射影束
概要
射影束（projective bundle）とは、スキーム $S$ 上の階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ の対称代数の相対 Proj として定まる $S$ スキーム $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ で、各ファイバーは射影空間 $\mathbb{P}^{r-1}$ である。局所的には $\mathbb{P}^{r-1}_U$ と同型で、$T\to\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は $\mathcal{E}_T$ の可逆層への全射と一対一に対応する。Chow 環は $\xi=c_1(\mathcal{O}(1))$ の冪を基底とする $S$ の Chow 環上の自由加群で、$\xi^r$ の関係式が Chern 類を定める。可逆層でひねっても射影束は変わらず、Hirzebruch 曲面は局所自明だが大域的に自明でない例である。
前提知識: スキーム, 準連接層, 局所自由層, 可逆層, 射影空間, 射影射, 対称代数
定義
射影束は、スキーム $S$ 上のベクトル束（有限階数の局所自由層）$\mathcal{E}$ の各ファイバーを射影空間に置き換えた $S$ スキームである。定義は相対 Proj によるので、まず対称代数と相対 Proj を述べる。
$S$ をスキーム、$\mathcal{E}$ を $S$ 上の有限型の準連接層とする。$\mathcal{E}$ の対称代数 $\operatorname{Sym}\mathcal{E}=\bigoplus_{d\ge0}\operatorname{Sym}^d\mathcal{E}$ は、アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ の上で $A$ 加群 $E=\mathcal{E}(U)$ の対称代数 $\operatorname{Sym}_AE$（テンソル代数を $e\otimes e'-e'\otimes e$ の生成するイデアルで割った可換 $A$ 代数）に付随する層である。$\operatorname{Sym}^0\mathcal{E}=\mathcal{O}_S$、$\operatorname{Sym}^1\mathcal{E}=\mathcal{E}$ であり、$E$ が基底 $e_1,\dots,e_r$ をもつ自由加群なら $\operatorname{Sym}_AE=A[x_1,\dots,x_r]$（$x_i\leftrightarrow e_i$）である。
一般に、$\mathcal{S}_0=\mathcal{O}_S$ で $\mathcal{S}_1$ が有限型準連接、$\mathcal{S}$ が $\mathcal{S}_1$ で生成される準連接な次数付き $\mathcal{O}_S$ 代数 $\mathcal{S}=\bigoplus_{d\ge0}\mathcal{S}_d$ に対し、アフィン開集合 $U$ ごとに次数付き環 $\mathcal{S}(U)$ の $\operatorname{Proj}\mathcal{S}(U)\to U$ を作り、$\operatorname{Proj}$ が局所化と両立することを用いて貼り合わせた $S$ スキーム $\pi\colon\mathbf{Proj}_S\mathcal{S}\to S$ を $\mathcal{S}$ の相対 Proj という。各 $\operatorname{Proj}\mathcal{S}(U)$ 上の可逆層 $\mathcal{O}(1)$ も貼り合わさって $\mathbf{Proj}_S\mathcal{S}$ 上の可逆層 $\mathcal{O}(1)$ を定め、$\mathcal{O}(n):=\mathcal{O}(1)^{\otimes n}$（$n\in\mathbb{Z}$）と書く。
相対 Proj の構成は Har77 II §7、EGA2 §3、射影射 の記事にある。
$S$ をスキーム、$\mathcal{E}$ を $S$ 上の有限型準連接層とする。$S$ スキーム
$$
\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{E}):=\mathbf{Proj}_S\operatorname{Sym}\mathcal{E}\longrightarrow S
$$
を $\mathcal{E}$ に伴う射影束（projective bundle）または $\mathcal{E}$ の射影化という。$\mathcal{E}$ が階数 $r\ge1$ の局所自由層のとき、$\mathbb{P}(\mathcal{E})$ を階数 $r$（相対次元 $r-1$）の射影束といい、可逆層 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$ をその標準可逆層（tautological line bundle）という。$S$ の開被覆の上で $\mathbb{P}^{r-1}_U$ と同型なので（prop-projective-bundle-local）射影空間束（projective space bundle）ともいう。以下、断らない限り $\mathcal{E}$ は階数 $r\ge1$ の局所自由層とする。
$\mathcal{S}=\operatorname{Sym}\mathcal{E}$ とおく。アフィン開集合 $U$ 上で $\mathcal{S}_1(U)=\mathcal{E}(U)$ の元は $\operatorname{Proj}\mathcal{S}(U)$ 上の $\mathcal{O}(1)$ の大域切断を定める。これは $\mathcal{O}_S$ 加群の射 $\mathcal{E}\to\pi_*\mathcal{O}(1)$ を与え、随伴関手の関係により $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}$ 加群の射
$$
q\colon\pi^*\mathcal{E}\longrightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)
$$
を定める。$q$ は全射である。実際 $f\in\mathcal{S}_1(U)$ に対し $D_+(f)$ 上で $\mathcal{O}(1)$ は $f$ で生成され（$\mathcal{O}(1)(D_+(f))=(\mathcal{S}(U)_f)_1=f\cdot\mathcal{S}(U)_{(f)}$）、$\mathcal{S}$ が $\mathcal{S}_1$ で生成されるので $D_+(f)$（$f\in\mathcal{S}_1(U)$）の全体が $\operatorname{Proj}\mathcal{S}(U)$ を覆う。$q$ を標準全射（tautological quotient）といい、核 $\mathcal{K}:=\ker q$ は階数 $r-1$ の局所自由層である（prop-projective-bundle-local）。
射影束の「点」の見方には 2 つの規約がある。
- 商の規約（EGA2 §4.1、Har77 II §7）。上の定義であり、$\mathbb{P}(\mathcal{E})$ の $T$ 値点は $\mathcal{E}_T$ の可逆層への全射（thm-projective-bundle-universal）、点 $s\in S$ の上のファイバーは $\kappa(s)$ ベクトル空間 $\mathcal{E}(s)=\mathcal{E}\otimes\kappa(s)$ の $1$ 次元商（双対空間 $\mathcal{E}(s)^\vee$ の直線）の全体である。本記事はこの規約に従う。
