行列の指数関数

1. 対角行列 $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ では $D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$ なので、成分ごとに指数関数の級数が現れて
   $$ e^{D}=\operatorname{diag}\bigl(e^{\lambda_1},\dots,e^{\lambda_n}\bigr) $$
   である。とくに $e^{O}=I$（$O$ は零行列）、$e^{\lambda I}=e^{\lambda}I$ である。
2. ある $m$ で $N^m=O$ となる行列（冪零行列）では、級数は有限和
   $$ e^{N}=I+N+\frac1{2!}N^2+\cdots+\frac1{(m-1)!}N^{m-1} $$
   になる。たとえば $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ では $N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$、$N^3=O$ なので
   $$ e^{tN}=I+tN+\frac{t^2}2N^2=\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}2\\0&1&t\\0&0&1\end{pmatrix} $$
   である。成分に $t$ の多項式が現れる。

$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ とおくと、$J^2=-I$、$J^3=-J$、$J^4=I$ である。$e^{\theta J}$（$\theta\in\mathbb{R}$）の級数を偶数番目と奇数番目の項に分けると
$$ e^{\theta J}=\Bigl(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\Bigr)I+\Bigl(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\Bigr)J=\cos\theta\,I+\sin\theta\,J=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} $$
となり、原点のまわりの角 $\theta$ の回転の行列 $R_\theta$ が得られる（部分和を偶数番目と奇数番目に分けてから極限をとればよい）。
これは Euler の公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ の行列版である。実際、写像 $a+bi\mapsto aI+bJ$（$a,b\in\mathbb{R}$）は和と積を保つ単射であり（$J^2=-I$ が $i^2=-1$ にあたる）、級数 $e^{i\theta}=\sum_k(i\theta)^k/k!$ の各項を $(\theta J)^k/k!$ に移す。複素数の積 $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ は、回転の合成 $R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}$ にあたる。
常微分方程式 の例「単振動と回転」は、$J$ の転置 $J^{\mathsf T}=-J$ について同じ計算をしたもので、$e^{tJ^{\mathsf T}}=R_{-t}$ は時計回りの回転になる。

1. $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$：$\delta=2$、$D=4-3=1$、$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ なので
   $$ e^{tA}=e^{2t}\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t\\\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}e^{3t}+e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\e^{3t}-e^{t}&e^{3t}+e^{t}\end{pmatrix} $$
   である。固有値 $3$、$1$ の固有ベクトル $(1,1)^{\mathsf T}$、$(1,-1)^{\mathsf T}$ で対角化して計算しても同じ結果になる。
2. $A=\begin{pmatrix}1&-2\\1&3\end{pmatrix}$：$\delta=2$、$D=4-5=-1$、$B=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&1\end{pmatrix}$ なので
   $$ e^{tA}=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t-\sin t&-2\sin t\\\sin t&\cos t+\sin t\end{pmatrix} $$
   である。固有値は $2\pm i$ で、実数の範囲では対角化できないが、公式は実数の計算だけで済む。
3. $A=\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}$：$\delta=2$、$D=4-4=0$、$B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$（$B^2=O$）なので
   $$ e^{tA}=e^{2t}\begin{pmatrix}1+t&t\\-t&1-t\end{pmatrix} $$
   である。固有値は $2$ の重根で、$A$ は対角化できない。成分に $te^{2t}$ が現れる。
   どの場合も、$t=0$ で $I$ になり、$t$ で微分すると $A$ を左から掛けたものになることを直接確かめられる（thm-mexp-derivative）。

$A=E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$B=E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ とする。$AB=E_{11}$、$BA=E_{22}$ なので可換でない。$A^2=B^2=O$ なので
$$ e^Ae^B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad e^Be^A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} $$
である。一方 $K:=A+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ は $K^2=I$ を満たすので、fml-mexp-2x2（$\delta=0$、$D=1$）から
$$ e^{A+B}=\cosh1\cdot I+\sinh1\cdot K=\begin{pmatrix}\cosh1&\sinh1\\\sinh1&\cosh1\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}1.543&1.175\\1.175&1.543\end{pmatrix} $$
である。$e^{A+B}$ は $e^Ae^B$ とも $e^Be^A$ とも異なる。満たす性質は「$e^A$、$e^B$、$e^{A+B}$ が定義されること」、満たさない性質は「$AB=BA$」であり、破れる結論は thm-mexp-product の $e^{A+B}=e^Ae^B$ である。

$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\pi i\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&1\\0&2\pi i\end{pmatrix}$ とすると
$$ AB-BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&-4\pi^2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&2\pi i\\0&-4\pi^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\pi i\\0&0\end{pmatrix}\ne O $$
である。一方 $e^A=\operatorname{diag}(1,e^{2\pi i})=I$ である。$B$ と $A+B=\begin{pmatrix}0&1\\0&4\pi i\end{pmatrix}$ は、それぞれ相異なる固有値 $0,2\pi i$ と $0,4\pi i$ をもつので対角化でき、prop-mexp-similar から $e^B=P\operatorname{diag}(1,e^{2\pi i})P^{-1}=I$、同様に $e^{A+B}=I$ である。よって $e^{A+B}=I=e^Ae^B$ である。$AB=BA$ は指数法則の十分条件であって、必要条件ではない。

ex-mexp-rotation から $e^{2\pi J}=R_{2\pi}=I=e^{O}$ であるが、$2\pi J\ne O$ である。より一般に、すべての整数 $k$ について $e^{2\pi kJ}=I$ である。これは複素数の $e^{2\pi i}=1$ の行列版である。満たす性質は「$e^{2\pi J}=e^O$」、満たさない性質は「$2\pi J=O$」であり、実数の指数関数では成り立つ「$e^a=e^b$ なら $a=b$」が行列では崩れる。$I$ に近い行列 $A$ については、後の prop-mexp-log の対数によって $A=e^{\log A}$ と書き表せる。

実行列 $X$ について thm-mexp-det の (iii) から $\det e^X>0$ なので、$\det$ が負の行列、たとえば $\operatorname{diag}(-1,1)$ は実行列の $e^X$ の形に書けない。
$\det$ が正でも書けないものがある。$A=\operatorname{diag}\bigl(-2,-\frac12\bigr)$（$\det A=1$）が実行列 $X$ によって $e^X$ と書けたとすると、$e^{\operatorname{tr}X}=\det A=1$ から $\operatorname{tr}X=0$ である。ところが Lie群 の例「反例：連結でも指数写像は全射でない」のとおり、$\operatorname{tr}X=0$ の実行列 $X$ ではつねに $\operatorname{tr}e^X\ge-2$ であり、$\operatorname{tr}A=-\frac52$ と矛盾する。
一方、固有値が負でも $e^X$ と書ける実行列はある。$e^{\pi J}=R_\pi=-I$ である。また $A$ 自身は 2 つの指数の積 $e^{\pi J}e^{D}$（$D=\operatorname{diag}(\log2,-\log2)$）である。複素行列の範囲では、次の節の thm-mexp-surjective のとおり、どの正則行列も $e^X$ と書ける。満たす性質は「$A$ は正則な実行列」、満たさない性質は「実行列の指数関数の像に入ること」である。