Kolmogorovの拡張定理

要点：選択公理により各射影 $\pi_K$ は全射なので、有限個の筒集合は添字の和集合 $K$ の上で共通の $\pi_K^{-1}(\cdot)$ の形に書け、集合演算と値の比較を $E_K$ の上で行える。値が表し方によらないことは整合性による。

$\mu_0(F_N)$ は単調に減少するので、ある $\varepsilon>0$ ですべての $N$ について $\mu_0(F_N)\ge\varepsilon$ と仮定して矛盾を導く。$J_N\in\operatorname{Fin}(I)$ と $G_N\in\mathcal E_{J_N}$ で $F_N=\pi_{J_N}^{-1}(G_N)$ となるものをとる。$J_N$ を $J_1\cup\cdots\cup J_N$ に取り替えて（prf-ke-cylinder の書き換え）$J_1\subset J_2\subset\cdots$ としてよい。$M\le N$ について $p_{NM}:=\pi_{J_NJ_M}$ と書く。$F_N\subset F_M$ と $\pi_{J_N}$ の全射性から $G_N\subset p_{NM}^{-1}(G_M)$ である。
コンパクト集合による近似。 内部正則性により、コンパクト集合 $C_N\subset G_N$ で $\mu_{J_N}(G_N\setminus C_N)\le\varepsilon2^{-N-1}$ となるものがある。
$$ L_N:=\bigcap_{M=1}^Np_{NM}^{-1}(C_M)\subset E_{J_N} $$
とおく。Hausdorff空間 のコンパクト部分集合は閉集合なので（同記事の命題「コンパクト部分集合の閉性」。$E_{J_M}$ は同記事の命題「部分空間と直積による保存」により Hausdorff）、$p_{NM}^{-1}(C_M)$ は閉集合であり、$L_N$ はコンパクト集合 $C_N$ の閉部分集合としてコンパクトである。また $C_M\in\mathcal E_{J_M}$ と $p_{NM}$ の可測性から $L_N\in\mathcal E_{J_N}$ である。$G_N\setminus L_N\subset\bigcup_{M\le N}p_{NM}^{-1}(G_M\setminus C_M)$ と整合性から
$$ \mu_{J_N}(G_N\setminus L_N)\le\sum_{M=1}^N\mu_{J_M}(G_M\setminus C_M)\le\frac\varepsilon2 $$
なので $\mu_{J_N}(L_N)\ge\varepsilon/2>0$ であり、$L_N\ne\emptyset$ である。定義から $p_{N+1,N}(L_{N+1})\subset L_N$ である。
点を 1 つずつ延ばす。 $N\le k$ について $Q_N^k:=p_{kN}(L_k)$ とおく。連続写像によるコンパクト集合の像なので $Q_N^k$ は空でないコンパクト集合で、$Q_N^{k+1}=p_{kN}(p_{k+1,k}(L_{k+1}))\subset Q_N^k$ である。$Q_N^k$ はコンパクト空間 $Q_N^N$ の空でない閉集合（Hausdorff 空間のコンパクト集合）の減少列なので、有限交叉性 の系「Cantor の共通部分定理」により $Q_N:=\bigcap_{k\ge N}Q_N^k$ は空でない。さらに、各 $y\in Q_N$ について $p_{N+1,N}(z)=y$ となる $z\in Q_{N+1}$ がある。

存在。 $\mu_0$ が $\mathcal A$ の上の前測度であることを示す。$C\in\mathcal A$ が互いに交わらない $C_1,C_2,\ldots\in\mathcal A$ の和であるとし、$F_N:=C\setminus(C_1\cup\cdots\cup C_N)$ とおく。$F_N\in\mathcal A$ は減少して $\bigcap_NF_N=\emptyset$ を満たすので、lem-ke-continuity により $\mu_0(F_N)\to0$ である。有限加法性から $\mu_0(C)=\sum_{k\le N}\mu_0(C_k)+\mu_0(F_N)$ なので、$\mu_0(C)=\sum_k\mu_0(C_k)$ である。$\mathcal A$ は集合代数なので集合半環であり（Carathéodoryの拡張定理 の定義「集合半環と集合代数」）、同記事の定理「Carathéodoryの拡張定理」の 1 により、$\sigma(\mathcal A)=\mathcal E_I$ 上の測度 $\mu$ で $\mathcal A$ の上で $\mu_0$ に一致するものがある。$\mu(E_I)=1$ であり、$A\in\mathcal E_J$ について $\mu(\pi_J^{-1}(A))=\mu_0(\pi_J^{-1}(A))=\mu_J(A)$ である。
一意性。 $\nu$ も条件を満たせば、$\nu$ は $\mathcal A$ の上で $\mu_0$ に一致する。$\mu_0$ は有限なので σ-有限であり、同じ定理の 3 により $\nu=\mu$ である（$\mathcal A$ は π 系なので、Dynkinのπ-λ定理 の定理「π系の上で一致する測度の一意性」からも従う）。$\square$

$d$ を $E$ の位相を与える完備な距離、$\{a_1,a_2,\dots\}$ を稠密な可算集合とし、$\varepsilon>0$ とする。各 $k\ge1$ について閉球 $\overline B(a_j,1/k)$（$j\ge1$）は $E$ を覆うので、測度の連続性により $n_k$ を $\mu\bigl(E\setminus\bigcup_{j\le n_k}\overline B(a_j,1/k)\bigr)<\varepsilon2^{-k}$ となるようにとれる。
$$ K:=\bigcap_{k\ge1}\bigcup_{j\le n_k}\overline B(a_j,1/k) $$
は閉集合で、各 $k$ について半径 $1/k$ の有限個の球で覆えるので全有界である。完備な空間の閉集合は完備なので、全有界 の定理「コンパクト性との関係」により $K$ はコンパクトで、$\mu(E\setminus K)<\varepsilon$ である。Borel 集合 $A$ について、Radon測度 の定理「距離空間上の有限Borel測度の正則性」により閉集合 $F\subset A$ で $\mu(A\setminus F)<\varepsilon$ となるものがある。$F\cap K$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトで、$\mu(A\setminus(F\cap K))<2\varepsilon$ である。$\square$

要点：有限個の Polish 空間の積は Polish 空間で、その Borel 集合族は積σ-代数に等しいので、lem-ke-ulam により thm-ke-main の仮定が満たされる。実数列の場合は、$\mu_n$ を射影して全有限集合の上の整合な族を作る。

この形に書ける集合の全体を $\mathcal D$ とする。$\mathcal D$ は筒集合を含み、$E_I\setminus\pi_{I_0}^{-1}(B)=\pi_{I_0}^{-1}(E_{I_0}\setminus B)$ により補集合で閉じる。$A_n=\pi_{I_n}^{-1}(B_n)$（$n\ge1$）について $I_\infty:=\bigcup_nI_n$ は高々可算で、$A_n=\pi_{I_\infty}^{-1}(\pi_{I_\infty I_n}^{-1}(B_n))$、$\pi_{I_\infty I_n}^{-1}(B_n)\in\mathcal E_{I_\infty}$ なので、$\bigcup_nA_n=\pi_{I_\infty}^{-1}\bigl(\bigcup_n\pi_{I_\infty I_n}^{-1}(B_n)\bigr)\in\mathcal D$ である。よって $\mathcal D$ は筒集合を含む σ-代数であり、$\mathcal E_I=\sigma(\mathcal A)\subset\mathcal D$ である。$\square$