空間ベクトルと1次独立

方針：「1 次従属」⇔「一方が $\vec 0$ か、2 つが平行」を示す。これは示したい同値の両辺を否定したものである。平行とは、$\vec 0$ でない 2 つのベクトルの一方が他方の $0$ でない実数倍であることをいう。
段 1（従属なら $\vec 0$ か平行）。$s\vec a+t\vec b=\vec 0$ で、$s$、$t$ の少なくとも一方が $0$ でないとする。$s\ne0$ なら $\vec a=-\frac ts\vec b$ である。このとき $\vec a=\vec 0$ であるか、そうでなければ $-\frac ts\ne0$ かつ $\vec b\ne\vec 0$ なので、$\vec a$ と $\vec b$ は平行である。$s=0$ なら $t\ne0$ で、$t\vec b=\vec 0$ から $\vec b=\vec 0$ である。
段 2（$\vec 0$ か平行なら従属）。$\vec a=\vec 0$ なら $1\cdot\vec a+0\cdot\vec b=\vec 0$、$\vec b=\vec 0$ なら $0\cdot\vec a+1\cdot\vec b=\vec 0$ で、どちらも $0$ でない係数を含む。平行なら $\vec a=k\vec b$（$k\ne0$）と書けるので、$1\cdot\vec a+(-k)\vec b=\vec 0$ である。$\square$

方針：$0$ でない係数を 1 つ選んで、その項だけを左辺に残す。
段 1（必要性）。$s\vec a+t\vec b+u\vec c=\vec 0$ で、$s$、$t$、$u$ のどれかが $0$ でないとする。たとえば $u\ne0$ なら、両辺を $u$ で割って移項すると $\vec c=-\frac su\vec a-\frac tu\vec b$ で、$\vec c$ は $\vec a$、$\vec b$ の 1 次結合である。$s\ne0$ や $t\ne0$ のときも、同じようにして $\vec a$ や $\vec b$ が残りの 1 次結合になる。
段 2（十分性）。たとえば $\vec c=p\vec a+q\vec b$ なら、$p\vec a+q\vec b+(-1)\vec c=\vec 0$ で、係数 $-1$ は $0$ でない。$\vec a$ や $\vec b$ が残りの 1 次結合のときも同じである。$\square$

方針：1 ⇒ 2 と 2 ⇒ 1 を対偶で示し、1 と 2 から 3 を導き、最後に 3 ⇒ 1 を示す。$O$、$A$、$B$、$C$ は上のとおりとする。
段 1（1 ⇒ 2。対偶「同じ平面上にあれば 1 次従属」を示す）。$O$、$A$、$B$、$C$ を含む平面 $\pi$ があるとする。

