広義積分

$x>0$ で $x^s:=e^{s\log x}$ とし、$\frac{d}{dx}x^s=sx^{s-1}$、$\frac{d}{dx}\log x=\frac1x$ を使う（連鎖律 の記事の例「対数関数と一般の冪」）。微分積分学の基本定理 の記事の定理「原始関数による積分の計算」により、$0< c< d$ について
$$ \int_c^d\frac{dx}{x^p}=\begin{cases}\dfrac{d^{1-p}-c^{1-p}}{1-p}&(p\ne1)\\[2mm]\log d-\log c&(p=1)\end{cases} $$
である。$s>0$ なら $t\to\infty$ で $t^s=e^{s\log t}\to\infty$、$t\to+0$ で $t^s\to0$ であり、$s<0$ ならその逆である。また $\log t$ は $t\to\infty$ で $+\infty$ に、$t\to+0$ で $-\infty$ に近づく（対数関数、指数関数）。
1：$c=1$ とし $d\to\infty$ とする。$p>1$ なら $1-p<0$ なので $d^{1-p}\to0$ で、値は $\frac{0-1}{1-p}=\frac1{p-1}$ である。$p<1$ なら $d^{1-p}\to\infty$ で、$p=1$ なら $\log d\to\infty$ なので、どちらも $+\infty$ に発散する。
2：$d=1$ とし $c\to+0$ とする。$p<1$ なら $c^{1-p}\to0$ なので値は $\frac1{1-p}$ である。$p>1$ なら $c^{1-p}\to\infty$ なので $\frac{1-c^{1-p}}{1-p}=\frac{c^{1-p}-1}{p-1}\to+\infty$、$p=1$ なら $-\log c\to+\infty$ である。なお $p\leq0$ では $x^{-p}$ は $[0,1]$ 上で連続なので、この広義積分は通常の Riemann 積分と一致する（prop-ii-consistent）。

$f$ は有界なので、ある $K$ で $|f(x)|\leq K$ である。$F(x):=\int_a^xf$ とおくと、微分積分学の基本定理 の記事の定理「積分の上端についての微分」の 1 により $|F(x)-F(y)|\leq K|x-y|$ なので、$F$ は $b$ で連続であり、$\lim_{c\to b-0}F(c)=F(b)=\int_a^bf$ である。また Riemann積分 の記事の定理「区間についての加法性」により $\int_c^bf=F(b)-F(c)$ であり、$c\to a+0$ で $F(c)\to F(a)=0$ なので第 2 式を得る。

$m< m'$ としてよい。$K:=\int_m^{m'}f$ とおく。$a< c< m$ なら、Riemann積分 の記事の定理「区間についての加法性」により $\int_c^{m'}f=\int_c^mf+K$ なので、$c\to a+0$ の極限について、$\int_a^mf$ が収束することと $\int_a^{m'}f$ が収束することは同値で、そのとき $\int_a^{m'}f=\int_a^mf+K$ である。同様に $m'< d< b$ なら $\int_m^df=K+\int_{m'}^df$ なので、$\int_m^bf$ と $\int_{m'}^bf$ の収束は同値で、$\int_m^bf=K+\int_{m'}^bf$ である。したがって両辺の和は $\int_a^mf+K+\int_{m'}^bf$ に等しい。

極限 $L$ が存在するとき、$\varepsilon>0$ に対して $c_0$ を $c_0< c< b$ なら $|F(c)-L|<\varepsilon/2$ となるようにとれば、$|F(c)-F(c')|\leq|F(c)-L|+|L-F(c')|<\varepsilon$ である。
逆に条件が成り立つとする。$b$ に近づく数列 $c_n\in[a,b)$（たとえば $b<\infty$ なら $c_n:=b-(b-a)/(n+1)$、$b=\infty$ なら $c_n:=a+n$）をとる。$\varepsilon>0$ と条件の $c_0$ に対し、十分大きな $n,n'$ では $c_n,c_{n'}>c_0$ なので $|F(c_n)-F(c_{n'})|<\varepsilon$ であり、$(F(c_n))$ は Cauchy列 である。実数の Cauchy 列は収束する（Cauchy列 の記事の定理「実数列の Cauchy判定法」）ので、その極限を $L$ とする。$\varepsilon>0$ と $c_0$ をとり、$c_n>c_0$ かつ $|F(c_n)-L|<\varepsilon$ となる $n$ を 1 つ選ぶと、$c_0< c< b$ を満たすすべての $c$ で $|F(c)-L|\leq|F(c)-F(c_n)|+|F(c_n)-L|<2\varepsilon$ となる。よって $\lim_{c\to b-0}F(c)=L$ である。

$c< c'$ なら $F(c')-F(c)=\int_c^{c'}f\geq0$ なので $F$ は単調増加である。$F$ が上に有界なら $S:=\sup F$ は実数であり（上限と下限）、$\varepsilon>0$ に対して $F(c_0)>S-\varepsilon$ となる $c_0$ があって、$c_0\leq c< b$ なら $S-\varepsilon< F(c_0)\leq F(c)\leq S$ となる。よって $F(c)\to S$ である。収束すれば、$c\to b-0$ の極限 $L$ に対し十分 $b$ に近い $c$ で $F(c)\leq L+1$、それ以外の $c$ でも単調性から $F(c)\leq L+1$ なので、$F$ は上に有界である。有界でなければ、任意の $K$ に対して $F(c_0)>K$ となる $c_0$ があり、単調性から $c\geq c_0$ で $F(c)>K$ なので $F(c)\to+\infty$ である。

1：$F(c):=\int_a^cf$、$G(c):=\int_a^cg$ とおく。$a\leq c< c'< b$ について、Riemann積分 の記事の命題「積分の単調性と絶対値の評価」により
$$ |F(c')-F(c)|=\left|\int_c^{c'}f\right|\leq\int_c^{c'}|f|\leq\int_c^{c'}g=G(c')-G(c) $$
である。$G$ は $c\to b-0$ で収束するので、lem-ii-cauchy の条件を満たす。上の不等式から $F$ も同じ条件を満たし、lem-ii-cauchy により $F(c)$ は収束する。また $|F(c)|\leq\int_a^c|f|\leq G(c)$ で $c\to b-0$ とすれば不等式を得る。2 は 1 の対偶である。

thm-ii-comparison で $g:=|f|$ とすればよい。

単調な関数は有界閉区間上で Riemann 積分可能である（Riemann積分 の記事の命題「単調関数の可積分性」）。$n\geq k$ と $x\in[n,n+1]$ について $f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)$ なので、$f(n+1)\leq\int_n^{n+1}f\leq f(n)$ である。これを $n=k,\dots,N-1$ について足すと、区間についての加法性により
$$ \sum_{n=k+1}^{N}f(n)\leq\int_k^Nf\leq\sum_{n=k}^{N-1}f(n)\qquad(N>k) $$
となる。部分和を $S_N:=\sum_{n=k}^{N}f(n)$ とおく。
$\int_k^\infty f=I$ が収束するなら、左の不等式と prop-ii-nonnegative から $S_N\leq f(k)+\int_k^Nf\leq f(k)+I$ である。正項級数の部分和が有界なので級数は収束し（級数 の記事の命題「正項級数の収束と部分和の有界性」）、和は $f(k)+I$ 以下である。逆に級数が和 $S$ に収束するなら、右の不等式から $\int_k^Nf\leq S_{N-1}\leq S$ であり、$c\geq k$ について $\int_k^cf\leq\int_k^{N}f\leq S$（$N\geq c$ となる整数）なので、prop-ii-nonnegative により $\int_k^\infty f$ は収束して $I\leq S$ である。