肥田理論

前提知識: モジュラー形式, Hecke作用素, p進数体, 岩澤理論, Galois表現

肥田理論（Hida theory）とは、素数 $p$ に関する Atkin の作用素 $U_p$ の固有値が $p$ 進単数である固有形式（通常形式）だけを取り出すと、その全体が重み $k$ を $p$ 進的に動かす有限階数の族をなす、という理論である。肥田晴三（Haruzo Hida）が 1980 年代に建設した。
固定した重みとレベルの Hecke 環は有限階数でも、重みをすべて動かすと、Hecke 環全体の階数は 岩澤理論 の代数 $\Lambda=\mathbb Z_p[\![X]\!]$ の上で無限になる。ところが通常部分に限ると $\Lambda$ 上の階数が有限になり、しかも各重み $k\ge2$ の古典的な Hecke 環の通常部分が、$k$ に対応する $\Lambda$ の素イデアルでの還元として現れる。これにより $\tau(n)$ のような係数が、$k$ の $p$ 進解析的な関数の値として理解される。
この記事では、通常部分の射影子の構成、$p$ の持ち上げ（$p$ 安定化）、レベルが $p$ のべきで上がっても通常部分が変わらないことを証明し、肥田の主定理は主張と証明の筋までを述べる。$p=11$ で重み $2$ の形式と Ramanujan の $\Delta$ が同じ族に乗る例を確かめる。

通常部分

$p$ を素数とする。有限生成 $\mathbb Z_p$ 加群 $M$ とその自己準同型 $U$ の組を考える。

$M^{\mathrm{ord}}:=eM$ を $M$ の通常部分（ordinary part）、$e$ を通常射影子という。$M$ が $\mathbb Z_p$ 上有限な環 $\mathcal O$ 上の加群で $U$ が $\mathcal O$ 線形なら、$e$ も $\mathcal O$ 線形である。$Um=\alpha m$（$\alpha\in\mathcal O$、$\mathcal O$ は $p$ 進体の整数環）のとき、$\alpha$ が単数なら $\alpha^{n!}\to1$ で $em=m$、単数でないなら $\alpha^{n!}\to0$ で $em=0$ である。通常部分は $U$ の固有値が単数である部分である。
以下、埋め込み $\overline{\mathbb Q}\hookrightarrow\overline{\mathbb Q}_p$ を固定する。$N$ を正の整数、$\varepsilon$ を法 $N$ の Dirichlet 指標、$S_k(N,\varepsilon)$ を $\Gamma_0(N)$ の上の指標 $\varepsilon$、重み $k$ のカスプ形式の空間とする（モジュラー形式）。$\mathcal O$ を $\mathbb Q_p$ の有限次拡大の整数環とし、$S_k(N,\varepsilon;\mathcal O)$ を Fourier 係数が $\mathcal O$ に入る部分とする。$\mathcal O$ が $\varepsilon$ の値を含むとき、これは $\mathcal O$ 上有限階数の自由加群で、Hecke 作用素で閉じている。$p\mid N$ のとき、$p$ での作用素は
$$ U=U_p\colon\sum_na_nq^n\longmapsto\sum_na_{pn}q^n $$
である。

例えば $\tau(11)=534612\equiv1\pmod{11}$ なので $\Delta$ は $11$ で通常であり、$\tau(7)=-16744\equiv0\pmod 7$ なので $7$ では通常でない。

$p$ 安定化

$p\nmid N$ のレベルの形式と $p\mid N$ のレベルの形式は、次の操作で結ばれる。$Vf(z):=f(pz)$ とおく。$p\nmid N$ の $S_k(N,\varepsilon)$ の上で、Fourier 係数の公式（Hecke作用素）から
$$ T_p=U+\varepsilon(p)p^{k-1}V,\qquad UV=\operatorname{id} $$
である。

もう一方の $f(z)-\alpha f(pz)$ は $U$ の固有値 $\beta$ をもち、通常でない。すなわち $p$ で通常な $f$ は、レベル $Np$ に通常な形式をちょうど 1 つ与える。

レベルの独立性

これが Atkin の作用素 $U$ の働きで、$p$ のレベルの上昇は通常部分には見えない。$p$ のべきのレベルを増やす効果は、指標の導手を増やす分だけになる。