• $\vec a$、$\vec b$ が 1 次従属のとき：$s\vec a+t\vec b=\vec 0$ で $s$、$t$ の一方が $0$ でないものがある。$u=0$ を付け加えれば $s\vec a+t\vec b+0\,\vec c=\vec 0$ なので、$\vec a$、$\vec b$、$\vec c$ も 1 次従属である。
• $\vec a$、$\vec b$ が 1 次独立のとき：lem-lis-two により $\vec a$、$\vec b$ は $\vec 0$ でなく平行でないので、$O$、$A$、$B$ は一直線上にない。rem-lis-space-facts の 1 により、$O$、$A$、$B$ を通る平面は $\pi$ だけであり、$\pi$ は平面 $OAB$ である。$C$ は $\pi$ 上にあるので、rem-lis-space-facts の 2 により $\vec c=s\vec a+t\vec b$ と書ける。すると $s\vec a+t\vec b+(-1)\vec c=\vec 0$ で、$\vec a$、$\vec b$、$\vec c$ は 1 次従属である。
  段 2（2 ⇒ 1。対偶「1 次従属なら同じ平面上にある」を示す）。1 次従属とする。lem-lis-dependent により、どれか 1 つが残りの 1 次結合である。文字の名前を付け替えて、$\vec c=p\vec a+q\vec b$ としてよい。
• $\vec a$、$\vec b$ が 1 次独立のとき：$O$、$A$、$B$ は一直線上になく、rem-lis-space-facts の 2 により $C$ は平面 $OAB$ 上にある。よって 4 点は平面 $OAB$ 上にある。
• $\vec a$、$\vec b$ が 1 次従属のとき：lem-lis-two により、一方が $\vec 0$ か、2 つが平行である。どの場合も、$\vec a$、$\vec b$ はある 1 つのベクトル $\vec d\ne\vec 0$ の実数倍であるか、両方 $\vec 0$ である。すると $\vec c=p\vec a+q\vec b$ も $\vec d$ の実数倍（または $\vec 0$）である。よって $A$、$B$、$C$ はすべて $O$ を通る 1 本の直線上にある（両方 $\vec 0$ なら $A$、$B$、$C$ は $O$ に一致するので、$O$ を通る直線を 1 本とって考える）。rem-lis-space-facts の 5 によりその直線を含む平面があり、4 点はその上にある。
  段 3（1・2 ⇒ 3 の「表せる」）。2 が成り立つとする。まず、$O$、$A$、$B$ は一直線上にないことを示す。一直線上にあるとして、その直線を $\ell$ とする（$O=A=B$ なら $O$ を通る直線を 1 本とって $\ell$ とする）。rem-lis-space-facts の 5 により、$\ell$ と $C$ を含む平面がある（$C$ が $\ell$ 上にあるときは、$\ell$ を含む平面をとる）。その平面に $O$、$A$、$B$、$C$ がのるので、2 に反する。よって $O$、$A$、$B$ は一直線上にない。平面 $OAB$ を $\pi$ とすると、2 により $C$ は $\pi$ 上にない。点 $P$ を $\overrightarrow{OP}=\vec p$ となるようにとる。$P$ を通り直線 $OC$ に平行な直線を $m$ とする。直線 $OC$ は $\pi$ 上の点 $O$ を通り、$C$ が $\pi$ 上にないので $\pi$ に含まれない。rem-lis-space-facts の 3 により、$m$ は $\pi$ とただ 1 点 $Q$ で交わる。$Q$ は $\pi$ 上にあるので、rem-lis-space-facts の 2 により $\overrightarrow{OQ}=s\vec a+t\vec b$ と書ける。$Q$ と $P$ はどちらも $m$ 上にあるので、$\overrightarrow{QP}$ は $\vec 0$ か $\vec c$ に平行で、$\overrightarrow{QP}=u\vec c$ と書ける。よって
  $$ \vec p=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP}=s\vec a+t\vec b+u\vec c $$
  である。
  段 4（1 ⇒ 3 の「ただ 1 通り」）。$s\vec a+t\vec b+u\vec c=s'\vec a+t'\vec b+u'\vec c$ とする。移項すると $(s-s')\vec a+(t-t')\vec b+(u-u')\vec c=\vec 0$ である。1 により $s-s'=t-t'=u-u'=0$ である。これで最後の「係数比較」も示せた。段 3 と合わせて、1 と 2（段 1・段 2 により同値）から 3 が出る。
  段 5（3 ⇒ 1）。3 を $\vec p=\vec 0$ に使う。$\vec 0=0\vec a+0\vec b+0\vec c$ という表し方が 1 つあるので、ただ 1 通りであることから、$s\vec a+t\vec b+u\vec c=\vec 0$ となるのは $s=t=u=0$ のときだけである。これは 1 次独立の定義そのものである。$\square$

方針：$\vec a$、$\vec b$、$\vec c$ が 1 次従属か 1 次独立かで場合を分ける。
段 1（従属のとき）。$s\vec a+t\vec b+u\vec c=\vec 0$ で $s$、$t$、$u$ のどれかが $0$ でないものがある。$\vec d$ の係数を $0$ として付け加えれば $s\vec a+t\vec b+u\vec c+0\,\vec d=\vec 0$ なので、4 つは 1 次従属である。
段 2（独立のとき）。thm-lis-basis の 3 により、$\vec d=s\vec a+t\vec b+u\vec c$ と書ける。移項して $s\vec a+t\vec b+u\vec c+(-1)\vec d=\vec 0$ で、係数 $-1$ は $0$ でない。よって 4 つは 1 次従属である。$\square$