- 直線の規約（Grothendieck の原論文 Gro58、Ful98 B.5、多くの位相幾何・複素幾何の文献。Chow環・Chern類 の記事もこの規約で $P(E)$ と書く）。$\mathcal{E}$ の各ファイバーの直線を点とするもので、商の規約で書けば $\mathbb{P}(\mathcal{E}^\vee)$ である。本記事ではこれを $\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(\mathcal{E}):=\mathbb{P}(\mathcal{E}^\vee)$ と書く。この規約では $\mathcal{O}(-1)\subset\pi^*\mathcal{E}$ が標準部分束（tautological subbundle）である。
$\mathcal{E}^{\vee\vee}=\mathcal{E}$ なので違いは $\mathcal{E}$ と $\mathcal{E}^\vee$ の役割だけであるが、Chern 類の関係式（thm-projective-bundle-chow）の符号など式の形は規約に依存するので、文献ではどちらの規約かをまず確かめる。
直感
ベクトル束 $\mathcal{E}$ は $S$ の各点 $s$ に $r$ 次元ベクトル空間 $\mathcal{E}(s)$ を代数的に割り当てたものであり、各 $\mathcal{E}(s)$ の射影空間（$1$ 次元商の全体）を $S$ の上に並べたものが $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ である。$\mathcal{E}$ が開集合 $U$ の上で自明なら $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は $U$ の上で $\mathbb{P}^{r-1}\times U$ に見えるが、貼り合わせに $\mathcal{E}$ の変換関数（一般線型群 $GL_r$ 値）が使われるため、大域的には $\mathbb{P}^{r-1}\times S$ と異なりうる。$\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は「$\mathcal{E}$ の $r$ 個の局所的な切断の比」の空間であり、$\mathcal{O}(1)$ はその斉次座標が住む可逆層である。可逆層 $\mathcal{L}$ でひねっても各ファイバーの射影空間は変わらないので、射影束は $\mathcal{E}$ を「$\mathcal{L}$ 倍を除いて」しか記憶しない。
射影束が重要なのは、任意の射影射が射影束への閉埋め込みと構造射に分解すること（射影射）、Chow環とコホモロジーが底のそれに $\xi=c_1(\mathcal{O}(1))$ を添加して記述でき、Grothendieck がこれで Chern類を定義したこと、ブローアップの例外因子や Hirzebruch 曲面など基本的な対象の多くが射影束であることによる。
例と反例
- $\mathcal{E}=\mathcal{O}_S^{\oplus r}$ のとき $\operatorname{Sym}\mathcal{E}=\mathcal{O}_S[x_1,\dots,x_r]$、$\mathbb{P}(\mathcal{O}_S^{\oplus r})=\mathbb{P}^{r-1}_S=\mathbb{P}^{r-1}_{\mathbb{Z}}\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z}}S$ であり、$\mathcal{O}(1)$ は通常の $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{r-1}_S}(1)$、標準全射は $e_i\mapsto x_i$ である。とくに体 $k$ 上の $r$ 次元ベクトル空間 $V$ に対し $\mathbb{P}(V):=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}V\cong\mathbb{P}^{r-1}_k$ の $k$ 有理点は $V$ の $1$ 次元商、すなわち $V^\vee$ の直線である。
- $\mathcal{L}$ が可逆層（$r=1$）のとき $\operatorname{Sym}\mathcal{L}=\bigoplus_{d\ge0}\mathcal{L}^{\otimes d}$ であり、$\mathbb{P}(\mathcal{L})\to S$ は同型、$\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{L})}(1)=\mathcal{L}$ である（$\mathcal{L}|_U\cong\mathcal{O}_U$ なら $\operatorname{Proj}A[x]=D_+(x)=\operatorname{Spec}A$）。
$k$ を体、$S=\mathbb{P}^1_k$、$n\ge0$ とし、$\mathcal{E}_n:=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-n)$ とおく。射影束
$$
\mathbb{F}_n:=\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-n))\xrightarrow{\ \pi\ }\mathbb{P}^1_k
$$
を Hirzebruch 曲面（Hirzebruch曲面）という。$\mathbb{F}_n$ は $k$ 上滑らかな射影曲面（射影多様体）で、$\pi$ により線織曲面になる。$\mathbb{F}_0=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ であり、$\mathbb{F}_1$ は $\mathbb{P}^2$ の 1 点でのブローアップに同型である（Har77 V §2）。射影 $u_0\colon\mathcal{E}_n\to\mathcal{O}(-n)$ に対応する切断 $\sigma_0$（prop-projective-bundle-section）の像を $C_0$ とすると、$\ker u_0=\mathcal{O}$ なので $\sigma_0^*T_{\mathbb{F}_n/\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{H}om(\mathcal{O},\mathcal{O}(-n))=\mathcal{O}(-n)$ である。これは $C_0$ の法束であり（rem-projective-bundle-section-normal）、次数 $-n$ は自己交点数 $C_0^2=-n$（Har77 V §2）と一致する。$n\ge1$ のとき $\mathbb{F}_n$ は $\mathbb{P}^1$ 上の射影束として自明でない（ex-projective-bundle-nontrivial）。
直線の規約では $\mathbb{F}_n=\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(n))$ である。$\mathbb{P}^1$ 上の階数 $2$ の局所自由層は Grothendieck の分裂定理（局所自由層）により $\mathcal{O}(a)\oplus\mathcal{O}(b)$ の形で、prop-projective-bundle-twist により $\mathbb{P}(\mathcal{O}(a)\oplus\mathcal{O}(b))\cong\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(b-a))$ なので、$\mathbb{P}^1_k$ 上の階数 $2$ の射影束は $\mathbb{F}_n$（$n=|a-b|$）で尽きる。
