Abel–Jacobi写像
概要
Abel–Jacobi写像（Abel–Jacobi map）とは、滑らかな射影多様体 $X$ 上のホモロジー的に $0$ の余次元 $p$ の代数的サイクル $Z$ に、$\partial\Gamma=Z$ となる鎖 $\Gamma$ 上の積分 $\omega\mapsto\int_\Gamma\omega$ を対応させ、中間 Jacobi 多様体 $J^p(X)$ の点を与える群準同型である。$\omega$ を Hodge フィルトレーションの段 $F^{n-p+1}H^{2n-2p+1}$ の閉形式に限ることで値が周期を除いて定まり、Hodge 対称性により $J^p(X)$ はコンパクトな複素トーラスになる。曲線では次数 $0$ の因子から Jacobi 多様体への古典的な写像に、アーベル多様体の $0$ サイクルでは群の和に一致し、サイクル類写像が見分けないサイクルの違いを測る。
前提知識: Hodge分解, de Rhamの定理, 複素トーラス, 代数的サイクル, Jacobi多様体
コンパクトな Riemann 面 $X$ の次数 $0$ の因子 $D=\sum_i(P_i-Q_i)$ に対し、正則 1 形式 $\omega$ を $Q_i$ から $P_i$ への道に沿って積分した値の和 $\sum_i\int_{Q_i}^{P_i}\omega$ は、道の取り方による曖昧さ（周期）を除いて定まり、Jacobi 多様体の点を与える（Jacobi多様体 の定義「Abel–Jacobi 写像」）。高次元の射影多様体 $X$ では、因子の代わりに余次元 $p$ の代数的サイクル $Z$ を、点を結ぶ道の代わりに $\partial\Gamma=Z$ となる鎖 $\Gamma$ を、正則 1 形式の代わりに Hodge フィルトレーションの適切な段の閉形式を用いる。こうして得られる、ホモロジー的に $0$ のサイクルから中間 Jacobi 多様体へ写す写像が Abel–Jacobi 写像である。サイクル類写像（サイクル類写像）が見落とす情報、すなわちホモロジー的に $0$ のサイクルの間の違いを、複素トーラスの点として測る。
この記事では中間 Jacobi 多様体を定義し、第 1 の主定理として、それがコンパクトな複素トーラスであることを Hodge 対称性から証明する。第 2 の主定理として、Abel–Jacobi 写像が鎖・閉形式・特異点解消の取り方によらず定まる群準同型であることを証明する。例として、曲線では Jacobi多様体 の Abel–Jacobi 写像に一致し、アーベル多様体の $0$ サイクルでは群の和を与えることを計算する。
設定と記号
$X$ を $\mathbb{C}$ 上の連結な滑らかな射影多様体、$n:=\dim X$ とし、$X$ をコンパクトな Kähler 多様体（Kähler多様体）とみる。$A^k$ を $X$ 上の複素数値 $C^\infty$ 級 $k$ 形式の空間、$A^{a,b}$ を型 $(a,b)$ の形式の空間とし、
$$
F^qA^k:=\bigoplus_{a\ge q}A^{a,k-a}
$$
とおく。外微分は $d(F^qA^k)\subset F^qA^{k+1}$ をみたす。$H^k(X,\mathbb{C})$ を複素 de Rham コホモロジーとし、$F^qH^k\subset H^k(X,\mathbb{C})$ を $F^qA^k$ に属する閉形式の類の全体とする。Hodge分解 の系「Hodge–de Rham スペクトル系列の退化と Hodge フィルトレーション」により $F^qH^k=\bigoplus_{a\ge q}H^{a,k-a}(X)$ である。
鎖は $C^\infty$ 級特異鎖を使う。$C^\infty$ 級特異鎖のホモロジーは整数係数の特異ホモロジー $H_k(X,\mathbb{Z})$ に一致し、鎖 $c$ と形式 $\omega$ について Stokes の定理 $\int_{\partial c}\omega=\int_cd\omega$ が成り立つ（de Rhamの定理 の定理「$C^\infty$ 級特異コホモロジーと特異コホモロジーの一致」「鎖に対する Stokes の定理」）。
次の 2 つの補題が Abel–Jacobi 写像の定義を支える。
$f\colon Y\to X$ を $d$ 次元の複素多様体からの正則写像とする。すべての $q,k$ について $f^*(F^qA^k(X))\subset F^qA^k(Y)$ であり、$q>d$ なら $F^qA^k(Y)=0$ である。とくに $q>d$ のとき、$\omega\in F^qA^k(X)$ について $f^*\omega=0$ である。