普遍通常 Hecke 環と主定理

$p\ge5$ とする。$\Gamma:=1+p\mathbb Z_p$ とし、$\Lambda:=\mathbb Z_p[\![\Gamma]\!]=\varprojlim_n\mathbb Z_p[\Gamma/\Gamma^{p^n}]$ を 岩澤理論 の代数とする。$1+p\mapsto1+X$ により $\Lambda\cong\mathbb Z_p[\![X]\!]$ である。整数 $k$ に対して、連続環準同型
$$ \kappa_k\colon\Lambda\to\mathbb Z_p,\quad[z]\mapsto z^k,\qquad\ker\kappa_k=(P_k),\quad P_k:=1+X-(1+p)^k $$
を定める。$\omega$ は Teichmüller 指標、$\langle a\rangle=\omega(a)^{-1}a$ である（p進L関数）。
$N\ge1$ を $p$ と素な整数とする。$j\ge1$ について、$f=\sum_{k\le j}f_k$（$f_k\in S_k(\Gamma_1(Np);\mathbb Q_p)$）で、Fourier 展開の和が $\mathbb Z_p[\![q]\!]$ に入るものの全体を $\mathcal S^j$ とする。$\mathcal S^j$ に Hecke 作用素 $T(n)$（$T(p)=U$）で生成される $\mathbb Z_p$ 代数を $h^j$ とし、$h:=\varprojlim_jh^j$ とおく（Hid86 §1、§3）。$e=\lim T(p)^{n!}$ として $h^{\mathrm{ord}}:=eh$ を普遍通常 Hecke 環という。
$z\in\Gamma$ を重み $k$ の形式に $z^k$ 倍で作用させると $\mathcal S^j$ は保たれ、この作用は $h$ の元で与えられる。これで $h$ は $\Lambda$ 代数になる。$(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ の作用による固有分解 $h^{\mathrm{ord}}=\bigoplus_{a\bmod p-1}h^{\mathrm{ord}}_a$ をとる（Hid86 §3、p. 249）。重み $k$ の形式の空間で $h^{\mathrm{ord}}_a$ に対応するのは、指標の $p$ 部分が $\omega^{a-k}$ のものである（$k\equiv a\pmod{p-1}$ なら指標の $p$ 部分は自明である）。そこで
$$ h^{\mathrm{ord}}_k:=\text{（$S_k(\Gamma_1(N)\cap\Gamma_0(p),\omega^{a-k};\mathbb Z_p)$ に作用する Hecke 環の通常部分）} $$
とおく。

この記事ではこの定理を証明しない。Hid86 の証明は Katz の $p$ 進モジュラー形式の理論と、Hecke 環と形式の空間の双対性を使う。
$\Lambda$ 上で自由であることが要点である。$\mathbb Z_p$ 上で見れば $h^{\mathrm{ord}}$ は無限階数だが、$\Lambda$ の $1$ 変数分だけを除けば、階数は 1 つの重みで測れる。

$k\ge2$ なら thm-hi-control の 2 と、形式の空間と Hecke 環の双対性（Hid86 Proposition 2.1、Theorem 2.2、Corollary 2.3、pp. 245–248）により、$\sum_n\kappa_k(A_n)q^n$ は $S_k(\Gamma_1(N)\cap\Gamma_0(p),\omega^{a-k};\mathcal O)$ の通常部分の元である（$\kappa_k$ を $\mathcal O$ 線形に広げた）。肥田族からは、通常固有形式 $f_k$ の列が得られる。

同じ法 $p$ の類の族は、法 $p$ では同じ Hecke 固有値をもつ。一般に $h^{\mathrm{ord}}_a$ は局所環の直積で、各局所環は、法 $p$ の固有値が一致する通常形式の極大な類に対応する（Hid86 (3.5)〜(3.8)、p. 251）。

例

証明の筋

thm-hi-control と同じ内容の、モジュラー曲線のホモロジーの形を述べる。$\Gamma_r:=1+p^r\mathbb Z_p$、$\Lambda_r:=\mathbb Z_p[\Gamma/\Gamma_r]$ とし、$\Gamma_1(Np^r)$ のアーベル化 $H_r:=\Gamma_1(Np^r)^{\mathrm{ab}}\otimes\mathbb Z_p$ を考える（$Y_1(Np^r)$ の $H_1$ である）。$\mathfrak a_s$ を $\Gamma_s$ の添加イデアルとする。