$X$ を体 $k$ 上の滑らかな代数多様体、$Y\subset X$ を余次元 $c\ge1$ の滑らかな閉部分多様体、$\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X$ をそのイデアル層、$\pi\colon\tilde{X}=\mathbf{Proj}_X\bigoplus_{d\ge0}\mathcal{I}^d\to X$ を $Y$ に沿うブローアップとする。例外因子 $E=\pi^{-1}(Y)$ は
$$
E=\mathbf{Proj}_Y\bigoplus_{d\ge0}\mathcal{I}^d/\mathcal{I}^{d+1}=\mathbf{Proj}_Y\operatorname{Sym}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)=\mathbb{P}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)
$$
である。ここで $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は $Y$ 上階数 $c$ の局所自由層（余法層）であり、$\bigoplus_d\mathcal{I}^d/\mathcal{I}^{d+1}\cong\operatorname{Sym}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ は $Y$ が局所的に正則列で定義されることによる（Har77 II 8.24）。したがって $E$ は $Y$ 上の階数 $c$ の射影束で、直線の規約では法束 $N_{Y/X}=(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)^\vee$ の $\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(N_{Y/X})$ である（ブローアップ の記事はこの規約で $\mathbb{P}(N_{Y/X})$ と書く）。さらに $\mathcal{O}_{\tilde X}(E)|_E\cong\mathcal{O}_E(-1)$ が成り立つ（Har77 II 8.24）。$c=1$ なら $\mathbb{P}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)=Y$ で、ブローアップは同型である。
$n\ge1$ のとき Hirzebruch 曲面 $\mathbb{F}_n=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))\to\mathbb{P}^1_k$ は、$\mathbb{P}^1$ の開被覆 $\{D_+(u_0),D_+(u_1)\}$ の上では $\mathbb{P}^1\times D_+(u_i)$ と同型だが（prop-projective-bundle-local）、$\mathbb{P}^1$ スキームとしては $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1=\mathbb{P}(\mathcal{O}^{\oplus2})$ と同型でない。さらに $\mathbb{F}_n\cong\mathbb{F}_m$（$\mathbb{P}^1$ 上）ならば $n=m$ である。
満たす性質：底の開被覆の上で自明な射影束である。満たさない性質：大域的に自明ではない。破る含意：「局所的に自明な射影束は大域的に自明である」は成り立たない。
証明。$m\ge0$ とし、$\mathbb{F}_m\to\mathbb{P}^1$ の切断 $\sigma'$ に対する $\deg\sigma'^*T_{\mathbb{F}_m/\mathbb{P}^1}$ の値を求める。prop-projective-bundle-section により $\sigma'$ は全射 $u\colon\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-m)\to\mathcal{L}$ に対応し、$\mathcal{L}\cong\mathcal{O}(d)$（$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^1_k=\mathbb{Z}$、Har77 II 6.17）とすると $\sigma'^*T_{\mathbb{F}_m/\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{H}om(\ker u,\mathcal{L})$ である。$\ker u$ は階数 $1$ の局所自由層で、行列式をとると $\mathcal{O}(-m)=\det(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-m))\cong\ker u\otimes\mathcal{L}$（Har77 II 演習 5.16）なので $\ker u\cong\mathcal{O}(-m-d)$、したがって $\deg\sigma'^*T_{\mathbb{F}_m/\mathbb{P}^1}=d-(-m-d)=2d+m$ である。$u$ の成分を $a\in H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(d))$、$b\in H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(d+m))$ とする。$d<0$ なら $a=0$ であり、$u$ が全射であるためには $b$ がどの点でも消えない、すなわち $\mathcal{O}(d+m)\cong\mathcal{O}$ でなければならないので $d=-m$ である。よって $d\ge0$ か $d=-m$ であり、次数 $2d+m$ のとりうる値は $-m$ と $m$ 以上の整数に限られ、値 $-m$ は切断 $\sigma_0$（ex-projective-bundle-hirzebruch）で実現される。すなわち $\deg\sigma'^*T_{\mathbb{F}_m/\mathbb{P}^1}$ の切断 $\sigma'$ にわたる最小値は $-m$ である。いま $\mathbb{P}^1$ スキームの同型 $\varphi\colon\mathbb{F}_n\to\mathbb{F}_m$ があるとする。相対 Kähler微分の層は底の上の同型で保たれるので $\varphi$ は相対接層の同型 $T_{\mathbb{F}_n/\mathbb{P}^1}\cong\varphi^*T_{\mathbb{F}_m/\mathbb{P}^1}$ を誘導し、$\mathbb{F}_n$ の切断 $\sigma$ と $\mathbb{F}_m$ の切断 $\varphi\circ\sigma$ は一対一に対応して $\sigma^*T_{\mathbb{F}_n/\mathbb{P}^1}\cong(\varphi\circ\sigma)^*T_{\mathbb{F}_m/\mathbb{P}^1}$ を満たす。よって上の最小値が一致し $n=m$ である。$m=0$ の場合が前半の主張である。$\square$
prop-projective-bundle-twist により、任意の可逆層 $\mathcal{L}$ に対し $\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E})$ である。たとえば $S=\mathbb{P}^1_k$、$\mathcal{E}=\mathcal{O}^{\oplus2}$、$\mathcal{E}'=\mathcal{O}(1)^{\oplus2}=\mathcal{E}\otimes\mathcal{O}(1)$ とすると $\mathbb{P}(\mathcal{E})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E}')\cong\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ であるが、$\dim_kH^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{E})=2$、$\dim_kH^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{E}')=4$ なので $\mathcal{E}\not\cong\mathcal{E}'$ である。