局所座標で $f^*dz_i=\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial w_j}dw_j$ は型 $(1,0)$、$f^*d\bar z_i$ は型 $(0,1)$ なので、引き戻しは型 $(a,b)$ の形式を型 $(a,b)$ の形式に写す。$Y$ 上の型 $(a,b)$ の形式は $a>d$ なら $0$ である（$dw_1,\dots,dw_d$ の $a$ 個の外積が $0$）。$\square$
$\omega\in F^qA^k$ が閉形式で、$A^\bullet$ の中で完全形式ならば、$\omega=d\eta$ となる $\eta\in F^qA^{k-1}$ がある。
有限なフィルトレーション $F$ をもつ複体 $(A^\bullet,d)$ について、$F$ の定めるスペクトル系列が $E_1$ で退化することと、$d$ が $F$ に関して強い（すべての $q$ で $d(F^qA^{k-1})=F^qA^k\cap d(A^{k-1})$）ことは同値である（Del71 Proposition 1.3.2、p. 15）。$X$ はコンパクト Kähler なので、このスペクトル系列（Hodge–de Rham スペクトル系列）は $E_1$ で退化する（Hodge分解 の系「Hodge–de Rham スペクトル系列の退化と Hodge フィルトレーション」）。仮定より $\omega\in F^qA^k\cap d(A^{k-1})=d(F^qA^{k-1})$ である。$\square$
中間 Jacobi 多様体
以下 $1\le p\le n$ とし、$m:=2n-2p+1$、$q:=n-p+1$ とおく（$m=2q-1$）。$\mathcal{F}:=F^qH^m(X,\mathbb{C})$ と書き、$\mathcal{F}^\vee$ をその複素双対空間とする。$C^\infty$ 級特異 $m$ 輪体 $C$ に対し
$$
\mathcal{P}(C)\colon\mathcal{F}\to\mathbb{C},\qquad[\omega]\mapsto\int_C\omega\qquad(\omega\in F^qA^m\ \text{は閉形式})
$$
とおく。$[\omega]=[\omega']$ なら $\omega-\omega'$ は完全形式で、Stokes の定理により $\int_C(\omega-\omega')=0$ なので well-defined であり、境界の上の閉形式の積分は $0$ なので $\mathcal{P}(C)$ は $C$ のホモロジー類だけで決まる。こうして準同型 $\mathcal{P}\colon H_m(X,\mathbb{Z})\to\mathcal{F}^\vee$ が得られる。
$\Lambda:=\mathcal{P}(H_m(X,\mathbb{Z}))$ とおき、
$$
J^p(X):=\mathcal{F}^\vee/\Lambda=\bigl(F^{\,n-p+1}H^{2n-2p+1}(X,\mathbb{C})\bigr)^\vee\big/\mathcal{P}\bigl(H_{2n-2p+1}(X,\mathbb{Z})\bigr)
$$
を $X$ の $p$ 番目の中間 Jacobi 多様体（intermediate Jacobian）という。
$\mathcal{P}$ は $H_m(X,\mathbb{Z})$ の捩れ部分を核とし、$\Lambda$ は $\mathcal{F}^\vee$ の格子である。したがって $J^p(X)$ は次元 $\frac12b_m(X)$ のコンパクトな複素トーラス（複素トーラス）である。ここで $b_m(X)=\dim H^m(X,\mathbb{C})$ は Betti 数である。
段 1（$\mathcal{F}$ と共役の直和）．Hodge 対称性 $\overline{H^{a,b}}=H^{b,a}$ により $\overline{\mathcal{F}}=\bigoplus_{a\ge q}H^{m-a,a}=\bigoplus_{b\le m-q}H^{b,m-b}$ であり、$m-q=q-1$ なので
$$
H^m(X,\mathbb{C})=\mathcal{F}\oplus\overline{\mathcal{F}}
$$
である（左は型 $(a,m-a)$ で $a\ge q$ の成分、右は $a\le q-1$ の成分）。とくに $\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{F}=\frac12b_m$ である。
