偏微分

$r(h):=f(p+h)-f(p)-a\cdot h$ とおくと、仮定は $|r(h)|/\|h\|\to0$（$h\to0$）である。Cauchy–Schwarzの不等式により $|a\cdot h|\leq\|a\|\,\|h\|$ なので、$|f(p+h)-f(p)|\leq|r(h)|+\|a\|\,\|h\|\to0$ となり、$f$ は $p$ で連続である。
$v=0$ なら差分商は常に $0=a\cdot0$ である。$v\ne0$ とし、$t\ne0$ を $|t|$ が十分小さくとると
$$ \left|\frac{f(p+tv)-f(p)}{t}-a\cdot v\right|=\frac{|r(tv)|}{|t|}=\|v\|\,\frac{|r(tv)|}{\|tv\|} $$
である。$t\to0$ のとき $tv\to0$ なので右辺は $0$ に近づき、$D_vf(p)=a\cdot v$ を得る。$v=e_j$ とすると $\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=a\cdot e_j=a_j$ であり、$a=\nabla f(p)$ である。

$U$ は開集合なので、$r>0$ で開球 $B(p,r):=\{q\mid\|q-p\|< r\}$ が $U$ に含まれるものがある。$h=(h_1,\dots,h_n)$ を $\|h\|< r$ とし、
$$ q_0:=p,\qquad q_k:=p+h_1e_1+\cdots+h_ke_k\quad(k=1,\dots,n) $$
とおく。$q_n=p+h$ であり、
$$ f(p+h)-f(p)=\sum_{k=1}^{n}\bigl(f(q_k)-f(q_{k-1})\bigr) $$
である。$k$ を固定し、$s$ を $0$ と $h_k$ の間の実数とすると、点 $q_{k-1}+se_k$ と $p$ の差は $(h_1,\dots,h_{k-1},s,0,\dots,0)$ で、そのノルムは $\|h\|$ 以下だから、この点は $B(p,r)$ に属する。1 変数の関数 $\varphi_k(s):=f(q_{k-1}+se_k)$ は、偏微分の定義により $0$ と $h_k$ を結ぶ閉区間の各点で微分可能で、$\varphi_k'(s)=\frac{\partial f}{\partial x_k}(q_{k-1}+se_k)$ である（$B(p,r)$ は開集合なので、区間の端点でも両側の極限として偏微分係数が存在する）。$h_k\ne0$ なら、微分可能な関数は連続なので 平均値の定理 が使え、$0$ と $h_k$ の間の $\theta_k$ で
$$ f(q_k)-f(q_{k-1})=\varphi_k(h_k)-\varphi_k(0)=h_k\,\frac{\partial f}{\partial x_k}(c_k),\qquad c_k:=q_{k-1}+\theta_ke_k $$
を満たすものがある。$h_k=0$ なら $\theta_k:=0$ として同じ等式が両辺 $0$ で成り立つ。どちらの場合も $\|c_k-p\|\leq\|h\|$ である。したがって
$$ f(p+h)-f(p)-\nabla f(p)\cdot h=\sum_{k=1}^{n}h_k\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}(c_k)-\frac{\partial f}{\partial x_k}(p)\right) $$
であり、Cauchy–Schwarzの不等式により
$$ \frac{\bigl|f(p+h)-f(p)-\nabla f(p)\cdot h\bigr|}{\|h\|}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}(c_k)-\frac{\partial f}{\partial x_k}(p)\right)^2\right)^{1/2}\qquad(h\ne0) $$
となる。$h\to0$ のとき各 $c_k\to p$ であり、偏導関数は $p$ で連続なので右辺は $0$ に近づく。よって $f$ は $p$ で全微分可能で $a=\nabla f(p)$ である。$C^1$ 級なら偏導関数は $U$ の各点で連続なので、各点で全微分可能であり、prop-pd-directional-formula により連続である。

