正規列

$N_1\trianglelefteq G$ より任意の $g\in G$ について $gN_1g^{-1}=N_1$ である。特に $g\in N_2$ についても成り立つので、$N_1$ は $N_2$ の正規部分群である。不変正規列の隣接する二項 $G_i\le G_{i+1}$ はともに $G$ の正規部分群だから、これを適用して $G_i\trianglelefteq G_{i+1}$ を得る。$\square$

有限群では Lagrange の定理により $|G_{i+1}|=|G_{i+1}/G_i|\,|G_i|$ であり、$i=0,\dots,r-1$ について掛け合わせると $|G_r|=\prod_i|G_{i+1}/G_i|\cdot|G_0|=\prod_i|G_{i+1}/G_i|$ を得る。$\square$

挿入後の列の隣接項は、もとの隣接項（正規性はもとの列から）か、$G_i\le H$ と $H\le G_{i+1}$ のいずれかであり、後者の正規性は仮定そのものである。よって挿入後の列は正規列である。もとの列が不変正規列なら、挿入後の列の項のうち $H$ 以外はすべて $G$ の正規部分群だから、挿入後の列が不変正規列であることは $H\trianglelefteq G$ と同値である。$\square$

1. $a=(1\,2)(3\,4)$、$b=(1\,3)(2\,4)$、$c=(1\,4)(2\,3)$ とおく。直接計算により $a^2=b^2=c^2=e$、$ab=ba=c$、$bc=cb=a$、$ca=ac=b$ である（例えば $ab$ は $1\mapsto3\mapsto4$、$2\mapsto4\mapsto3$、$3\mapsto1\mapsto2$、$4\mapsto2\mapsto1$ で $(1\,4)(2\,3)=c$）。よって $V_4$ は積と逆元で閉じた部分群で、可換である。
2. 置換 $\sigma\in S_4$ と互換 $(x\,y)$ について $\sigma(x\,y)\sigma^{-1}=(\sigma(x)\,\sigma(y))$ が成り立つ。実際、左辺を $\sigma(x)$ に施すと $\sigma((x\,y)(x))=\sigma(y)$、$\sigma(y)$ に施すと $\sigma(x)$、それ以外の点 $\sigma(z)$（$z\ne x,y$）に施すと $\sigma(z)$ で、右辺と一致する。したがって $\sigma\,(x\,y)(z\,w)\,\sigma^{-1}=(\sigma(x)\,\sigma(y))(\sigma(z)\,\sigma(w))$ であり、$\{x,y\},\{z,w\}$ が $\{1,2,3,4\}$ の分割なら $\{\sigma(x),\sigma(y)\},\{\sigma(z),\sigma(w)\}$ も分割である。$\{1,2,3,4\}$ を二元集合二つに分ける分け方は $\{1,2\}\{3,4\}$、$\{1,3\}\{2,4\}$、$\{1,4\}\{2,3\}$ の三通りなので、$V_4\setminus\{e\}$ はそのような分割から作られる置換の全体であり、共役で閉じている。$e$ の共役は $e$ である。よって $\sigma V_4\sigma^{-1}\subset V_4$ が任意の $\sigma$ で成り立ち、$V_4\trianglelefteq S_4$ である。
3. $V_4$ はアーベル群なので、その任意の部分群は正規部分群である。特に $\langle(1\,2)(3\,4)\rangle\trianglelefteq V_4$。一方 $\sigma=(1\,3)$ に対し、(2) の計算から $\sigma(1\,2)(3\,4)\sigma^{-1}=(3\,2)(1\,4)=(1\,4)(2\,3)\notin\langle(1\,2)(3\,4)\rangle$ なので、$\langle(1\,2)(3\,4)\rangle$ は $S_4$ の正規部分群ではない。$\square$