楕円関数

以下 $\operatorname{Im}(\omega_2/\omega_1)>0$ とし、$\partial P_a$ を $a\to a+\omega_1\to a+\omega_1+\omega_2\to a+\omega_2\to a$ の順にたどる閉曲線とする。これは $P_a$ の閉包を正の向きに 1 周する。
境界を避ける $a$ の選び方。 $f$ の零点と極の集合 $S$ は離散で $\Lambda$ の平行移動で不変だから、$\Lambda$ を法として有限個の点 $s_1,\dots,s_n$ で代表される。$s_j=x_j\omega_1+y_j\omega_2$（$x_j,y_j\in\mathbb{R}$）と書き、$a=\alpha\omega_1+\beta\omega_2$ を、$\alpha-x_j$ と $\beta-y_j$ がどれも整数でないように選ぶ。$\partial P_a$ の点は $\omega_1$ 方向の座標が $\alpha$ か $\alpha+1$、または $\omega_2$ 方向の座標が $\beta$ か $\beta+1$ なので、$S$ の点は $\partial P_a$ にのらない。2・3・4 の主張は $\mathbb{C}/\Lambda$ 上の量なので、このような $a$ で示せば十分である。
1：$P$ の閉包はコンパクトなので、連続関数 $|f|$ はそこで有界である。任意の $z$ はある $\omega\in\Lambda$ で $z-\omega\in P$ となり、$f(z)=f(z-\omega)$ だから、$f$ は $\mathbb{C}$ 全体で有界な整関数であり、Liouvilleの定理(複素解析) により定数である。
2：留数定理により $2\pi i\sum_{p\in P_a}\operatorname{res}_p(f)=\oint_{\partial P_a}f(z)\,dz$ である。辺 $[a,a+\omega_1]$ と、逆向きにたどる辺 $[a+\omega_2,a+\omega_1+\omega_2]$ の寄与の和は
$$ \int_a^{a+\omega_1}\bigl(f(z)-f(z+\omega_2)\bigr)\,dz=0 $$
であり、残る 2 辺の寄与の和も $f(z+\omega_1)=f(z)$ により $0$ である。
3：$f'$ も楕円関数なので $f'/f$ は楕円関数である。$f(z)=(z-p)^m g(z)$、$g(p)\ne0$ と書くと $f'/f=m/(z-p)+g'/g$ なので、$f'/f$ の $p$ における留数は $\operatorname{ord}_p(f)$ である（偏角の原理）。2 を $f'/f$ に当てはめると $\sum_{p\in P_a}\operatorname{ord}_p(f)=0$、すなわち零点の個数と極の個数が等しい。$f$ は定数でないので 1 により極をもち、$\operatorname{ord}f\ge1$ である。$\operatorname{ord}f=1$ なら $P_a$ の中の極は 1 個の単純極で、留数が $0$ でないから 2 に反する。$c\in\mathbb{C}$ に対し $f-c$ は $f$ と同じ極をもつ楕円関数なので、その零点の個数も $\operatorname{ord}f$ である。
4：$g(z):=zf'(z)/f(z)$ は楕円関数ではないが、$\partial P_a$ 上で正則で、$p$ における留数は $p\operatorname{ord}_p(f)$ である。留数定理により $2\pi i\sum_p\operatorname{ord}_p(f)\,p=\oint_{\partial P_a}g\,dz$ である。$f'/f$ の周期性から、向かい合う辺の寄与の和は
$$ \int_a^{a+\omega_1}\bigl(g(z)-g(z+\omega_2)\bigr)dz=-\omega_2\int_a^{a+\omega_1}\frac{f'}{f}\,dz,\qquad \int_a^{a+\omega_2}\bigl(g(z+\omega_1)-g(z)\bigr)dz=\omega_1\int_a^{a+\omega_2}\frac{f'}{f}\,dz $$
である。線分 $\gamma=[a,a+\omega_1]$ は零点と極を通らず、$f(a+\omega_1)=f(a)$ なので $f\circ\gamma$ は $0$ を通らない閉曲線であり、$\int_\gamma f'/f\,dz=\int_{f\circ\gamma}dw/w$ はその回転数 $n_1\in\mathbb{Z}$ の $2\pi i$ 倍である。同様に $\int_a^{a+\omega_2}f'/f\,dz=2\pi i\,n_2$（$n_2\in\mathbb{Z}$）である。よって $\sum_p\operatorname{ord}_p(f)\,p=n_2\omega_1-n_1\omega_2\in\Lambda$ である。$\square$