満たす性質：$\mathbb{P}(\mathcal{E})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E}')$（$S$ 上）。満たさない性質：$\mathcal{E}\cong\mathcal{E}'$。破る含意：「射影束が $S$ 上同型ならば局所自由層が同型である」は成り立たない。$S$ が正則な Noetherスキーム（正則スキーム）なら、$\mathbb{P}(\mathcal{E})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E}')$ となるのはちょうど $\mathcal{E}'\cong\mathcal{E}\otimes\mathcal{L}$ のときである（thm-projective-bundle-pic）。一方、組 $(\mathbb{P}(\mathcal{E}),\mathcal{O}(1))$ からは $\mathcal{E}=\pi_*\mathcal{O}(1)$ と復元できる（prop-projective-bundle-pushforward）。
$S$ のエタール被覆（エタール射）の上で $\mathbb{P}^{r-1}$ と同型になる $S$ スキームを Severi–Brauer スキーム（Severi–Brauer多様体。Brauer–Severi 多様体ともいう）という。射影束 $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は Zariski 開被覆の上で $\mathbb{P}^{r-1}$ になるので Severi–Brauer スキームであり、対応する Azumaya代数は $\mathcal{E}nd(\mathcal{E})$（規約によってはその反対代数）で、Brauer群 $\operatorname{Br}(S)$ における類は $0$ である。逆に類が $0$ なら $H^1(S,GL_r)\to H^1(S,PGL_r)\to\operatorname{Br}(S)$ の完全性により射影束に同型であり、体 $k$ の上では射影束（$=\mathbb{P}^{r-1}_k$）であることと $k$ 有理点をもつこととが同値である（Châtelet の定理。GS06 第 5 章、Severi–Brauer多様体 の記事）。円錐曲線 $x^2+y^2+z^2=0\subset\mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}$ は $\mathbb{R}$ 有理点をもたない Severi–Brauer 多様体なので射影束ではなく、「エタール局所的に射影空間」は「Zariski 局所的に射影空間」より真に弱い条件である。
性質
局所構造と構造射
$\mathcal{E}$ を $S$ 上階数 $r\ge1$ の局所自由層、$\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{E})\to S$ をその射影束とする。
- $U\subset S$ を $\mathcal{E}|_U\cong\mathcal{O}_U^{\oplus r}$ となる開集合とすると、$\pi^{-1}(U)=\mathbb{P}(\mathcal{E}|_U)\cong\mathbb{P}^{r-1}_U$ であり、この同型のもとで $\mathcal{O}(1)$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{r-1}_U}(1)$ に、標準全射は $e_i\mapsto x_i$ に対応する。
- $\pi$ は射影射、したがって固有射・分離射・有限型射であり、相対次元 $r-1$ の滑らかな射、とくに平坦射である。
- 標準全射の核 $\mathcal{K}=\ker q$ は階数 $r-1$ の局所自由層であり、1 の同型のもとで $D_+(x_i)$ の上では $e_j-(x_j/x_i)e_i$（$j\ne i$）を基底とする。
- 点 $s\in S$ の上のファイバー $\pi^{-1}(s)=\mathbb{P}(\mathcal{E})\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)$ は $\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\kappa(s))\cong\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)}$ である。
標準的なので筋だけ述べる（Har77 II §7、EGA2 §4.1）。1：$\mathbf{Proj}_S$ は開集合への制限と両立し、基底 $e_1,\dots,e_r$ が次数付き代数の同型 $\mathcal{O}_U[x_1,\dots,x_r]\cong\operatorname{Sym}(\mathcal{E}|_U)$（$x_i\mapsto e_i$）を誘導する。$\mathcal{O}(1)$ と標準全射は次数付き代数から定まる。2：$\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は $\mathcal{O}(1)$ を相対的に非常に豊富な可逆層（豊富な可逆層）とする EGA2 の意味の射影射であり、固有・分離・有限型は 射影射 の記事による。滑らかさと平坦性は $S$ 上局所的で、$\mathbb{P}^{r-1}_U\to U$ はアフィン空間 $\mathbb{A}^{r-1}_{\mathbb{Z}}$ で覆われる $\mathbb{P}^{r-1}_{\mathbb{Z}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の底変換である（滑らかな射）。3：$D_+(x_i)$ の上で $\mathcal{O}(1)$ は $x_i$ を基底とするので、$(a_j)_j\mapsto\sum_ja_jx_j$ の核は $a_i=-\sum_{j\ne i}a_j\,x_j/x_i$ で決まる組の全体である。4：prop-projective-bundle-base-change により $\pi^{-1}(s)=\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\kappa(s))$ であり、1 による。
普遍性
射影束への射は「可逆層への全射」で記述される。射影空間への射が「大域切断で生成される可逆層」で記述されること（Har77 II 7.1）の相対版である。
$\mathcal{E}$ を $S$ 上階数 $r\ge1$ の局所自由層、$g\colon T\to S$ を $S$ スキームとし、$\mathcal{E}_T:=g^*\mathcal{E}$ とおく。次の対応は全単射である。
$$
\operatorname{Hom}_S(T,\mathbb{P}(\mathcal{E}))\longrightarrow\{(\mathcal{M},u)\mid\mathcal{M}\text{ は }T\text{ 上の可逆層、}u\colon\mathcal{E}_T\to\mathcal{M}\text{ は全射}\}/\cong,\qquad f\longmapsto(f^*\mathcal{O}(1),\,f^*q).