段 2（実双対から複素双対への同型）．$H_{\mathbb{R}}:=H^m_{dR}(X)$（実数値の閉形式の類）とすると $H^m(X,\mathbb{C})=H_{\mathbb{R}}\otimes\mathbb{C}$ である。$\lambda\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(H_{\mathbb{R}},\mathbb{R})$ の $\mathbb{C}$ 線型な拡張 $\lambda_{\mathbb{C}}$ を $\mathcal{F}$ に制限する写像
$$
\iota\colon\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(H_{\mathbb{R}},\mathbb{R})\to\mathcal{F}^\vee,\qquad\lambda\mapsto\lambda_{\mathbb{C}}|_{\mathcal{F}}
$$
は $\mathbb{R}$ 線型な同型である。実際、$\lambda_{\mathbb{C}}|_{\mathcal{F}}=0$ なら、$y\in\mathcal{F}$ について $\lambda_{\mathbb{C}}(\bar y)=\overline{\lambda_{\mathbb{C}}(y)}=0$（$\lambda$ は実数値）なので段 1 により $\lambda_{\mathbb{C}}=0$ であり、$\iota$ は単射である。両辺の実次元はともに $b_m$ なので同型である。
段 3（格子）．de Rhamの定理 の系「周期による判定」により、積分は同型 $H_{\mathbb{R}}\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_m(X,\mathbb{Z}),\mathbb{R})$ を与える（1 が単射性、2 が全射性）。$X$ はコンパクトな多様体なので $H_m(X,\mathbb{Z})$ は有限生成であり、捩れ部分を $T$、$\Lambda_0:=H_m(X,\mathbb{Z})/T\cong\mathbb{Z}^{b_m}$ とすると $H_{\mathbb{R}}\cong\operatorname{Hom}(\Lambda_0,\mathbb{R})$、したがって $\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(H_{\mathbb{R}},\mathbb{R})\cong\Lambda_0\otimes\mathbb{R}$ である。この同一視のもとで $C\mapsto([\omega]\mapsto\int_C\omega)$ は自然な写像 $H_m(X,\mathbb{Z})\to\Lambda_0\subset\Lambda_0\otimes\mathbb{R}$ であり、核は $T$、像 $\Lambda_0$ は格子である。$\mathcal{P}$ はこの写像と $\iota$ の合成なので（実数値の閉形式で張られる $H^m(X,\mathbb{C})$ 上で積分は $\mathbb{C}$ 線型）、核は $T$ で、$\Lambda=\iota(\Lambda_0)$ は $\mathbb{R}$ 線型同型 $\iota$ による格子の像として $\mathcal{F}^\vee$ の格子である。$\square$
- $p=n$（$m=1$、$q=1$）では $\mathcal{F}=F^1H^1=H^{1,0}(X)$ であり、$J^n(X)=H^{1,0}(X)^\vee/\mathcal{P}(H_1(X,\mathbb{Z}))$ を Albanese 多様体という。
- $X$ が曲線（$n=1$）なら $p=1$ のみで、$H^{1,0}(X)$ は正則 1 形式の空間 $\Omega(X)$ と同一視され（閉な $(1,0)$ 形式は正則で、完全な正則 1 形式は lem-ajm-strict により $0$）、$J^1(X)$ は Jacobi多様体 の定義「周期格子と Jacobi 多様体」の $\operatorname{Jac}(X)=\Omega(X)^\vee/\Lambda_X$ そのものである。thm-ajm-torus は、同記事が引用で済ませている「$\Lambda_X$ が格子であること」の証明を与える。