方針：rem-lis-space-facts の 2 を、基準の点を $A$ にして使い、位置ベクトルの式に直す。
段 1（言い換え）。$A$、$B$、$C$ は一直線上にないので、rem-lis-space-facts の 2（$O$ を $A$ に替えたもの）により、$P$ が平面 $ABC$ 上にあることは、実数 $t$、$u$ で
$$ \overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB}+u\,\overrightarrow{AC} $$
と書けることと同じである。
段 2（位置ベクトルに直す）。$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a$、$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$、$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$ なので（位置ベクトルと内分点 の「2 点を結ぶベクトル」）、段 1 の式は $\vec p-\vec a=t(\vec b-\vec a)+u(\vec c-\vec a)$、すなわち
$$ \vec p=(1-t-u)\vec a+t\vec b+u\vec c $$
と同じである。$s=1-t-u$ とおけば $s+t+u=1$ である。逆に $s+t+u=1$ で $\vec p=s\vec a+t\vec b+u\vec c$ なら、$s=1-t-u$ を代入して段 1 の式に戻る。
段 3（ただ 1 通り）。$\vec p=s\vec a+t\vec b+u\vec c=s'\vec a+t'\vec b+u'\vec c$ で、$s+t+u=s'+t'+u'=1$ とする。段 2 の計算を逆にたどると $t\,\overrightarrow{AB}+u\,\overrightarrow{AC}=t'\,\overrightarrow{AB}+u'\,\overrightarrow{AC}$、つまり $(t-t')\overrightarrow{AB}+(u-u')\overrightarrow{AC}=\vec 0$ である。$A$、$B$、$C$ が一直線上にないので、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ は $\vec 0$ でなく平行でもない。lem-lis-two によりこの 2 つは 1 次独立で、$t=t'$、$u=u'$ である。すると $s=1-t-u=s'$ である。$\square$

方針：1〜3 は成分で展開して項を比べる。4 は 1 と 3 から、5 は $\vec a$ の $0$ でない成分で割って示す。
段 1（1 を示す）。$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$ を展開すると
$$ a_2b_3c_1-a_3b_2c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2+a_1b_2c_3-a_2b_1c_3 $$
である。これは def-lis-det の 6 つの項を並べ替えたものなので、$\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ に等しい。
段 2（2 を示す）。def-lis-det の式で、$\vec a$ を $\vec b$ に、$\vec b$ を $\vec c$ に、$\vec c$ を $\vec a$ に置き換えると
$$ \det(\vec b,\vec c,\vec a)=b_1c_2a_3+b_2c_3a_1+b_3c_1a_2-b_3c_2a_1-b_2c_1a_3-b_1c_3a_2 $$
である。掛け算の順番を並べ替えると、正の項は $a_3b_1c_2$、$a_1b_2c_3$、$a_2b_3c_1$、負の項は $a_1b_3c_2$、$a_3b_2c_1$、$a_2b_1c_3$ で、$\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ の 6 つの項と符号も含めて一致する。同じ置き換えをもう 1 回すると $\det(\vec c,\vec a,\vec b)=\det(\vec b,\vec c,\vec a)$ も分かる。
段 3（3 を示す）。段 1 の式で $\vec c=\vec a$ とすると
$$ (\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=a_2b_3a_1-a_3b_2a_1+a_3b_1a_2-a_1b_3a_2+a_1b_2a_3-a_2b_1a_3 $$
である。$a_1a_2b_3$ と $-a_1a_2b_3$、$-a_1a_3b_2$ と $a_1a_3b_2$、$a_2a_3b_1$ と $-a_2a_3b_1$ が打ち消し合って $0$ になる。$\vec c=\vec b$ とすると
$$ (\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=a_2b_3b_1-a_3b_2b_1+a_3b_1b_2-a_1b_3b_2+a_1b_2b_3-a_2b_1b_3 $$
で、同じように $a_2b_1b_3$、$a_3b_1b_2$、$a_1b_2b_3$ の項がそれぞれ打ち消し合って $0$ になる。
段 4（4 を示す）。$\vec n=\vec a\times\vec b$ とおく。1 と内積の分配法則により
$$ \det(\vec a,\vec b,p\vec a+q\vec b)=\vec n\cdot(p\vec a+q\vec b)=p\,(\vec n\cdot\vec a)+q\,(\vec n\cdot\vec b) $$
であり、3 により右辺は $p\cdot0+q\cdot0=0$ である。
段 5（5 を示す）。$\vec a\times\vec b=\vec 0$、つまり $a_2b_3=a_3b_2$、$a_3b_1=a_1b_3$、$a_1b_2=a_2b_1$ とする。$\vec a=\vec 0$ なら、ex-lis-independent の 3 と同じく 1 次従属である。$\vec a\ne\vec 0$ なら、$0$ でない成分がある。$a_1\ne0$ とする。$k=\frac{b_1}{a_1}$ とおくと、$b_1=ka_1$ である。3 つ目の式 $a_1b_2=a_2b_1$ を $a_1$ で割ると $b_2=\frac{b_1}{a_1}a_2=ka_2$、2 つ目の式 $a_3b_1=a_1b_3$ を $a_1$ で割ると $b_3=\frac{b_1}{a_1}a_3=ka_3$ である。よって $\vec b=k\vec a$、すなわち $k\vec a+(-1)\vec b=\vec 0$ で、係数 $-1$ は $0$ でないから 1 次従属である。$a_2\ne0$ や $a_3\ne0$ のときも、外積の 3 つの成分は番号を $1\to2\to3\to1$ とずらすと互いに移り合うので、同じ計算で $\vec b$ が $\vec a$ の実数倍になる。$\square$

