標識付き単体的集合

境界の包含の場合。$i_n=(\partial\Delta^n\subset\Delta^n)$ とする。$n=0$ では $C(i_0)$ は $\{1\}^\sharp\subset(\Delta^1)^\sharp$ であり、定義の 2 の $n=1$ そのものである。$n\ge1$ とする。Kan–Quillenモデル構造 の補題「角柱の補題」の証明（$\varepsilon=1$）により、$Y_{-1}=\partial\Delta^n\times\Delta^1\cup\Delta^n\times\{1\}$ から極大な鎖 $x_j=((0,0),\dots,(j,0),(j,1),\dots,(n,1))$ を $j=0,1,\dots,n$ の順に貼ると、$x_j$ は $\Lambda^{n+1}_{j+1}$ に沿って貼られ、$Y_n=\Delta^n\times\Delta^1$ となる。印を数える。$\Delta^n{}^\flat\times(\Delta^1)^\sharp$ の非退化な標識付きの辺は縦の辺 $((r,0),(r,1))$ だけで、$n\ge1$ ではどの頂点 $r$ も $\partial\Delta^n$ に入るので、縦の辺はすべてはじめから $Y_{-1}$ に入っている。$j< n$ の段は内部ホーン $(\Lambda^{n+1}_{j+1})^\flat\subset(\Delta^{n+1})^\flat$ の押し出しで、新しい印を加えない。$j=n$ の段は $\Lambda^{n+1}_{n+1}$ に沿って貼られ、$x_n$ の最後の辺 $((n,0),(n,1))$ は縦の辺で、すでに印がある。そこでこの段を定義の 2（$n+1$）の押し出しとみれば、余極限の印の規則（prop-ms-adjoint の 2）により、得られる印は誘導された印に正確に一致する。

一般の単射。Kan–Quillenモデル構造 の補題「単射は単体を貼って作れる」により $B^{(-1)}=A$、$B^{(n)}=B^{(n-1)}\amalg_{\coprod\partial\Delta^n}\coprod\Delta^n$（$A$ に入らない非退化な $n$ 単体ごとに 1 つ）、$B=\bigcup B^{(n)}$ である。$D_n:=(B^{(n)}{}^\flat\times(\Delta^1)^\sharp)\cup(B^\flat\times\{1\}^\sharp)$ とおくと $D_{-1}$ は $C(i)$ の始域、$\bigcup D_n=B^\flat\times(\Delta^1)^\sharp$ である。積は次数ごとに余極限と交換するので、$D_{n-1}\subset D_n$ は $C(i_n)$ の余積の押し出しであり、印についても、$B^\flat\times(\Delta^1)^\sharp$ の非退化な標識付きの辺は縦の辺だけで、新しい頂点の縦の辺は $n=0$ の段の $C(i_0)$ の押し出しで加わる。よって $C(i)$ は $C(i_n)$ の押し出しの可算列の合成で、前段により定義の 1・2 の生成する類に入る。

2。$n\ge2$ とし（$n=1$ は $C(i_0)$ そのもの）、$(\Lambda^n_n,E')\subset(\Delta^n,E)$ を定義の 2 の写像とする。$N:=((\Lambda^n_n,E')\times(\Delta^1)^\sharp)\cup((\Delta^n,E)\times\{1\}^\sharp)\subset D:=(\Delta^n,E)\times(\Delta^1)^\sharp$ は $C(\Lambda^n_n\subset\Delta^n)$ の押し出しである（最後の辺は $\Lambda^n_n$ に入るので、$D$ の印のうち $C$ の終域にないものは $N$ からの像として入る）。$j\colon\Delta^n\to\Delta^n\times\Delta^1$ を $m\mapsto(m,0)$、$r\colon\Delta^n\times\Delta^1\to\Delta^n$ を $r(n-1,1)=n$、それ以外は $r(m,t)=m$ とする順序写像とすると $rj=\mathrm{id}$ であり、$j(\Lambda^n_n)\subset N$、$r(N)\subset\Lambda^n_n$ である（$r(\Delta^n\times\{1\})$ は頂点 $n-1$ を含まず、$\Lambda^n_n$ の単体の像はある $a\ne n$ を含まないまま残る）。$j$ は最後の辺を最後の辺に、$r$ は標識付きの辺を退化した辺か最後の辺に送るので、どちらも標識付きの写像であり、定義の 2 の写像は $N\subset D$ のレトラクトである。$\square$