- $H^{2n-2p+1}(X,\mathbb{C})=0$ なら $J^p(X)=0$ である。たとえば射影空間 $\mathbb{P}^n$ では奇数次のコホモロジーが $0$ なので、すべての $p$ で $J^p(\mathbb{P}^n)=0$ である。
Poincaré 双対（Poincaré双対）により $H_{2n-2p+1}(X,\mathbb{Z})$ を $H^{2p-1}(X,\mathbb{Z})$ と、$\mathcal{F}^\vee$ を $H^{2p-1}(X,\mathbb{C})/F^pH^{2p-1}$ と同一視すると、$J^p(X)\cong H^{2p-1}(X,\mathbb{C})/\bigl(F^pH^{2p-1}+H^{2p-1}(X,\mathbb{Z})\bigr)$ と書ける。後者の同一視は、$F^p$ の Poincaré 双対の対に関する直交補空間が $F^{n-p+1}$ であることによる（Hodgeフィルトレーション の定理「Poincaré 双対と Hodge フィルトレーション」）。Gri70 (A.1)（p. 165）はこの形で中間 Jacobi 多様体を定めている。この記事では、二つの記述の一致の細部（整数格子の対応と符号）は証明しない。
Abel–Jacobi 写像
ホモロジー的に $0$ のサイクル
$Z^p(X)$ を余次元 $p$ の代数的サイクルの群（代数的サイクル）とし、$d:=n-p$ とおく。余次元 $p$ の既約閉部分多様体 $Z$ ごとに、特異点解消 $\mu_Z\colon\widetilde{Z}\to Z$ を 1 つ選ぶ。すなわち $\widetilde{Z}$ は滑らかな射影多様体で、$\mu_Z$ は射影的な双有理射であって $Z$ の滑らかな点の集合 $Z_{\mathrm{reg}}$ の上で同型である（特異点解消 の定理「Hironakaの定理（標数0の特異点解消）」）。$\widetilde{Z}$ は連結で、複素構造による向きをもつ $2d$ 次元のコンパクトな多様体なので、基本類 $[\widetilde{Z}]\in H_{2d}(\widetilde{Z},\mathbb{Z})$ をもつ（Poincaré双対 の定理「基本類の存在と一意性」）。それを代表する $C^\infty$ 級特異輪体 $c_Z$ を選ぶ。$\mu_Z$ を $X$ への写像とみて、$\mu_{Z*}c_Z$ は $X$ の $2d$ 輪体である。
$Z=\sum_in_iZ_i\in Z^p(X)$（$Z_i$ は既約）に対し、輪体 $\sum_in_i\mu_{Z_i*}c_{Z_i}$ の類 $\gamma(Z)\in H_{2d}(X,\mathbb{Z})$ が $0$ のとき、$Z$ はホモロジー的に $0$（homologous to zero）であるという。その全体を $Z^p_{\mathrm{hom}}(X)$ と書く。
$\gamma(Z)$ は基本類の代表の取り方によらず、下の thm-ajm-well-defined の証明の段 4 により解消の取り方にもよらない。$\mu_Z$ は $Z_{\mathrm{reg}}$ の上で同型なので、$\gamma(Z)$ は $Z$ の基本類の押し出しであり、$Z$ がホモロジー的に $0$ であることはサイクル類 $\mathrm{cl}(Z)\in H^{2p}(X,\mathbb{Z})$ が $0$ であることと同値になる（サイクル類写像 の命題「部分多様体の基本類」と定義「位相的なサイクル類写像」。この記事ではこの比較の細部は証明しない）。
定義と主定理
$Z=\sum_in_iZ_i\in Z^p_{\mathrm{hom}}(X)$ に対し、$C^\infty$ 級特異 $m$ 鎖（$m=2d+1$）$\Gamma$ で
$$
\partial\Gamma=\sum_in_i\,\mu_{Z_i*}c_{Z_i}
$$
となるものを選ぶ。
$Z\in Z^p_{\mathrm{hom}}(X)$ と上の $\Gamma$ に対し、
$$
\mathrm{AJ}(Z):=\Bigl([\omega]\mapsto\int_\Gamma\omega\Bigr)\bmod\Lambda\ \in J^p(X)\qquad(\omega\in F^{\,n-p+1}A^{2n-2p+1}\ \text{は閉形式})
$$
と定める。$\mathrm{AJ}\colon Z^p_{\mathrm{hom}}(X)\to J^p(X)$ を Abel–Jacobi 写像（Abel–Jacobi map）という。