方針：「1 次従属なら行列式が $0$」を lem-lis-det の 4 で示す。「1 次独立なら行列式が $0$ でない」は、外積 $\vec n=\vec a\times\vec b$ を $\vec a$、$\vec b$、$\vec c$ で表し、$\vec n$ との内積をとって示す。
段 1（1 次従属なら $\det=0$）。1 次従属とすると、lem-lis-dependent により、どれか 1 つが残りの 1 次結合である。

• $\vec c=p\vec a+q\vec b$ のとき：lem-lis-det の 4 により $\det(\vec a,\vec b,\vec c)=0$ である。
• $\vec a=p\vec b+q\vec c$ のとき：lem-lis-det の 2 により $\det(\vec a,\vec b,\vec c)=\det(\vec b,\vec c,\vec a)=\det(\vec b,\vec c,p\vec b+q\vec c)$ で、4 により $0$ である。
• $\vec b=p\vec a+q\vec c$ のとき：同じく $\det(\vec a,\vec b,\vec c)=\det(\vec c,\vec a,\vec b)=\det(\vec c,\vec a,q\vec c+p\vec a)=0$ である。
  段 2（1 次独立なら $\vec n\ne\vec 0$）。1 次独立とする。もし $\vec a$、$\vec b$ が 1 次従属なら、prf-lis-basis の段 1 と同じく $\vec c$ の係数 $0$ を付け加えて 3 つも 1 次従属になってしまう。よって $\vec a$、$\vec b$ は 1 次独立である。lem-lis-det の 5 の対偶により、$\vec n=\vec a\times\vec b\ne\vec 0$ である。
  段 3（$\vec n$ を表して内積をとる）。thm-lis-basis の 3 により、$\vec n=s\vec a+t\vec b+u\vec c$ と書ける。両辺と $\vec n$ の内積をとると
  $$ |\vec n|^2=\vec n\cdot\vec n=s\,(\vec n\cdot\vec a)+t\,(\vec n\cdot\vec b)+u\,(\vec n\cdot\vec c) $$
  である。lem-lis-det の 3 により $\vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec b=0$、1 により $\vec n\cdot\vec c=\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ なので、$|\vec n|^2=u\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ である。
  段 4（まとめ）。もし $\det(\vec a,\vec b,\vec c)=0$ なら、段 3 から $|\vec n|^2=0$、つまり $\vec n=\vec 0$ となり、段 2 に反する。よって $\det(\vec a,\vec b,\vec c)\ne0$ である。段 1 と合わせて、1 次独立と $\det\ne0$ は同値である。$\square$