$$
ここで $f^*q\colon\mathcal{E}_T=f^*\pi^*\mathcal{E}\to f^*\mathcal{O}(1)$ は標準全射の引き戻しであり、右辺の $\cong$ は $u'=\alpha\circ u$ となる可逆層の同型 $\alpha\colon\mathcal{M}\to\mathcal{M}'$ による同一視である。この対応は $T$ について自然である（$h\colon T'\to T$ に対し $f\circ h\mapsto(h^*\mathcal{M},h^*u)$）。
第 1 段（$\mathcal{E}$ が自由な場合）。$\mathcal{E}=\mathcal{O}_S^{\oplus r}$ とする。$\mathcal{O}_T^{\oplus r}$ の可逆層への全射 $u$ を与えることは、$\mathcal{M}$ を生成する（各点 $t$ の茎で $\mathcal{M}_t$ を生成する）大域切断 $s_i:=u(e_i)$（$i=1,\dots,r$）を与えることと同じである。また $\mathbb{P}^{r-1}_S=\mathbb{P}^{r-1}_{\mathbb{Z}}\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z}}S$ なので、ファイバー積の普遍性により $S$ 射 $T\to\mathbb{P}^{r-1}_S$ は射 $T\to\mathbb{P}^{r-1}_{\mathbb{Z}}$ と同じである。示すべきことは、射 $f\colon T\to\mathbb{P}^{r-1}_{\mathbb{Z}}$ と、$\mathcal{M}$ を生成する $r$ 個の切断つきの可逆層 $(\mathcal{M};s_1,\dots,s_r)$（切断を対応させる同型を除く）とが $f\mapsto(f^*\mathcal{O}(1);f^*x_1,\dots,f^*x_r)$ により一対一に対応することである（Har77 II 7.1）。
$x_1,\dots,x_r$ は $\mathcal{O}(1)$ を生成するので $f^*x_i$ は $f^*\mathcal{O}(1)$ を生成する。逆に $(\mathcal{M};s_1,\dots,s_r)$ が与えられたとする。$T_i$ を $s_i$ の $\mathcal{M}\otimes\kappa(t)$ における像が $0$ でない点 $t$ の全体とすると、$T_i$ は $s_i\colon\mathcal{O}_T\to\mathcal{M}$ の余核の台(層)の補集合であり、余核は有限型なので台は閉、よって $T_i$ は開集合で（連接層）、$s_i$ が生成するので $T=\bigcup_iT_i$ である。$T_i$ の上では $\mathcal{O}_{T_i}\xrightarrow{s_i}\mathcal{M}|_{T_i}$ は同型であり、$s_j=(s_j/s_i)\,s_i$ となる $s_j/s_i\in\mathcal{O}(T_i)$ が一意に定まる。$D_+(x_i)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1/x_i,\dots,x_r/x_i]$ はアフィンスキームだから環準同型 $x_j/x_i\mapsto s_j/s_i$ が射 $f_i\colon T_i\to D_+(x_i)$ を定める。$T_i\cap T_j$ の上では $s_k/s_i=(s_k/s_j)(s_j/s_i)$ が成り立つので $f_i$ と $f_j$ の制限は $D_+(x_ix_j)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1/x_i,\dots,x_r/x_i,x_i/x_j]$ への同じ射であり、$f_i$ は貼り合わさって射 $f\colon T\to\mathbb{P}^{r-1}_{\mathbb{Z}}$ を定める。同型 $f^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{M}$ は $T_i$ の上で生成元 $f^*x_i$ を $s_i$ に送るものとして定義され、$T_i\cap T_j$ の上で $f^*x_j=f^*(x_j/x_i)\cdot f^*x_i\mapsto(s_j/s_i)s_i=s_j$ となるので整合する。2 つの構成は互いに逆である。$(\mathcal{M};s_i)$ から作った $f$ について $(f^*\mathcal{O}(1);f^*x_i)$ は上の同型により $(\mathcal{M};s_i)$ に戻り、逆に $f$ から作った $f'$ は $T_i=f^{-1}(D_+(x_i))$ の上で $x_j/x_i\mapsto f^*(x_j/x_i)$ で定まる射、すなわち $f|_{T_i}$ である。切断を対応させる $\mathcal{M}$ の同型は同じ $s_j/s_i$ を与えるので、対応は同型類の上で定まる。
第 2 段（一般の場合）。$S=\bigcup_\alpha U_\alpha$ を $\mathcal{E}|_{U_\alpha}$ が自由になる開被覆、$T_\alpha:=g^{-1}(U_\alpha)$ とおく。$\pi^{-1}(U_\alpha)=\mathbb{P}(\mathcal{E}|_{U_\alpha})$（prop-projective-bundle-local）なので、$S$ 射 $T\to\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は $T_\alpha\cap T_\beta$ の上で一致する $U_\alpha$ 射 $T_\alpha\to\mathbb{P}(\mathcal{E}|_{U_\alpha})$ の族と同じものであり、可逆層への全射 $\mathcal{E}_T\to\mathcal{M}$ は、各 $T_\alpha$ 上の全射 $u_\alpha\colon\mathcal{E}_T|_{T_\alpha}\to\mathcal{M}_\alpha$ の族と、$T_\alpha\cap T_\beta$ 上で $u_\alpha$ と $u_\beta$ を対応させコサイクル条件を満たす同型 $\mathcal{M}_\alpha\cong\mathcal{M}_\beta$ との組と同じものである（層の貼り合わせ）。第 1 段の全単射は開集合への制限と両立し、基底の取り替え $e'_j=\sum_ig_{ij}e_i$（$(g_{ij})\in GL_r(\mathcal{O}(U_\alpha))$）とも両立する（$\mathbb{P}^{r-1}_{U_\alpha}$ との同一視が $x'_j=\sum_ig_{ij}x_i$ の定める自己同型だけ変わり、切断も $s'_j=\sum_ig_{ij}s_i$ に変わるので、対応する射は同じである）。よって各 $\alpha$ での全単射が一致条件を対応させ、全体の全単射が得られる。自然性は $h^*f^*=(f\circ h)^*$ による。$\square$
$g\colon T\to S$ を射とすると、標準的な $T$ 同型 $\mathbb{P}(g^*\mathcal{E})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E})\times_ST$ があり、この同型のもとで $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(g^*\mathcal{E})}(1)$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$ の引き戻しに、標準全射は標準全射の引き戻しに対応する。
$\mathbf{Proj}$ が底変換と両立すること（EGA2 §3.5、§4.1）による。関手的には、$T$ スキーム $h\colon T'\to T$ に対し thm-projective-bundle-universal を $(\mathcal{E},g\circ h)$ と $(g^*\mathcal{E},h)$ に適用すると、$\operatorname{Hom}_S(T',\mathbb{P}(\mathcal{E}))=\operatorname{Hom}_T(T',\mathbb{P}(\mathcal{E})\times_ST)$ と $\operatorname{Hom}_T(T',\mathbb{P}(g^*\mathcal{E}))$ はともに $h^*g^*\mathcal{E}$ の可逆層への全射の同型類の集合と自然に一対一に対応するので、米田の補題により主張の $T$ 同型を得る。$\mathcal{O}(1)$ と標準全射の対応は恒等射に対応する普遍的な商を比べればよい。