$\partial\Gamma\ne0$ なので、$\int_\Gamma\omega$ は $\omega$ の類だけで決まるとは限らない。次の定理は、閉形式を Hodge フィルトレーションの段 $F^{\,d+1}=F^q$ から選ぶことで、この値が周期を除いて定まることを述べる。
$\mathrm{AJ}(Z)$ は、閉形式 $\omega$ の選び方、鎖 $\Gamma$ の選び方、基本類の代表 $c_{Z_i}$ の選び方、特異点解消 $\mu_{Z_i}$ の選び方によらない。$\mathrm{AJ}\colon Z^p_{\mathrm{hom}}(X)\to J^p(X)$ は群準同型である。
lem-ajm-type を $\mu_i:=\mu_{Z_i}\colon\widetilde{Z}_i\to X$（$\dim\widetilde{Z}_i=d$）に使うと、$q=d+1$ なので
$$
\mu_i^*\eta=0\qquad(\eta\in F^qA^k\ \text{は任意})\qquad(*)
$$
である。
段 1（閉形式）．$\omega,\omega'\in F^qA^m$ が同じ類の閉形式なら、$\omega'-\omega$ は $F^qA^m$ の閉形式で完全形式なので、lem-ajm-strict により $\omega'-\omega=d\eta$、$\eta\in F^qA^{m-1}$ と書ける。Stokes の定理と $(*)$ により
$$
\int_\Gamma(\omega'-\omega)=\int_{\partial\Gamma}\eta=\sum_in_i\int_{c_{Z_i}}\mu_i^*\eta=0
$$
である。
段 2（鎖）．$\Gamma'$ も $\partial\Gamma'=\partial\Gamma$ をみたすなら $\Gamma'-\Gamma$ は $m$ 輪体であり、$[\omega]\mapsto\int_{\Gamma'-\Gamma}\omega$ は $\mathcal{P}(\Gamma'-\Gamma)\in\Lambda$ である。
段 3（基本類の代表）．$c'_{Z_i}=c_{Z_i}+\partial B_i$（$B_i$ は $\widetilde{Z}_i$ の $m$ 鎖）なら、$\Gamma+\sum_in_i\mu_{i*}B_i$ は新しい代表に対する鎖であり、$\int_{\mu_{i*}B_i}\omega=\int_{B_i}\mu_i^*\omega=0$（$(*)$）なので値は変わらない。段 2 と合わせて、どの鎖を選んでもよい。
段 4（特異点解消）．2 つの解消を共通に支配する解消をとると、基本類の押し出しの差が解消の中の鎖の境界になり、その鎖の上の積分が $(*)$ で $0$ になる。
詳細
既約な $Z$ の 2 つの解消 $\mu_1\colon\widetilde{Z}_1\to Z$、$\mu_2\colon\widetilde{Z}_2\to Z$ を考える。$\mu_1^{-1}(Z_{\mathrm{reg}})\cong Z_{\mathrm{reg}}\cong\mu_2^{-1}(Z_{\mathrm{reg}})$ の同型のグラフの $\widetilde{Z}_1\times\widetilde{Z}_2$ での閉包 $G$ は既約な射影多様体であり、$\mu_1\circ\mathrm{pr}_1$ と $\mu_2\circ\mathrm{pr}_2$ は稠密な開集合の上で一致するので $G$ 全体で一致する。$G$ の特異点解消 $\nu\colon\widetilde{Z}_3\to G$ をとり、$f_k:=\mathrm{pr}_k\circ\nu\colon\widetilde{Z}_3\to\widetilde{Z}_k$（$k=1,2$）とおくと $\mu_1f_1=\mu_2f_2$ である。$f_k$ は連結なコンパクト複素多様体の間の正則写像で、稠密な開集合 $(\mu_kf_k)^{-1}(Z_{\mathrm{reg}})$ から $\mu_k^{-1}(Z_{\mathrm{reg}})$ への双正則写像を与える（$G$ の $Z_{\mathrm{reg}}$ の上の部分はグラフそのもので滑らかであり、$\nu$ はそこで同型）。$\mu_k^{-1}(Z_{\mathrm{reg}})$ の点の $f_k$ による逆像は 1 点で、正則写像は向きを保つので、写像度は $1$ であり、$f_{k*}[\widetilde{Z}_3]=[\widetilde{Z}_k]$ である。