$\delta>0$ を、開正方形 $Q:=(a-\delta,a+\delta)\times(b-\delta,b+\delta)$ が $U$ に含まれるようにとる。$0< s<\delta$ について
$$ \Delta(s):=f(a+s,b+s)-f(a+s,b)-f(a,b+s)+f(a,b) $$
とおく。
まず $\varphi(x):=f(x,b+s)-f(x,b)$ とおくと、$\varphi$ は閉区間 $[a,a+s]$ の各点で微分可能で $\varphi'(x)=f_x(x,b+s)-f_x(x,b)$ である。平均値の定理により、$\xi\in(a,a+s)$ で
$$ \Delta(s)=\varphi(a+s)-\varphi(a)=s\bigl(f_x(\xi,b+s)-f_x(\xi,b)\bigr) $$
を満たすものがある。次に $\psi(y):=f_x(\xi,y)$ は $f_{xy}$ が $Q$ 上で存在するので $[b,b+s]$ の各点で微分可能で $\psi'(y)=f_{xy}(\xi,y)$ であり、再び平均値の定理により $\eta\in(b,b+s)$ で $\psi(b+s)-\psi(b)=s\,f_{xy}(\xi,\eta)$ を満たすものがある。よって $\Delta(s)=s^2f_{xy}(\xi,\eta)$ である。
同様に、変数の役割を入れ替えて $\chi(y):=f(a+s,y)-f(a,y)$ に平均値の定理を使うと $\eta'\in(b,b+s)$ で $\Delta(s)=s\bigl(f_y(a+s,\eta')-f_y(a,\eta')\bigr)$、さらに $x\mapsto f_y(x,\eta')$ に使うと $\xi'\in(a,a+s)$ で $\Delta(s)=s^2f_{yx}(\xi',\eta')$ となる。したがって
$$ f_{xy}(\xi,\eta)=\frac{\Delta(s)}{s^2}=f_{yx}(\xi',\eta') $$
である。点 $(\xi,\eta)$、$(\xi',\eta')$ は $s$ に依存するが、どちらも $p$ との距離が $\sqrt2\,s$ 未満である。$s\to0$ とすると、$f_{xy}$ と $f_{yx}$ の $p$ での連続性により、左辺は $f_{xy}(p)$ に、右辺は $f_{yx}(p)$ に近づく。よって $f_{xy}(p)=f_{yx}(p)$ である。

$i\ne j$ とし（$i=j$ なら示すことはない）、$q\in U$ を固定する。$V:=\{(s,t)\in\mathbb{R}^2\mid q+se_i+te_j\in U\}$ は $\mathbb{R}^2$ の開集合で、$F(s,t):=f(q+se_i+te_j)$ とおくと、偏微分の定義から $F_s(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(q+se_i+te_j)$、$F_{st}=(F_s)_t=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}(q+se_i+te_j)$、$F_{ts}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_j}(q+se_i+te_j)$ であり、これらは連続である。thm-pd-schwarz を $F$ と点 $(0,0)$ に使えばよい。
$k$ 階の場合、変数 $x_{\ell_1},\dots,x_{\ell_m}$（$m\leq k$）の順に偏微分したものを考える。並べ方の入れ替えは隣り合う 2 つの入れ替えの繰り返しで得られる（互換）。$r$ 番目と $r+1$ 番目の入れ替えについては、$g:=\frac{\partial^{r-1}f}{\partial x_{\ell_{r-1}}\cdots\partial x_{\ell_1}}$ が $C^2$ 級（$f$ が $C^k$ 級で $r+1\leq m\leq k$ だから）なので、前半により $g$ を $x_{\ell_r}$、$x_{\ell_{r+1}}$ の順に偏微分したものと逆順に偏微分したものは一致し、残りの偏微分を施しても一致する。

$|t|$ が十分小さければ $p+te_j\in U$ かつ $\|te_j\|< r$ なので $f(p+te_j)-f(p)\leq0$ である。したがって差分商 $\frac{f(p+te_j)-f(p)}{t}$ は $t>0$ で $0$ 以下、$t<0$ で $0$ 以上である。$t\to0$ の極限 $\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)$ は存在するので、右からの極限として $0$ 以下、左からの極限として $0$ 以上であり、$0$ に等しい。極小の場合は $-f$ に適用すればよい。