$\mathcal{L}$ を $S$ 上の可逆層とすると、標準的な $S$ 同型 $\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E})$ があり、この同型のもとで $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})}(1)\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)\otimes\pi^*\mathcal{L}$ である。
証明は Har77 II 補題 7.9 に譲る。筋：$S$ スキーム $T$ に対し、$\mathcal{E}_T$ の可逆層への全射 $u\colon\mathcal{E}_T\to\mathcal{M}$ と $\mathcal{E}_T\otimes\mathcal{L}_T$ の可逆層への全射 $u\otimes\mathrm{id}$ とは一対一に対応し（可逆層とのテンソル積は完全関手）、$T$ について自然だから、thm-projective-bundle-universal と米田の補題により $\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E})$ を得る。普遍的な商を比べると、$\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})$ の標準全射は $\pi^*\mathcal{E}\otimes\pi^*\mathcal{L}\to\mathcal{O}(1)\otimes\pi^*\mathcal{L}$ に対応するので、$\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})}(1)\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)\otimes\pi^*\mathcal{L}$ である。
標準可逆層の順像
$\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{E})\to S$ を階数 $r\ge1$ の射影束とすると、$n\ge0$ に対し標準的な同型 $\operatorname{Sym}^n\mathcal{E}\cong\pi_*\mathcal{O}(n)$ がある。とくに $\pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}=\mathcal{O}_S$ であり、標準全射の随伴 $\mathcal{E}\to\pi_*\mathcal{O}(1)$ は同型である。$r\ge2$、$n<0$ のときは $\pi_*\mathcal{O}(n)=0$ である。
射 $\operatorname{Sym}^n\mathcal{E}\to\pi_*\mathcal{O}(n)$ は、アフィン開集合 $U$ の上で次数 $n$ の元を $\mathcal{O}(n)$ の大域切断に送る射である。同型であることは $S$ 上局所的な主張なので、$S=\operatorname{Spec}A$、$\mathcal{E}$ は自由、$\mathbb{P}(\mathcal{E})=\mathbb{P}^{r-1}_A=\operatorname{Proj}B$、$B=A[x_1,\dots,x_r]$ としてよく、示すべきことは $B_n\to\Gamma(\mathbb{P}^{r-1}_A,\mathcal{O}(n))$ が同型（$n\ge0$）で、$r\ge2$、$n<0$ なら右辺が $0$ であることである。
$\mathbb{P}^{r-1}_A$ は $D_+(x_i)=\operatorname{Spec}B_{(x_i)}$ で覆われ、$\mathcal{O}(n)(D_+(x_i))=(B_{x_i})_n$ である。層の公理により $\Gamma(\mathbb{P}^{r-1}_A,\mathcal{O}(n))$ は、$(B_{x_ix_j})_n$ の中で $f_i=f_j$ となる族 $(f_i\in(B_{x_i})_n)_i$ の全体である。$B$ は $A$ 上の多項式環なので各 $x_i$ は非零因子であり、すべての $B_{x_i}$、$B_{x_ix_j}$ は Laurent 多項式環（Laurent多項式）$A[x_1^{\pm1},\dots,x_r^{\pm1}]$ の部分環である。後者は Laurent 単項式 $x^m=x_1^{m_1}\cdots x_r^{m_r}$（$m\in\mathbb{Z}^r$）を $A$ 上の基底にもち、$B_{x_i}$ は $m_j\ge0$（すべての $j\ne i$）を満たす単項式で張られる。したがって両立する族 $(f_i)_i$ を与えることは $\bigcap_iB_{x_i}$ の元を与えることと同じであり、$f=\sum_ma_mx^m$ がすべての $B_{x_i}$ に属することは、$a_m\ne0$ なる各 $m$ について、すべての $i$ とすべての $j\ne i$ で $m_j\ge0$ であること、$r\ge2$ ならすべての $j$ で $m_j\ge0$ であることと同値である。よって $\bigcap_iB_{x_i}=B$ であり、次数 $n$ の部分をとれば $\Gamma(\mathbb{P}^{r-1}_A,\mathcal{O}(n))=B_n$（$n\ge0$）、$=0$（$n<0$）を得る。$r=1$ のときは $\mathbb{P}^0_A=D_+(x_1)=\operatorname{Spec}A$、$\Gamma(\mathcal{O}(n))=Ax_1^n$ であり、$n\ge0$ なら $B_n$ に等しい。
この同型は基底の取り替えと両立するので貼り合わさり、大域的な同型 $\operatorname{Sym}^n\mathcal{E}\cong\pi_*\mathcal{O}(n)$ を与える。$n=1$ のとき、この射は標準全射の随伴そのものである。$\square$
$n<0$ での高次順像 $R^{r-1}\pi_*\mathcal{O}(n)\cong(\operatorname{Sym}^{-n-r}\mathcal{E})^\vee\otimes\det\mathcal{E}^\vee$ と $0< i< r-1$ での $R^i\pi_*\mathcal{O}(n)=0$ は、射影空間のコホモロジーの計算（Har77 III 5.1・III 演習 8.4）から従う。
相対 Euler 列
$\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{E})\to S$ を階数 $r\ge1$ の射影束、$q\colon\pi^*\mathcal{E}\to\mathcal{O}(1)$ を標準全射、$\mathcal{K}=\ker q$ とし、$\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}$ を相対 Kähler 微分の層、$T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}:=\mathcal{H}om(\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S},\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})})$ を相対接層とする。
- 標準的な同型 $T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\mathcal{H}om(\mathcal{K},\mathcal{O}(1))$、および双対に $\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\mathcal{K}\otimes\mathcal{O}(-1)$ がある。
- したがって $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}$ 加群の短完全列（相対 Euler 列）
$$ 0\longrightarrow\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\longrightarrow\pi^*\mathcal{E}\otimes\mathcal{O}(-1)\xrightarrow{\ q\otimes\mathrm{id}\ }\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}\longrightarrow0, \qquad 0\longrightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}\longrightarrow\pi^*\mathcal{E}^\vee\otimes\mathcal{O}(1)\longrightarrow T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\longrightarrow0 $$