$\wp-\wp(a)$ は位数 $2$ なので零点はちょうど 2 個で、偶関数性から $\pm a$ が零点になる。

$w$ のまわりで $f$ が偶関数になることによる。

1：$f$ を定数でない偶な楕円関数とする（定数なら明らか）。$\Lambda$ に属さない $f$ の零点と極を $\Lambda$ を法として考え、$\pm$ の組に分ける。代表 $a_1,\dots,a_r$ を、$a_i\notin\Lambda$、$a_i\not\equiv\pm a_j$（$i\ne j$）であり、$f$ の $\Lambda$ 外の零点・極がすべて $\pm a_i+\Lambda$ のどれかに入るように選ぶ。lem-ellf-even-order により $\operatorname{ord}_{-a_i}(f)=\operatorname{ord}_{a_i}(f)$ であり、$2a_i\in\Lambda$ なら $\operatorname{ord}_{a_i}(f)$ は偶数である。そこで
$$ n_i:=\begin{cases}\operatorname{ord}_{a_i}(f)&(2a_i\notin\Lambda),\\ \operatorname{ord}_{a_i}(f)/2&(2a_i\in\Lambda),\end{cases}\qquad g(z):=\prod_{i=1}^r\bigl(\wp(z)-\wp(a_i)\bigr)^{n_i} $$
とおく。prop-ellf-wp-values により、$\wp-\wp(a_i)$ は $\Lambda$ の外では $\pm a_i+\Lambda$ にだけ零点をもち、その位数は $2a_i\notin\Lambda$ なら各 $1$、$2a_i\in\Lambda$ なら $2$ である。$a_i$ たちは $\pm$ を込めて互いに合同でないので、$g$ と $f$ は $\Lambda$ の外で同じ位数の零点と極をもつ。したがって $f/g$ は $\Lambda$ の外に零点も極ももたない楕円関数である。もし $f/g$ が定数でなければ、thm-ellf-liouville の 1 により極をもち、$P$ の中の極は $0$ だけで零点はない。これは thm-ellf-liouville の 3（零点と極の個数が等しい）に反する。よって $f/g$ は定数 $c\ne0$ であり、$f=cg\in\mathbb{C}(\wp)$ である。
2：楕円関数 $f$ に対し $f_+(z):=\tfrac12(f(z)+f(-z))$、$f_-(z):=\tfrac12(f(z)-f(-z))$ はそれぞれ偶・奇な楕円関数である。$\wp'$ は恒等的に $0$ でない奇関数なので $f_-/\wp'$ は偶な楕円関数であり、1 により $f_+=R_1(\wp)$、$f_-/\wp'=R_2(\wp)$ と書ける。よって $f=R_1(\wp)+\wp'R_2(\wp)\in\mathbb{C}(\wp,\wp')$ である。一意性：$R_1(\wp)+\wp'R_2(\wp)=0$ とする。$R_1(\wp)$ と $R_2(\wp)$ は偶関数で $\wp'$ は奇関数なので、$z$ を $-z$ に替えて足し引きすると $R_1(\wp)=0$、$\wp'R_2(\wp)=0$ を得る。次の 3 で示す $\wp$ の超越性により $R_1=R_2=0$ である。
3：$Q\in\mathbb{C}[x]$ が $0$ でなく $Q(\wp)=0$ なら、$\wp$ は連結な $\mathbb{C}\setminus\Lambda$ 上で $Q$ の有限個の根のどれかの値しかとらず、連続性から定数になって極をもつことに反する。よって $\wp$ は超越的で、$x\mapsto\wp$ は体の単射 $\mathbb{C}(x)\to\mathcal{M}(\Lambda)$ を与える。$F(x):=4x^3-g_2x-g_3$ は $\mathbb{C}(x)$ で平方でない（有理関数の平方の次数（分子の次数から分母の次数を引いたもの）は偶数だが、$F$ の次数は $3$）。したがって $y^2-F(x)$ は $\mathbb{C}(x)$ 上既約で、左辺 $K:=\mathbb{C}(x)[y]/(y^2-F)$ は $\mathbb{C}(x)$ の 2 次拡大体である。微分方程式 $\wp'^2=F(\wp)$ により、$x\mapsto\wp$、$y\mapsto\wp'$ は環準同型 $K\to\mathcal{M}(\Lambda)$ を定め、$K$ は体なので単射である。その像は $\mathbb{C}(\wp)[\wp']=\mathbb{C}(\wp,\wp')$ で、2 によりこれは $\mathcal{M}(\Lambda)$ 全体である。$[K:\mathbb{C}(x)]=2$ なので $[\mathcal{M}(\Lambda):\mathbb{C}(\wp)]=2$ である。$\square$

Weierstrass の $\sigma$ 関数 $\sigma(z)=z\prod_{\omega\ne0}(1-z/\omega)e^{z/\omega+z^2/(2\omega^2)}$ の平行移動の積 $\prod_i\sigma(z-z_i)^{n_i}$ が求める関数になる。一意性は、同じ零点と極をもつ 2 つの楕円関数の商が零点も極ももたず、thm-ellf-liouville の 1 により定数になることによる。