よって基本類の代表について $f_{k*}c_3=c_k+\partial B_k$（$B_k$ は $\widetilde{Z}_k$ の $m$ 鎖）と書け、$\mu_1f_1=\mu_2f_2$ から $\mu_{1*}c_1-\mu_{2*}c_2=\partial(\mu_{2*}B_2-\mu_{1*}B_1)$ である。したがって $\mu_2$ を使うときの鎖として $\Gamma+n(\mu_{1*}B_1-\mu_{2*}B_2)$（$n$ は $Z$ の係数）がとれ、$(*)$ により $\int_{\mu_{k*}B_k}\omega=\int_{B_k}\mu_k^*\omega=0$ なので値は変わらない。同じ計算で $\gamma(Z)$ も解消の取り方によらない。
準同型であること：$Z,Z'$ の鎖 $\Gamma,\Gamma'$ に対し $\Gamma+\Gamma'$ は $Z+Z'$ の鎖である。$\square$
例
$X$ を種数 $g\ge1$ の曲線（$n=p=1$）とする。$Z^1(X)$ は因子の群で、点 $P$ の解消は恒等写像、$c_P$ は点 $P$ である。$X$ は連結なので $H_0(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ は次数で与えられ、$Z^1_{\mathrm{hom}}(X)$ は次数 $0$ の因子の群 $\operatorname{Div}^0(X)$ である。$D=\sum n_PP\in\operatorname{Div}^0(X)$ に対し、基点 $P_0$ から $P$ への道 $\gamma_P$ をとると $\partial\bigl(\sum n_P\gamma_P\bigr)=\sum n_PP-(\sum n_P)P_0=D$ なので、
$$
\mathrm{AJ}(D)=\sum_Pn_P\Bigl(\omega\mapsto\int_{\gamma_P}\omega\Bigr)\bmod\Lambda_X
$$
は Jacobi多様体 の定義「Abel–Jacobi 写像」の $u(D)$ に一致する（ex-ajm-low の 2 により $J^1(X)=\operatorname{Jac}(X)$）。同記事の定理「Abel–Jacobiの定理」により、$\mathrm{AJ}$ は同型 $\operatorname{Pic}^0(X)\cong\operatorname{Jac}(X)$ を誘導する。
$X=V/\Lambda_X$ を $g$ 次元のアーベル多様体（射影的な複素トーラス）、$o$ を原点とし、$p=n=g$ とする。$Z^g_{\mathrm{hom}}(X)$ は次数 $0$ の $0$ サイクルの群である。$V$ の座標を $z_1,\dots,z_g$ とすると $H^{1,0}(X)$ は $dz_1,\dots,dz_g$ の類で張られる（Hodge構造 の注意「重さ $1$ の言い換えと双対トーラス」）ので、$v\in V$ に $\bigl([\sum a_jdz_j]\mapsto\sum a_jv_j\bigr)$ を対応させる写像は同型 $V\cong H^{1,0}(X)^\vee$ である。$\lambda\in\Lambda_X$ について、線分 $0\to\lambda$ の像の閉曲線 $\gamma_\lambda$ は $\int_{\gamma_\lambda}dz_j=\lambda_j$ をみたし、$H_1(X,\mathbb{Z})=\Lambda_X$ はこれらで代表されるので、この同型で格子 $\mathcal{P}(H_1(X,\mathbb{Z}))$ は $\Lambda_X$ に対応する。よって $J^g(X)\cong V/\Lambda_X=X$ である。
$Z=\sum_in_i[x_i]$（$\sum n_i=0$）に対し $x_i$ の持ち上げ $\tilde x_i\in V$ をとり、$\gamma_i$ を線分 $0\to\tilde x_i$ の像とすると $\partial\bigl(\sum n_i\gamma_i\bigr)=\sum n_ix_i-(\sum n_i)o=Z$ であり、$\int_{\gamma_i}dz_j=(\tilde x_i)_j$ なので
$$
\mathrm{AJ}\Bigl(\sum_in_i[x_i]\Bigr)=\sum_in_i\tilde x_i\bmod\Lambda_X=\sum_in_ix_i\quad(X\ \text{の群演算による和})
$$
である。$\mathrm{AJ}([x]-[o])=x$ なので、この $\mathrm{AJ}$ は全射である。