がある。とくに $\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}$ は階数 $r-1$ の局所自由層で、相対標準層は $\omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}=\det\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\pi^*\det\mathcal{E}\otimes\mathcal{O}(-r)$ である。
まず双線型写像 $\Phi\colon T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\times\mathcal{K}\to\mathcal{O}(1)$ を定める。$D$ を開集合 $V\subset\mathbb{P}(\mathcal{E})$ 上の $\mathcal{O}_S$ 線型な導分、$k$ を $V$ 上の $\mathcal{K}$ の切断とし、$\pi(V)$ の上で $\mathcal{E}$ が基底 $e_1,\dots,e_r$ をもつとする。$k=\sum_ja_je_j$（$a_j\in\mathcal{O}(V)$）、$x_j:=q(e_j)$ とおくと $k\in\mathcal{K}$ は $\sum_ja_jx_j=0$ を意味する。
$$
\Phi(D,k):=\sum_jD(a_j)\,x_j\in\mathcal{O}(1)(V)
$$
と定める。これは基底によらない。実際、別の基底 $e'_j=\sum_lg_{jl}e_l$（$g_{jl}$ は $\mathcal{O}_S$ の切断の引き戻しなので $D(g_{jl})=0$）で $k=\sum_ja'_je'_j$ と書くと $a_l=\sum_ja'_jg_{jl}$ であり、$\sum_lD(a_l)x_l=\sum_jD(a'_j)\sum_lg_{jl}x_l=\sum_jD(a'_j)x'_j$（$x'_j=q(e'_j)$）となる。$\Phi$ は $D$ について $\mathcal{O}$ 線型であり、$k$ についても $\Phi(D,bk)=\sum_j(b\,D(a_j)+a_j\,D(b))x_j=b\,\Phi(D,k)+D(b)\sum_ja_jx_j=b\,\Phi(D,k)$ により $\mathcal{O}$ 線型である。よって $\Phi$ は $\mathcal{O}$ 線型な射 $\Phi\colon T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\to\mathcal{H}om(\mathcal{K},\mathcal{O}(1))$ を定める。
$\Phi$ が同型であることは局所的なので、prop-projective-bundle-local により $S=\operatorname{Spec}A$、$\mathcal{E}=\mathcal{O}_S^{\oplus r}$ とし、$D_+(x_1)=\operatorname{Spec}A[t_2,\dots,t_r]$（$t_j=x_j/x_1$）の上で確かめればよい。ここで $\Omega_{\mathbb{P}^{r-1}_A/A}$ は $dt_2,\dots,dt_r$ を、$T_{\mathbb{P}^{r-1}_A/A}$ は偏微分 $\partial_2,\dots,\partial_r$（$\partial_i(t_j)=\delta_{ij}$、$\partial_i(A)=0$）を、$\mathcal{K}$ は $k_j:=e_j-t_je_1$（$j=2,\dots,r$。prop-projective-bundle-local の 3）を、$\mathcal{O}(1)$ は $x_1$ を基底とする自由加群である。$k_j$ の係数は $a_j=1$、$a_1=-t_j$、その他は $0$ だから
$$
\Phi(\partial_i,k_j)=\partial_i(1)\,x_j+\partial_i(-t_j)\,x_1=-\delta_{ij}\,x_1
$$
である。すなわち基底 $\partial_2,\dots,\partial_r$ と $\mathcal{H}om(\mathcal{K},\mathcal{O}(1))$ の基底 $k_j^\vee\otimes x_1$ に関して $\Phi$ の行列は単位行列の $-1$ 倍であり、$\Phi$ は同型である。$\mathcal{K}$ は局所自由なので双対をとって $\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\mathcal{H}om(\mathcal{H}om(\mathcal{K},\mathcal{O}(1)),\mathcal{O})\cong\mathcal{K}\otimes\mathcal{O}(-1)$ を得る。これで 1 が示された。
2 について。短完全列 $0\to\mathcal{K}\to\pi^*\mathcal{E}\xrightarrow{q}\mathcal{O}(1)\to0$ に $\mathcal{O}(-1)$ をテンソルし（可逆層とのテンソル積は完全性を保つ）、$\mathcal{K}(-1)$ を 1 の同型により $\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}$ に置き換えれば第 1 の列を得る。第 2 の列はその双対であり、局所自由層の短完全列は局所的に分裂するので双対も完全である。行列式については、局所自由層の短完全列 $0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to0$ に対し $\det\mathcal{F}\cong\det\mathcal{F}'\otimes\det\mathcal{F}''$ が成り立つこと（Har77 II 演習 5.16）と、$\det(\pi^*\mathcal{E}\otimes\mathcal{O}(-1))=\pi^*\det\mathcal{E}\otimes\mathcal{O}(-r)$ による。$\square$
$\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{E})\to S$ を階数 $r\ge1$ の射影束とする。
- $\pi$ の切断 $\sigma\colon S\to\mathbb{P}(\mathcal{E})$（$\pi\circ\sigma=\mathrm{id}_S$）は、$\mathcal{E}$ の可逆層への全射 $u\colon\mathcal{E}\to\mathcal{L}$ の同型類と $\sigma\mapsto\sigma^*q$ により一対一に対応する。とくに $\sigma^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{L}$ である。
- $\sigma$ が $u\colon\mathcal{E}\to\mathcal{L}$ に対応し、$\mathcal{K}_u:=\ker u$（階数 $r-1$ の局所自由層）とするとき、$\sigma^*T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\mathcal{H}om(\mathcal{K}_u,\mathcal{L})$、$\sigma^*\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\mathcal{K}_u\otimes\mathcal{L}^{-1}$ である。
- thm-projective-bundle-universal を $T=S$、$g=\mathrm{id}_S$ に適用すればよい。
- 短完全列 $0\to\mathcal{K}\to\pi^*\mathcal{E}\to\mathcal{O}(1)\to0$ は局所自由層の列なので局所的に分裂し、$\sigma^*$ で引き戻しても完全である。$\sigma^*\pi^*\mathcal{E}=\mathcal{E}$、$\sigma^*q=u$ なので $\sigma^*\mathcal{K}\cong\ker u=\mathcal{K}_u$ であり、$\mathcal{K}$ が局所自由なので $\sigma^*\mathcal{H}om(\mathcal{K},\mathcal{O}(1))\cong\mathcal{H}om(\sigma^*\mathcal{K},\sigma^*\mathcal{O}(1))$ である。thm-projective-bundle-euler の 1 から主張を得る。$\square$
