v_p(p)=1$ なので、$v_p$ は $\mathbb{Q}_p$ の離散付値である。その離散付値環は $\{x\mid|x|_p\le1\}=\mathbb{Z}_p$（p進数 の記事の定義「p進整数」）である。一意化元は $p$、剰余体は $\mathbb{F}_p$ で、$\mathbb{Z}_p$ の $0$ でない元は $p^nu$（$u\in\mathbb{Z}_p^\times$、すなわち $p$ 進展開の最初の桁が $0$ でない元）と書ける（同記事の系「p進整数の単元判定」）。$\mathbb{Z}_p$ は $\mathbb{Z}_{(p)}$ の完備化である。

$\mathbb{Z}$ は体でない単項イデアル整域だが、$(2)$ と $(3)$ という相異なる極大イデアルをもつので局所環でなく、prop-discrete-valuation-ring-structure の 3 により離散付値環でない。$\mathbb{Z}$ は「単項イデアル整域」「Krull 次元 $1$」を満たすが「局所環」を満たさず、含意「体でない単項イデアル整域は離散付値環である」を破る。局所化 $\mathbb{Z}_{(p)}$ をとると局所環になり、離散付値環が得られる（ex-discrete-valuation-ring-z-p）。

$k$ を体、$A=k[x,y]_{(x,y)}=\{f/g\mid f,g\in k[x,y],\ g(0,0)\neq0\}$ とする。$A$ は Noether 局所整域で、極大イデアルは $\mathfrak{m}=(x,y)A$ である。$A$ は離散付値環でない。
証明：$\mathfrak{m}$ が単項イデアルでないことを示せば、prop-discrete-valuation-ring-structure の 3 により十分である。まず $x,y$ の類は $A/\mathfrak{m}=k$ 上のベクトル空間 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で 1 次独立である。実際 $ax+by\in\mathfrak{m}^2$（$a,b\in k$）とすると、$\mathfrak{m}^2$ の元は $h/g$（$h\in(x,y)^2\subset k[x,y]$、$g(0,0)\neq0$）と書けるので $g\cdot(ax+by)=h$ となる。両辺の 1 次の項を比べると、左辺は $g(0,0)(ax+by)$、右辺は $h$ が 2 次以上の項だけからなるので $0$ であり、$g(0,0)\neq0$ より $a=b=0$ である。一方 $\mathfrak{m}=(f)$ と仮定すると、$\mathfrak{m}$ の元は $fc$（$c\in A$）で、$c-c_0\in\mathfrak{m}$（$c_0\in k$ は $c$ の $(0,0)$ での値）より $fc\equiv c_0f\pmod{\mathfrak{m}^2}$ なので、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $f$ の類で張られ、次元は $1$ 以下になる。これは矛盾である。
$(x)A$ は $0$ でも $\mathfrak{m}$ でもない素イデアルである（$A/(x)A$ は整域 $k[y]_{(y)}$）ので、$A$ の Krull 次元は $2$ 以上であり、この点からも prop-discrete-valuation-ring-structure の 3 に反する。$A$ は「Noether 局所整域」「整閉整域」（$k[x,y]$ が一意分解整域なので）を満たすが「離散付値環」を満たさず、含意「Noether 局所整閉整域は離散付値環である」を破る。この含意には次元 $1$ の仮定が要る（thm-discrete-valuation-ring-normal）。

$k$ を体、$B=k[t^2,t^3]=\{\sum_nc_nt^n\in k[t]\mid c_1=0\}$、$\mathfrak{m}_0=(t^2,t^3)B$、$A=B_{\mathfrak{m}_0}$ とする（平面曲線 $y^2=x^3$ の原点の局所環）。$B$ は有限生成な $k$ 代数（有限生成代数）なのでNoether環であり、$A$ は Noether 局所整域である。$B\subset k[t]$ は整拡大（$t$ は $X^2-t^2$ の根）なので $B$ の Krull 次元は $k[t]$ と同じ $1$ であり（整拡大で Krull 次元が保たれること。AM69 Chapter 5）、$\mathfrak{m}_0\neq0$ なので $A$ の Krull 次元も $1$ である。しかし $A$ は離散付値環でない。
証明：$A$ の商体は $k(t)$ で、$t=t^3/t^2$ はその元である。$t$ は $X^2-t^2=0$（$t^2\in A$）を満たすので $A$ 上整元である。$t\notin A$ を示す。$t=f/g$（$f,g\in B$、$g\notin\mathfrak{m}_0$、すなわち $g$ の定数項 $g_0\neq0$）とすると $tg=f\in B$ だが、$tg$ の $t^1$ の係数は $g_0\neq0$ なので $tg\notin B$ となり矛盾する。よって $A$ は整閉でない。一方、離散付値環は整閉である（thm-discrete-valuation-ring-characterization の 5）。したがって $A$ は離散付値環でない。
$A$ は「Noether 局所整域」「Krull 次元 $1$」を満たすが「整閉」を満たさず、含意「1 次元の Noether 局所整域は離散付値環である」を破る。極大イデアル $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_0A$ は単項でない。実際 $\mathfrak{m}_0$ は $t^n$（$n\ge2$）で張られ、$\mathfrak{m}_0^2$ は $t^n$（$n\ge4$）で張られるので $\mathfrak{m}_0/\mathfrak{m}_0^2$ は $t^2,t^3$ の類を基底とする 2 次元の $k$ ベクトル空間であり、$\mathfrak{m}_0$ で消える加群は $\mathfrak{m}_0$ での局所化で変わらない（$g\notin\mathfrak{m}_0$ は $0$ でない定数 $g_0$ 倍として作用する）ので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ も 2 次元である。単項イデアル $(f)$ なら $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $f$ の類で張られる（ex-discrete-valuation-ring-two-variables の議論）ので、次元が $1$ 以下になるはずである。

値群が $\mathbb{Z}^2$（辞書式順序）の付値の付値環は、局所整域で割り切る関係が全順序だが、Noether 環でなく離散付値環でない（付値環 の記事の例「値群が2段の付値環」）。この環は「付値環」「局所整域」を満たすが「Noether」を満たさず、含意「付値環は離散付値環である」を破る。付値環が離散付値環であることは、それが体でなく Noether であることと同値である（付値環 の記事の定理「離散付値環の特徴づけ」）。