反対環

1：結合法則は $a*(b*c)=(a*b)*c$ を確かめればよい。左辺は $a*(cb)=(cb)a$、右辺は $(ba)*c=c(ba)$ であり、$A$ の結合法則により等しい。分配法則は $a*(b+c)=(b+c)a=ba+ca=a*b+a*c$ と、同様の $(a+b)*c=a*c+b*c$ である。$1*a=a1=a$、$a*1=1a=a$ なので $1$ は単位元である。積を 2 回入れ替えると元に戻るので $(A^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=A$ である。
2：$A^{\mathrm{op}}=A$ とは、すべての $a,b$ について $ab=a*b=ba$ ということである。
3：$ab=ba=1$ は $a*b=b*a=1$ と同じ条件なので、単元とその逆元は一致する。中心の条件 $ab=ba$（すべての $b$）は左右について対称である。加法部分群 $I$ が $A^{\mathrm{op}}$ の左イデアルであるとは、$a*x=xa\in I$（$a\in A$、$x\in I$）ということで、これは $I$ が $A$ の右イデアルであることにほかならない。左右を入れ替えれば後半も同じであり、両側イデアルは両方の条件を満たすものなので一致する。斜体とは $0\neq1$ で $0$ 以外の元がすべて単元である環なので、単元の一致から従う。
4：$f(a*b)=f(ba)=f(b)f(a)=f(a)*f(b)$ である。$A/I$ の積は代表元の積で定まるので、順序を入れ替えた積も同じく代表元で定まり、$(A/I)^{\mathrm{op}}=A^{\mathrm{op}}/I$ である。直積は成分ごとの積なので、成分ごとに入れ替えればよい。$\square$

1：和についての条件と $1\cdot m=m1=m$ は定義からそのまま従う。結合の条件は、$a,b\in A^{\mathrm{op}}$ について
$$ (a*b)\cdot m=m(a*b)=m(ba)=(mb)a=a\cdot(mb)=a\cdot(b\cdot m) $$
である。逆向きも同じ計算を逆にたどればよく、$ma=a\cdot m$ を 2 回の書き換えで往復しても元の作用に戻る。
2：$f(ma)=f(m)a$ は $f(a\cdot m)=a\cdot f(m)$ と同じ式である。$\square$

1：$\rho_a(bx)=bxa=b\rho_a(x)$ なので $\rho_a$ は左 $A$ 線形である。$\rho_a\circ\rho_b$ は $x\mapsto(xb)a=x(ba)$ なので $\rho_a\circ\rho_b=\rho_{ba}=\rho_{a*b}$ であり、$\rho_1=\mathrm{id}$、$\rho_{a+b}=\rho_a+\rho_b$ と合わせて $\rho$ は $A^{\mathrm{op}}$ からの環準同型である。$\rho_a(1)=a$ なので $\rho$ は単射である。$\varphi\in\operatorname{End}_A({}_AA)$ について $\varphi(x)=\varphi(x\cdot1)=x\varphi(1)=\rho_{\varphi(1)}(x)$ なので全射である。
2：$e(eae)=eae=(eae)e$ なので $e$ は $eAe$ の単位元であり、$eAe$ は積と和で閉じている。$f\in\operatorname{End}_A(Ae)$ について、$e=e\cdot e$ から $f(e)=f(e\cdot e)=ef(e)$ であり、$f(e)\in Ae$ なので $f(e)=f(e)e$ でもある。よって $f(e)\in eAe$ である。$x\in Ae$ は $x=xe$ を満たすので $f(x)=f(xe)=xf(e)$ であり、$f$ は $f(e)$ で決まる。逆に $c\in eAe$ について $x\mapsto xc$ は $Ae$ からそれ自身への左 $A$ 線形写像で、$e$ を $ec=c$ に送る。したがって $f\mapsto f(e)$ は全単射 $\operatorname{End}_A(Ae)\to eAe$ であり、$(f\circ g)(e)=f(g(e))=g(e)f(e)$ なので、$eAe$ の積の順序を逆にして環の同型 $\operatorname{End}_A(Ae)\cong(eAe)^{\mathrm{op}}$ を与える。$e=1$ の場合が 1 である。
3：$\varepsilon_i$ を第 $i$ 成分が $1$ でほかが $0$ の行ベクトルとする。$X\in M_n(A)$ に右からの積 $\varphi_X\colon x\mapsto xX$ を対応させると、1 と同じ計算で $\varphi_X$ は左 $A$ 線形、$\varphi_X\circ\varphi_Y=\varphi_{YX}$ であり、$\varphi$ の第 $i$ 行が $\varphi(\varepsilon_i)$ である行列を $X$ とすれば $\varphi=\varphi_X$ となる。よって $\operatorname{End}_A(A^n)\cong M_n(A)^{\mathrm{op}}$ である。後半の同型は転置 $X\mapsto{}^tX$ で与えられる。

左 Noether でないこと：$\mathbb{Q}$ の加法部分群 $V$ について $L_V:=\left\{\begin{pmatrix}0&v\\0&0\end{pmatrix}\middle|\,v\in V\right\}$ とおくと、
$$ \begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&v\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&av\\0&0\end{pmatrix} $$
で $a\in\mathbb{Z}$ なので $av\in V$ であり、$L_V$ は左イデアルである。$V_n:=2^{-n}\mathbb{Z}$ とすると $L_{V_0}\subsetneq L_{V_1}\subsetneq\cdots$ は止まらない左イデアルの昇鎖である。
右 Noether であること：右 $T$ 加群 $T$ が Noether 加群であることを示す。$E_{11},E_{22}$ を行列単位とすると $T=E_{11}T\oplus E_{22}T$ であり、$E_{11}T$ は第 $1$ 行 $\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}$ の全体、$E_{22}T$ は第 $2$ 行 $\begin{pmatrix}0&0\\0&c\end{pmatrix}$ の全体で、どちらも右イデアルである。右からの積は
$$ \begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax&ay+bz\\0&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}0&0\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&cz\end{pmatrix} $$
である。$E_{22}T$ の部分加群は $c$ の成分が $z\in\mathbb{Q}$ 倍で閉じた部分群、すなわち $\mathbb{Q}$ の $\mathbb{Q}$ 部分空間なので $0$ か全体であり、$E_{22}T$ は Noether 加群である。$E_{11}T$ の中の $N:=\left\{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}\right\}$ は部分加群で（作用は $b\mapsto bz$）、同じ理由で部分加群は $0$ と $N$ だけである。商 $E_{11}T/N$ は $a$ の成分だけを見たもので、作用は $a\mapsto ax$（$x\in\mathbb{Z}$）なので、その部分加群は $\mathbb{Z}$ の部分群であり、$\mathbb{Z}$ は Noether である。Noether加群 の命題「短完全列とNoether性」（右加群でも同じく成り立つ。thm-opring-right-modules）により $E_{11}T$ は Noether 加群であり、同じ記事の系「有限直和」により $T=E_{11}T\oplus E_{22}T$ も Noether 加群である。$\square$