$\pi$ は分離射なので切断 $\sigma$ は閉埋め込みである（$\sigma(S)$ は $\mathrm{id}$ と $\sigma\circ\pi$ の一致点集合。分離射 の記事の命題「分離射への 2 つの射の一致点集合」）。$\sigma(S)$ のイデアル層を $\mathcal{I}$ とすると、余法列（Har77 II 8.12）の射 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\sigma^*\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}$ は同型であり（$\sigma(U)\subset D_+(x_1)=\operatorname{Spec}A[t_2,\dots,t_r]$ となる局所座標で $\sigma$ のイデアルは $t_j-\sigma^*(t_j)$ が生成し、その類が $dt_j$ に対応する）、したがって $\sigma(S)$ の法束 $(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)^\vee$ は $\sigma^*T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}\cong\mathcal{H}om(\mathcal{K}_u,\mathcal{L})$ である。
Picard 群
$S$ を正則な Noether スキーム（各点の局所環が正則局所環）、$\mathcal{E}$ を階数 $r\ge2$ の局所自由層とすると、
$$
\operatorname{Pic}S\times\mathbb{Z}\longrightarrow\operatorname{Pic}\mathbb{P}(\mathcal{E}),\qquad(\mathcal{L},n)\longmapsto\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(n)
$$
は群の同型である（Picard群）。したがって $S$ 上 $\mathbb{P}(\mathcal{E})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E}')$ なら、$\mathcal{E}'\cong\mathcal{E}\otimes\mathcal{L}$ となる可逆層 $\mathcal{L}$ が存在する。
証明は Har77 II 演習 7.9 に譲る。$\mathbb{P}(\mathcal{E})$ の正則性から $\operatorname{Pic}$ を因子類群（Weil因子）で計算し、$\pi^{-1}(U)=\mathbb{P}^{r-1}_U$ への制限の完全列を用いる。単射性は一般の $S$ で容易である：$\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(n)\cong\mathcal{O}$ なら、ファイバーに制限して $r\ge2$ より $n=0$、次に射影公式と prop-projective-bundle-pushforward により $\mathcal{L}\cong\pi_*\pi^*\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_S$ である。後半は、同型 $\varphi\colon\mathbb{P}(\mathcal{E})\to\mathbb{P}(\mathcal{E}')$ に対し $\varphi^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E}')}(1)$ が各ファイバー上で $\mathcal{O}(1)$ なので前半により $\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(1)$ の形であり、$\mathcal{E}'=\pi'_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E}')}(1)\cong\pi_*(\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(1))\cong\mathcal{L}\otimes\mathcal{E}$ となることによる。
Chow 環とコホモロジー
$X$ を体上の非特異（非特異多様体）な準射影多様体（より一般に代数的スキーム、Chow環）、$\mathcal{E}$ を階数 $r$ の局所自由層、$\pi\colon P=\mathbb{P}(\mathcal{E})\to X$、$\xi:=c_1(\mathcal{O}_P(1))\in A^1(P)$ とする。
- $A^*(P)$ は $\pi^*$ を通じて $A^*(X)$ 上の自由加群で、$1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$ を基底にもつ：$A^*(P)=\bigoplus_{i=0}^{r-1}\pi^*A^*(X)\,\xi^i$。
- $\xi^r$ は関係式
$$ \xi^r-\pi^*c_1(\mathcal{E})\,\xi^{r-1}+\pi^*c_2(\mathcal{E})\,\xi^{r-2}-\cdots+(-1)^r\pi^*c_r(\mathcal{E})=0 $$
を満たす。1 により $\xi^r$ は $1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$ の一次結合として一意に書けるので、この関係式で Chern類 $c_i(\mathcal{E})\in A^i(X)$ を定義できる（Grothendieck の定義）。 - 位相的な対応物：$X$ をパラコンパクト（パラコンパクト空間）な Hausdorff空間、$E$ を階数 $r$ の複素ベクトル束、$\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(E)$ を直線の規約の射影束、$\xi=c_1(\mathcal{O}(1))\in H^2(\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(E);\mathbb{Z})$ とすると $H^*(\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(E);\mathbb{Z})=\bigoplus_{i=0}^{r-1}\pi^*H^*(X;\mathbb{Z})\,\xi^i$ である（Leray–Hirsch の定理）。
1 と 2 は Grothendieck Gro58 の出発点で、証明は Ful98 Theorem 3.3 と §3.2、Har77 Appendix A §3、EH16 Theorem 9.6 に譲る。3 は Leray–Hirsch の定理（BT82 Theorem 5.11、Hat02 Theorem 4D.1）と、ファイバー $\mathbb{CP}^{r-1}$ のコホモロジーが $\xi^i$ の制限で張られることによる。2 の符号は商の規約によるもので、直線の規約 $\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(\mathcal{E})=\mathbb{P}(\mathcal{E}^\vee)$ では $c_i(\mathcal{E}^\vee)=(-1)^ic_i(\mathcal{E})$ により $\sum_{i=0}^r\pi^*c_i(\mathcal{E})\,\zeta^{r-i}=0$（$\zeta=c_1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}_{\mathrm{sub}}(\mathcal{E})}(1))$）となる（Ful98 §3.2、Chow環・Chern類 の記事はこの形）。相対接層の Chern 類は thm-projective-bundle-euler の第 2 の列から $c(T_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/X})=c(\pi^*\mathcal{E}^\vee\otimes\mathcal{O}(1))$ と計算される。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