反例
$X$ を Hodge分解 の例「反例：Hopf 曲面」の Hopf 曲面とし、def-ajm-jacobian を $p=n=2$（$m=1$、$q=1$）でそのまま適用する。$b_1(X)=1$ であり、$F^1H^1(X,\mathbb{C})=0$ である（Hodgeフィルトレーション の例「反例：Hopf 曲面（Kähler 性を外す）」。$F^1A^1$ の閉形式は正則 1 形式で、$X$ 上の正則 1 形式は $0$）。
- 満たす性質：コンパクトな複素多様体で、$J^2(X)=\mathcal{F}^\vee/\Lambda=0$ は定義できる。
- 満たさない性質：$X$ は Kähler でない（したがって射影的でない）。$H_1(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の $\mathcal{P}$ による像は $0$ で、$\mathcal{P}$ は捩れでない元を消す。
- 破る含意：thm-ajm-torus の「$\mathcal{P}$ の核は捩れ部分」「$J^p(X)$ の次元は $\frac12b_m$」。段 1 の $H^m=\mathcal{F}\oplus\overline{\mathcal{F}}$ が $b_1=1$ で破れている。
$X=\mathbb{C}/\Lambda_X$ を楕円曲線、$Z=[x]-[o]$（$x\ne o$）、$\Gamma$ を $o$ から $x$ への道とする。閉形式 $d\bar z$ は型 $(0,1)$ で $F^1A^1$ に入らない。$C^\infty$ 級関数 $f$ で $f(x)\ne f(o)$ となるものをとると、$d\bar z$ と $d\bar z+df$ は同じ類を代表するが
$$
\int_\Gamma(d\bar z+df)-\int_\Gamma d\bar z=f(x)-f(o)
$$
であり、この値は $f$ の取り方で任意の複素数にできる。
- 満たす性質：$Z$ はホモロジー的に $0$ で、$d\bar z$ は閉形式である。
- 満たさない性質：$d\bar z\notin F^1A^1$。$df=d\eta$ の $\eta=f$ は $F^1A^0=0$ に入らず、$f$ の点への制限は $0$ でない。
- 破る含意：「$\int_\Gamma\omega$ は $\omega$ のコホモロジー類だけで（周期を除いて）決まる」。$H^1$ 全体の上の汎関数としては well-defined でなく、def-ajm-map で段 $F^{d+1}$ に制限することが必要である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $X$ が Kähler（射影的） | ex-ajm-hopf の Hopf 曲面 | $J^p(X)$ が次元 $\frac12b_m$ の複素トーラスで、$\mathcal{P}$ の核が捩れ部分であること（thm-ajm-torus） |
| 閉形式が段 $F^{d+1}$ に入る | ex-ajm-wrong-step の $d\bar z$ | 積分が閉形式の類だけで周期を除いて決まること（thm-ajm-well-defined の段 1） |
使われ方
- 因子と曲線．曲線では $\mathrm{AJ}$ は次数 $0$ の因子類の群と Jacobi 多様体の同型を与える（ex-ajm-curve）。
- 代数的同値との違い．ホモロジー的に $0$ だが代数的同値で $0$ でないサイクルの例（一般の 5 次 3 次元多様体上の 2 直線の差）は、Abel–Jacobi 写像と Hodge 理論を使って示される（代数的同値 の例「反例：ホモロジー同値だが代数的同値でないサイクル」）。
- 族の中での変化．滑らかな射影多様体の族では、ファイバーごとの中間 Jacobi 多様体が複素トーラスの族をなし、ファイバーごとの Abel–Jacobi 写像は底空間の上で正則に動く（Gri70 Theorem (A.8)、pp. 167–168。この記事では証明しない）。
関連項目
- 前提: Hodge分解, Hodgeフィルトレーション, de Rhamの定理, 代数的サイクル
- 比較: サイクル類写像, 代数的同値, Hodge理論
- 例: Jacobi多様体, アーベル多様体, 複素トーラス
- 発展: Deligneコホモロジー
参考文献
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