1。単射 $i\colon(A,E_A)\to(B,E_B)$ の像で $A$ を $B$ の部分単体的集合とみる。Kan–Quillenモデル構造 の補題「単射は単体を貼って作れる」の各段の押し出しを、$(\partial\Delta^n)^\flat\subset(\Delta^n)^\flat$ の押し出しとして $\mathbf{sSet}^+$ で行うと、prop-ms-adjoint の 2 により下の単体的集合は同じで、新しく加わる印は退化した辺だけである。こうして $(A,E_A)\to(B,E_0)$、$E_0:=E_A\cup s_0(B_0)$ を得る。次に $E_B\setminus E_0$ の各辺 $e$ について、$e\colon(\Delta^1)^\flat\to(B,E_0)$ に沿った $m$ の押し出しの余積を一度に作ると、下の単体的集合は変わらず、印は $E_0$ にそれらの $e$ を足したもの、つまり $E_B$ になる。よって $i$ は生成系の押し出しの列の合成である。

2。$(\partial\Delta^n)^\flat\subset(\Delta^n)^\flat$ に対する持ち上げの問題と解は、prop-ms-adjoint の 1 により下の単体的写像の $\partial\Delta^n\subset\Delta^n$ に対する持ち上げの問題と解と同じである。$m$ に対する持ち上げの問題は、辺 $e\in X_1$ で $q(e)\in F$ となるものの組であり、解は $e$ 自身（$m$ は下では恒等写像）で、それが解であることは $e\in E$ と同値である。よって $m$ に対する持ち上げ性質は印の反映と同値である。この 2 つがそろえば、左持ち上げ性質の類は弱飽和なので 1 によりすべての単射に対して持ち上がり、逆は明らかである。自明 Kan ファイブレーションはすべての $\partial\Delta^n\subset\Delta^n$ に対する右持ち上げ性質で定義される（Kan–Quillenモデル構造 の定義「自明 Kan ファイブレーションとアノダイン拡大」）。$\square$

単体的集合であること。$\alpha\colon[k]\to[n]$ に対し $\alpha\times\mathrm{id}\colon(\Delta^k)^\flat\times X\to(\Delta^n)^\flat\times X$ は標識付きなので、前合成で $Y^X$ は $\mathrm{Fun}(X,Y)$ の部分単体的集合になる。頂点 $g$ の退化した辺 $g\circ\mathrm{pr}_X\colon\Delta^1\times X\to Y$ は、$(\Delta^1)^\sharp\times X$ の標識付きの辺 $(f,e)$（$e\in E_X$）を $g(e)$ に送るので標識付きである。

評価。$Y^X\times X$ の標識付きの辺 $(a,e)$（$a$ は $Y^X$ の標識付きの辺、$e\in E_X$）の像は、$a\colon(\Delta^1)^\sharp\times X\to Y$ による $(\Delta^1)^\sharp\times X$ の辺 $(\iota,e)$（$\iota$ は $\Delta^1$ の非退化な辺）の像で、$(\iota,e)$ は標識付きなので像も標識付きである。

全単射。標識付きの $h\colon Z\times X\to Y$ について、単体 $z\colon\Delta^n\to Z$ に $h\circ(z\times\mathrm{id}_X)$ を対応させる。$z\colon(\Delta^n)^\flat\to Z$ は標識付きなので、これは $Y^X$ の $n$ 単体であり、$z\in E_Z$ なら $z\colon(\Delta^1)^\sharp\to Z$ が標識付きなので、像は $Y^X$ の標識付きの辺である。逆に標識付きの $g\colon Z\to Y^X$ について $\mathrm{ev}\circ(g\times\mathrm{id}_X)$ は標識付きである。2 つの対応は下の単体的集合の指数の全単射の制限なので互いに逆であり、$Z$ について自然である。

2。1 と prop-ms-adjoint の 1 により $\mathrm{Hom}(K,\mathrm{Map}^\flat(X,Y))=\mathrm{Hom}_{\mathbf{sSet}^+}(K^\flat,Y^X)\cong\mathrm{Hom}_{\mathbf{sSet}^+}(K^\flat\times X,Y)$。$\mathrm{Map}^\sharp(X,Y)$ は面と退化で閉じている（面の辺は元の辺、退化の辺は元の辺か退化した辺）。写像 $K\to Y^X$ が $\mathrm{Map}^\sharp(X,Y)$ を通ることは $K$ のすべての辺を標識付きの辺に送ることと同じで、それは $K^\sharp\to Y^X$ が標識付きであることなので、同様に 2 つ目の全単射を得る。$\square$