Stieltjes積分（高校数学）

$f(x)=x^2$ とする。区間 $[0,3]$ を幅 $1$ の小区間 $[0,1]$、$[1,2]$、$[2,3]$ に分け、各小区間の右端での値を高さにした長方形を立てる。面積の和は
$$ 1\cdot f(1)+1\cdot f(2)+1\cdot f(3)=1+4+9=14=\sum_{k=1}^3k^2 $$
で、数列の和そのものである。
幅を $\frac1m$ にして同じことをすると、面積の和は $\frac1m\sum_{i=1}^{3m}\left(\frac im\right)^2$ で、次のようになる。

幅を $0$ に近づけると、区分求積により積分 $\int_0^3x^2\,dx=9$ に近づく。和は「幅を $1$ に固定した長方形の面積の和」、積分は「幅を $0$ に近づけた極限」である。

• サイコロの目 $X$ は $1,2,\dots,6$ の値を確率 $\frac16$ ずつでとる。期待値は、値と確率の積の 和 で
  $$ E(X)=\sum_{k=1}^6k\cdot\frac16=\frac{21}6=3.5 $$
  である。
• $0$ 以上 $6$ 以下の実数を「どこも同じくらいの確率で」選ぶ連続な分布では、確率密度関数は $0\le x\le6$ で $\frac16$ であり、期待値は 積分 で
  $$ E(X)=\int_0^6x\cdot\frac16\,dx=\frac16\left[\frac{x^2}2\right]_0^6=\frac16\cdot18=3 $$
  である。
  どちらも「値 × その値の重み」を集めたものなのに、高校では和と積分の 2 つの式を使い分ける。

$f(x)=x^2$、区間 $[0,3]$ を幅 $\frac12$ で 6 等分し、$\xi_i$ を各小区間の右端 $x_i$ にとる。分点は $0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ である。
$\alpha(x)=x$ のとき、増え方はどれも $0.5$ なので
$$ S=\sum_{i=1}^6x_i^2\cdot0.5=0.5\,(0.25+1+2.25+4+6.25+9)=0.5\times22.75=11.375 $$
である。これは ex-sem-rectangles の幅 $\frac12$ の値で、分割を細かくすると積分 $9$ に近づく。
$\alpha(x)=\lfloor x\rfloor$ のとき、$\lfloor x\rfloor$ は分点で $0,0,1,1,2,2,3$ と変わる。増え方は、小区間 $(0,0.5]$ で $0$、$(0.5,1]$ で $1$、$(1,1.5]$ で $0$、$(1.5,2]$ で $1$、$(2,2.5]$ で $0$、$(2.5,3]$ で $1$ である。よって
$$ S=f(1)\cdot1+f(2)\cdot1+f(3)\cdot1=1+4+9=14=\sum_{k=1}^3k^2 $$
である。同じ形の和が、$\alpha$ を取りかえるだけで、積分に近づくものにも、数列の和にもなる。

$f(x)=x$、$\alpha(x)=x^2$ とし、$[0,1]$ を 4 等分する。分点は $0,\frac14,\frac12,\frac34,1$ で、$\alpha$ の増え方は $\left(\frac i4\right)^2-\left(\frac{i-1}4\right)^2=\frac{2i-1}{16}$（$i=1,2,3,4$）である。

• $\xi_i$ を右端 $\frac i4$ にとると $S=\sum_{i=1}^4\frac i4\cdot\frac{2i-1}{16}=\frac{1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5+4\cdot7}{64}=\frac{50}{64}=0.78125$。
• $\xi_i$ を左端 $\frac{i-1}4$ にとると $S=\frac{0\cdot1+1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7}{64}=\frac{34}{64}=0.53125$。
  分割を細かくすると、どちらも $\frac23=0.666\cdots$ に近づく。これは $\int_0^1x\cdot(x^2)'\,dx=\int_0^12x^2\,dx=\frac23$ に等しい（rem-sem-smooth）。

$f(x)=1$ なら、どの分割でも
$$ S=\sum_{i=1}^m\bigl(\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})\bigr)=\alpha(x_m)-\alpha(x_0)=\alpha(b)-\alpha(a) $$
である（途中の項が打ち消し合う望遠鏡和）。よって $\int_a^b1\,d\alpha=\alpha(b)-\alpha(a)$ である。$\alpha(x)=x$ なら区間の長さ $b-a$ であり、$\alpha(x)=\lfloor x\rfloor$ なら $\lfloor b\rfloor-\lfloor a\rfloor$、つまり $a< k\le b$ を満たす整数 $k$ の個数である（lem-sem-floor-count）。望遠鏡和は、和と積分の対応表 の和の基本定理でも使った考え方である。

• $x=0.5$、$y=3.2$：$\lfloor3.2\rfloor-\lfloor0.5\rfloor=3-0=3$ で、$0.5< j\le3.2$ を満たす整数は $1,2,3$ の 3 個である。
• $x=1$、$y=2$：$\lfloor2\rfloor-\lfloor1\rfloor=1$ で、$1< j\le2$ を満たす整数は $2$ の 1 個である。左端の $1$ は数えない。
• $x=0$、$y=0.5$：$\lfloor0.5\rfloor-\lfloor0\rfloor=0$ で、$0< j\le0.5$ を満たす整数はない。区間 $[0,0.5]$ は整数 $0$ を含むが、左端なので数えない。

• $\int_0^3x^2\,d\lfloor x\rfloor=f(1)+f(2)+f(3)=1+4+9=14$ である（$0< k\le3$ の整数は $1,2,3$）。
• $\int_1^3x^2\,d\lfloor x\rfloor=4+9=13$ である。左端 $1$ は $1< k$ を満たさないので入らない。
• $\int_0^{2.5}x^2\,d\lfloor x\rfloor=1+4=5$、$\int_{0.5}^{3}x^2\,d\lfloor x\rfloor=14$ である。
• 同じ $f(x)=x^2$ で $\alpha(x)=x$ にすると $\int_0^3x^2\,dx=9$ である。
  $\alpha$ を取りかえるだけで、同じ式 $\int_0^3x^2\,d\alpha(x)$ が積分 $9$ にも和 $14$ にもなる。

サイコロの目 $X$（$1$ から $6$ が等しく $\frac16$ の確率で出る）について、$\alpha(x)=P(X\le x)$（$x$ 以下の目が出る確率。分布関数という）は、$0\le x\le6$ で $\alpha(x)=\frac{\lfloor x\rfloor}6$ である。Riemann–Stieltjes 和で $\alpha$ の増え方がすべて $\frac16$ 倍になるので、thm-sem-floor により
$$ \int_0^6x\,d\alpha(x)=\frac16\int_0^6x\,d\lfloor x\rfloor=\frac{1+2+3+4+5+6}6=\frac{21}6=3.5 $$
である。これは ex-sem-expectation のサイコロの目の期待値そのものである。
一方、$0$ 以上 $6$ 以下の実数を「どこも同じくらいの確率で」選ぶ連続な分布では、$\alpha(x)=P(X\le x)=\frac x6$ である。rem-sem-smooth により
$$ \int_0^6x\,d\alpha(x)=\int_0^6x\cdot\frac16\,dx=\frac16\cdot\frac{36}2=3 $$
であり、これが ex-sem-expectation の連続な分布の期待値である。$\alpha'(x)=\frac16$ が確率密度関数になっている。