この記事ではこの定理の全体を証明しないが、Emerton による証明の筋は短い。$\Phi^s_r:=\Gamma_1(Np^s)\cap\Gamma_0(p^r)$ とおく。

1. 群の完全列 $1\to\Gamma_1(Np^r)\to\Phi^s_r\to\Gamma_s/\Gamma_r\to1$ をアーベル化すると、$\mathfrak a_s$ の余不変量と $(\Phi^s_r)^{\mathrm{ab}}$ を結ぶ完全列が得られる。
2. 余核 $\Gamma_s/\Gamma_r$ の上で $U$ は $p$ 倍で、$p$ べき捩れなので冪零である。lem-hi-idempotent の完全性により、通常部分では余核が消える。
3. $(\Phi^s_r)^{\mathrm{ab}}$ の通常部分は $r$ によらない。これは prop-hi-level と同じ往復の議論である（Eme99 (3.2)、(3.3)、Theorem 4.1 の証明）。
4. 1〜3 から $H_r^{\mathrm{ord}}/\mathfrak a_s\cong H_s^{\mathrm{ord}}$ で、中山の補題により $W^{\mathrm{ord}}$ は $\Lambda$ 上有限生成である。
5. Poincaré 双対に対応する $\mathbb Z_p$ 双対と、$\Lambda_r$ 双対の比較により $W^{\mathrm{ord}}$ が反射的であることを示す。$\Lambda$ は $2$ 次元正則局所環なので、有限生成反射的加群は自由である。
   要点は 2 である。$p$ のべきのレベルを上げる障害は $p$ 倍の作用をもつ $p$ 群で、通常部分では見えなくなる。

族の Galois 表現

$h^{\mathrm{ord}}$ の局所環 $R$ の極大イデアルに対して、法 $p$ の Galois 表現 $\overline\rho$ が付随する。ここで MT90 の規約に合わせ、$R$ は重み $2$ で正規化した $\varprojlim_r$ の Hecke 環の局所成分とする（$\Lambda$ の作用はダイヤモンド作用素で、重み $k$ の点は $z\in\Gamma$ について $[z]\mapsto z^{k-2}$ である。MT90 §1〜§3）。

この記事ではこの定理を証明しない。$\rho$ の $k\ge2$ の点での特殊化は、対応する古典的な新形式の Deligne の表現である（MW86 序、p. 232）。MW86 §8 は、$N=1$ の場合に、$W$ とは双対の側の規約（Jacobi 多様体の反変 Tate 加群）で、その惰性不変部分が階数 $1$ の自由 $R$ 加群で、そこで Frobenius が $U_p$ として作用することを述べている（thm-hi-galois の $W$ では、惰性が自明に作用する商がこれに当たる）。族の全体で $p$ での局所的な形が保たれることが、通常性の Galois 側の意味である。

合同と主予想への橋

通常形式 $f$ が別の通常形式と法 $p$ で合同かどうかは、合同加群 $C(f)$ で測られる（Hid86 (0.1)）。Hid86 は、原始的な成分 $\mathcal K$ に捩れ有限生成 $\Lambda$ 加群 $C(\mathcal K)$ を対応させ、$k\ge2$ の特殊化に $C(f_k)$ が現れることを示した（Theorem 3.6、Corollary 3.8）。こうして合同の情報が 1 つの岩澤加群に集まる。
Mazur と Tilouine は、$R$ を通常変形の普遍変形環と比べ、$R$ の Kähler 微分が Galois コホモロジーから来る岩澤加群を受けることを観察した。普遍変形環から $R$ への写像の全射性を示し、同型であることは論文の時点（1990 年）では予想として述べている（MT90 Conjecture (*)、p. 66）。この写像を通して、岩澤主予想 と同じ型の、代数的な加群と解析的な値の比較が通常 Hecke 環の上に現れる。

条件を外したときの反例

関連項目

• 前提: モジュラー形式
• 前提: Hecke作用素
• 前提: 岩澤理論
• 前提: Galois表現
• 関連: p進L関数
• 関連: 岩澤主予想
• 関連: 保型形式
• 関連: Eichler–志村の関係式